ABA : circunferências, triângulos e relações

há quem veja não mais que nada, outros enquanto outros estudam simples teoremas que levam a sério?
1- 1.13: Tomadas uma qualquer corda de uma qualquer circunferência e quaisquer dois pontos da corda, ...

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2- 1.14:
De um triângulo qualquer, tomamos um dos seus vértices e a bissectriz do ângulo respetivo...

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3- 1.15:
Tomámos uma circunferência (que pode ser alterada ....) e por cada um de 4 pontos dela se toma a respetiva tangente. Consideramos o quadrilátero circunscrito à circunferência. .....

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4- 1.16):
A figura seguinte levou-nos a que os nossos segmentos a+c = b+d ..... Só nos falta ver a figura e demonstrar que....

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5- 1.17):
Tomamos 3 pontos $\;A,\;B,\;C\;$ duas retas $\;AB\;$ e $\;AC\;$ que se intersectam em $\;A\;$ e o segmento de recta $\;BC\;$ que corta as duas $\;AB\;$ e $\;AC\;$. Olhamos para a figura a que acrescentamos as circunferências que tocam as rectas $\;AB,\;BC\;$ e $\;CA\;$.
E há alguma coisa na figura que nos fale?

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6- 1.19) pode mover os pontos da circunferência da figura e procurar as invariância

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7- 1.20):

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7- 1.21):

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... e continuaremos a construir por aqui..... escrevendo poucas palavras adequadas às figuras que me lembre ou... que alguém me lembre....

Por um ponto P passa uma reta que corta duas circunferências em cordas iguais

iniciativa de Mariana Sacchetti:
respondendo a Marco Antônio Manetta que comentou em "Resolver um problema de construção usando uma translação"
15/09/2014:
Como seria a resolução se, ao invés de uma reta paralela, fosse dado um ponto (externo às duas circunferências) por onde a reta deve passar e determinar cordas iguais nas duas circunferências
Sejam dadas duas circunferências e um ponto P exterior às duas.
Traçar por P uma reta que determine cordas de igual comprimento em ambas as circunferências.


Clicando passo a passo pode ir seguindo a construção acima
1. Traçar o eixo radical das duas circunferências:
- Traça-se uma circunferência auxiliar que intersete as duas circunferências.
- Traçam-se as retas definidas pelos pontos de interseção da circunferência auxiliar com cada uma das circunferências
- O eixo radical é a reta que passa pelo ponto de interseção das duas retas e é perpendicular à reta dos centros das circunferências
2. Seja $\;M\;$ o ponto médio de $\;[O_{1}O_{2}]\;$
3. Traçar a circunferência de diâmetro $\;[MP]\;$
4. A reta que define nas circunferências cordas com o mesmo comprimento é a reta que passa por $\;P\;$ e o ponto de interseção do eixo radical com a circunferência de diâmetro $\;[MP]\;$ $$\; \overline{𝑄𝑅} = \overline{𝑆𝑇}\;$$

Nota:.........Problema nº 227 proposto no Geometriagon (http://polarprof-001- site1.htempurl.com)

Problemas de Apolónio (continuada)

iniciativa de Mariana Sacchetti:
(3) Círculo tangente a dois pontos e uma reta (PPL)
3.1.) Os dois pontos pertencem à reta ou estão de lados diferentes da reta.
Em ambos as situações não existem soluções.
Uma circunferência que passe pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ ou $\;C\;$ e $\;D\;$ corta sempre a reta em dois pontos. Logo, não é tangente à reta.


3.2.) Um ponto pertence à reta e o outro não

Existe uma solução cujo centro é a interseção da perpendicular à reta em $\;A\;$ e a mediatriz do segmento de reta $\;[AB]\;$
3.3) Os pontos não pertencem à reta e estão do mesmo lado

3.3.1) Os pontos pertencem a uma perpendicular à reta dada.
Nesta situação há duas soluções:
Sendo $\;[AB]\;$ uma corda do círculo pretendido o seu centro situa-se na mediatriz de $\;[AB]\;$ e o seu raio é a distância da linha dos centros à reta dada $\;(𝑀𝐶)$.
Assim, traça-se a circunferência com centro no ponto $\;A\;$ ou no ponto $\;B\;$ e raio $\;𝑀𝐶\;$ que determina na linha dos centros os centros das duas soluções possíveis. Soluções $\;(O_1, MC)\;$ e $\;(O_2, MC)\;$

3.3.2) Os pontos pertencem a uma paralela à reta dada
Esta situação tem 1 solução.

A mediatriz de $\;[AB]\;$ determina na reta dada o ponto de tangência $\;(T)$. Trata-se, então, de desenhar o círculo que passa por 3 pontos

3.3.3) Os pontos estão alinhados numa secante à reta dada
Esta situação tem duas soluções



$\;AB\;$ secante à reta dada, interseta-a em $\;C.\;$ Como $\;T_1\; (T_2)\;$ pertence à reta e é o ponto de tangência da circunferência pretendida, sabemos que:
$\;𝐶𝐴. 𝐶𝐵\; = \;𝐶𝑇^{2} ⟺ 𝐶𝑇 = √{𝐶𝐴. 𝐶𝐵}\; , \;CT_1\;$ é a média geométrica de $\;CA\;$ e $\;CB\; (=CF)\;$. 11 Uma vez determinados os pontos de tangência, basta desenhar a circunferência que passa pelos três pontos $\;A, \;B\;$ e $\;T_1\;$ (ou $\;T_2$).

Problemas de Apolónio

iniciativa Mariana Sacchetti:
Dadas três coisas, cada uma delas pode ser um ponto, uma reta ou um círculo, traçar um círculo que é tangente a cada uma das três coisas.
Nota: Ser tangente a um ponto significa conter o ponto
Teremos ao todo 10 situações:
(1) 3 pontos (PPP)
(2) 3 retas (LLL)
(3) 2 pontos e1reta (PPL)
(4) 2 retas e 1 ponto (LLP)
(5) 2 pontos e 1 círculo (PPC)
(6) 2 círculos e 1 ponto (CCP)
(7) 2 retas e 1 círculo (LLC)
(8) 2 círculos e 1reta (CCL)
(9) 1 ponto, 1 reta e 1 círculo (PLC)
(10) 3 círculos (CCC)



(1) Círculo tangente a 3 pontos (PPP) (vulgarmente: círculo que passa por 3 pontos)
Este problema não tem solução se os três pontos forem colineares. Caso contrário tem sempre uma única solução

(2) Círculo tangente a três retas (LLL)

1.1. As 3 retas são paralelas ou as três retas são concorrentes no mesmo ponto

Ambas as situações não têm solução


2.2 Duas das retas são paralelas e a terceira é concorrente

Neste caso há duas soluções
Ambas as soluções têm centro na linha média entre as paralelas, interseção com as bissetrizes $\;b_1\;$ e $\;b_2\;$

2.3. As retas são concorrentes duas a duas
Nesta situação há 4 soluções: a circunferência inscrita e as circunferências ex-inscritas ao triângulo que as três retas formam.