Se fosse este outro o enunciado do
Problema: Determinar o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais se vêem segundo ângulos iguais dois segmentos $\;AB\;$ e $\;BC\;$ de uma dada reta $\;a$
A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto, passo a passo. Pode observar os passos da construção deslocando o cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}\;$
Podemos variar o ângulo $\;\alpha\;$ e as posições de $\;A\;$, $\;B\;$ e $\;C\;$
Problema: Determinar o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais se vêem segundo ângulos iguais dois segmentos $\;AB\;$ e $\;BC\;$ de uma dada reta $\;a$
A construção abaixo ilustra a resolução do problema proposto, passo a passo. Pode observar os passos da construção deslocando o cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}\;$
- Dados (a azul): uma reta $\;a\;$ e três pontos $\;A, \;B, \;C\;$ sobre ela.
- Os dois primeiros passos n=2 e n=3 da construção dos pontos $\;H\;$ e $\;H'\;$ pontos a partir dos quais se vêem os dois segmentos $\;AB\;$ e $\;BC\;$ segundo um mesmo ângulo $\;\alpha\;$ já foi feita na entrada anterior.
© geometrias, 5 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra
- Esse ponto $\;H\;$ (ou $\;H'\;$) é um ponto a partir do qual se tiram retas para $\;A\;$ e $\;B\;$ por um lado, e para $\;B\;$ e $\;C\;$ por outro, tais que $\;A\hat{H}B = B\hat{H}C =\alpha\;$
- Assim, podemos dizer que do triângulo $\;AHC\;$, $\;HB\;$ é a bissetriz interna do ângulo $\;\hat{H}\;$ e a perpendicular a $\;HB\;$ tirada por $\;H\;$ é a bissetriz externa, cujo pé sobre a reta $\;AC\;$ chamamos $\;E\;$. O pé da bissetriz interna de $\;\hat{H}\;$ sobre $\;a\;$ é $\;B\;$
-
Fixados $\;A,\;B,\;C$, o círculo de diâmetro $\;BE\;$ - círculo de Apolónio do triângulo $\;AHC\;$, mantém-se o mesmo para todos os valores de $\;\alpha\;$ ou para todos pontos $\;H\;$.
Pode verificar isso, movendo $\;D\;$ que é o mesmo que fazer variar as amplitudes $;\alpha\;$ e observando como $\;H\;$ percorre a circunferência de diâmetro $\;BE\;$ que se mantém a mesma (independentemente de $\;H$) já que o par de pontos $\;I, \;E\;$ separa harmonicamente o par de pontos $\;A, \;D\;$ - O lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ tais que $\;A\hat{P}B = B\hat{P}C\;$ é uma circunferência de Apolónio relativa a um triângulo $\;A\hat{H}C\;$ de que $\;HB\;$ seja a bissetriz interna.
Podemos variar o ângulo $\;\alpha\;$ e as posições de $\;A\;$, $\;B\;$ e $\;C\;$
