Tomámos uma circunferência de centro \;A\; tangente a uma linha reta num ponto \;O\; - ponto de partida para a circunferência de raio \;\overline{AO}.\; Estes pontos de partida representam as posições iniciais.
\fbox{1.}\;\; A roda circular (circunferência e círculo) vai rolar sobre uma linha reta \;r\; que sabemos passar por \;O.\; Quando consideramos a rotação de um ângulo \;\alpha\; em torno de cada posição de \;A\; as novas posições de \;(A,\;O)\; serão \;(A',\;P)\; tais \; \overline{AA'} = \overline{OP}= \overline{AO} \times \alpha \; comprimentos de segmentos de retas paralelas, sendo \;P\; o novo ponto tangência da roda com a estrada \;r\; e sobre a nova circunferência \;(A',P)\; a posição correspondente a \;O\; será um ponto \;O''\; tal que \; \angle P\hat{A'}O'' = \alpha,\; ou seja, o arco \;\widehat{PA'O''},\; da circunferência \;(A',P)\; correspondente a um ângulo ao centro de \;\alpha\; radianos, terá comprimento \overline{AO} \times \alpha = \overline{A'O'} \times \alpha =\overline{AA'}=\overline{OP}.\;
As posições \;O''\; descrevem uma curva a que chamamos ciclóide. Pode visualizar o comportamento das posições desse ponto, fazendo variar os valores em radianos de \;\alpha \; no selector na direita alta da janela da construção e pode também ver essa curva apresentada como lugar geométrico, o terceiro do quadro de lugares geométricos na direita baixa
i) \;B'\; de \;(A,\;B) \; correspondentes a cada amplitude \; \alpha\; são tais que \; \overline{AB} \times \alpha \; que é o comprimento do arco \; \widehat{BAB'}\; correspondente ao ângulo \; \alpha \; ao centro \;A\; da circunferência \;(A, B)\;
ii) e, da mesma forma como vimos para \;\overline{O'O''}, \; podemos concluir que \; \overline{B'B''}=\overline{AB}\times \alpha > \overline{OP}\;\;. Esta última desigualdade é óbvia por termos tomado \;B\; exterior a \;(A,O)\;
Para compreender o comportamento de \;B', B''\; pode reinicar a janela e mover o cursor de variação dos valores em radianos de \; \alpha\; e é natural que consideremos a trajetória de \;B''\; como uma cicloide (pelo menos, óbvia relativamente a \;(A, B)\;)
\fbox{3.}\;\; O ponto \;C\; interior a \;(A,\;O)\; e as posições \;C'\; da circunferência \;(A, \;C)\; imagens de \;C\; obtidas por Rotação\;(A,\;\alpha)\; e as posições \;C"\; imagens de \;C'\; por translação segundo as direcção e sentido de \;\overrightarrow{OP}\; e comprimento \;\overline{AC}\times \alpha < \overline{OP}\; porque o ponto \;C\; do interior de \;(A,O)\; roda sobre a circunferência \;(A, \;C)\; de raio \;\overline{AC}\; menor que \; \overline{AO},\; raio de \;(A,O).\;
Esta curva (lugar geométrico das posições \;C''\;) é uma cicloide tão naturalmente como as outras.
NOTA: Os casos das posições \;A'\; e \;P\; ou mesmo \;O''\; podem ser considerados casos particulares das duas últimas...
