Cicloides- 3

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Tomámos uma circunferência de centro $\;A\;$ tangente a uma linha reta num ponto $\;O\;$ - ponto de partida para a circunferência de raio $\;\overline{AO}.\;$ Estes pontos de partida representam as posições iniciais.

$\fbox{1.}\;\;$ A roda circular (circunferência e círculo) vai rolar sobre uma linha reta $\;r\;$ que sabemos passar por $\;O.\;$ Quando consideramos a rotação de um ângulo $\;\alpha\;$ em torno de cada posição de $\;A\;$ as novas posições de $\;(A,\;O)\;$ serão $\;(A',\;P)\;$ tais $\; \overline{AA'} = \overline{OP}= \overline{AO} \times \alpha \;$ comprimentos de segmentos de retas paralelas, sendo $\;P\;$ o novo ponto tangência da roda com a estrada $\;r\;$ e sobre a nova circunferência $\;(A',P)\;$ a posição correspondente a $\;O\;$ será um ponto $\;O''\;$ tal que $\; \angle P\hat{A'}O'' = \alpha,\;$ ou seja, o arco $\;\widehat{PA'O''},\;$ da circunferência $\;(A',P)\;$ correspondente a um ângulo ao centro de $\;\alpha\;$ radianos, terá comprimento $\overline{AO} \times \alpha = \overline{A'O'} \times \alpha =\overline{AA'}=\overline{OP}.\;$
As posições $\;O''\;$ descrevem uma curva a que chamamos ciclóide. Pode visualizar o comportamento das posições desse ponto, fazendo variar os valores em radianos de $\;\alpha \;$ no selector na direita alta da janela da construção e pode também ver essa curva apresentada como lugar geométrico, o terceiro do quadro de lugares geométricos na direita baixa


$\fbox{2.}\;\;$ Um ponto $\;B\;$ solidário com a circunferência $\;(A,\;O),\;$ no sentido de acompanhar as dores e as deslocações dela, de tal modo que as diferentes posições
  i)   $\;B'\;$ de $\;(A,\;B) \;$ correspondentes a cada amplitude $\; \alpha\;$ são tais que $\; \overline{AB} \times \alpha \;$ que é o comprimento do arco $\; \widehat{BAB'}\;$ correspondente ao ângulo $\; \alpha \;$ ao centro $\;A\;$ da circunferência $\;(A, B)\;$
  ii)   e, da mesma forma como vimos para $\;\overline{O'O''}, \;$ podemos concluir que $\; \overline{B'B''}=\overline{AB}\times \alpha > \overline{OP}\;\;$. Esta última desigualdade é óbvia por termos tomado $\;B\;$ exterior a $\;(A,O)\;$
Para compreender o comportamento de $\;B', B''\;$ pode reinicar a janela e mover o cursor de variação dos valores em radianos de $\; \alpha\;$ e é natural que consideremos a trajetória de $\;B''\;$ como uma cicloide (pelo menos, óbvia relativamente a $\;(A, B)\;$)

$\fbox{3.}\;\;$ O ponto $\;C\;$ interior a $\;(A,\;O)\;$ e as posições $\;C'\;$ da circunferência $\;(A, \;C)\;$ imagens de $\;C\;$ obtidas por Rotação$\;(A,\;\alpha)\;$ e as posições $\;C"\;$ imagens de $\;C'\;$ por translação segundo as direcção e sentido de $\;\overrightarrow{OP}\;$ e comprimento $\;\overline{AC}\times \alpha < \overline{OP}\;$ porque o ponto $\;C\;$ do interior de $\;(A,O)\;$ roda sobre a circunferência $\;(A, \;C)\;$ de raio $\;\overline{AC}\;$ menor que $\; \overline{AO},\;$ raio de $\;(A,O).\;$
Esta curva (lugar geométrico das posições $\;C''\;$) é uma cicloide tão naturalmente como as outras.


NOTA: Os casos das posições $\;A'\;$ e $\;P\;$ ou mesmo $\;O''\;$ podem ser considerados casos particulares das duas últimas...

Ciclóide - 2

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Na anterior entrada, apresentámos uma ilustração sobre a trajetória de um ponto com posição fixa relativamente à roda que percorre em linha recta uma caminho de comprimento igual ao comprimento do arco definido entre um posição de partida O sobre a linha reta e a posição do ponto P que roda em torno do centro da roda circular. A ilustração reduzia-se a uma distância máxima percorrida por uma roda circular de raio 1 e correspondente a uma só volta completa do ponto fixado na roda. Para esta entrada, generalizamos a anterior ilustração com uma roda de raio 2 e arcos de comprimentos que podem exceder uma volta de roda ($\;2\pi r, num caso em que $r=2$)....

Ciclóide
r=2
$\alpha\;$ qualquer. Como convenção da ilustração, tomámos um ponto de partida $\;O\;$ em que $\;P=O\;$ ou $\;alpha = 0\;$ em que $\;\alpha \;$ toma valores que ultrapassam $\;4\pi.\;$ É claro que podem tomar-se sentidos opostos tanto para as rotações como para as translações.

Ciclóide - 1

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Temos vindo a dedicar-nos a restaurar a visibilidade das construções dinâmicas que, por razões que nos são estranhas, foi prejudicada. Esse trabalho é lento e cheio de percalços e enganos. Pedimos desculpa e agradecemos ajuda para descobrir os nossos erros de restauração. Entretanto decidimos abordar alguns problemas de rastos de andarilhos sugeridos por um problema enunciado por Earl Perry, na pagina 17 de Geometry / Axiomatic Developments with Problem Solving

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Uma roda circular de raio $\;r\;$ pode rodar em torno do seu centro segundo um dado ângulo $\;alpha.\;$ Quando isso acontece, cada ponto da circunferência descreve um arco cujo comprimento é $\;\alpha r. \;$

Como sabemos o comprimento de uma circunferência é $\;2\pi r,\;$ ou seja, quando um ponto faz uma volta inteira percorre $\; 2\pi r cm\;$ se a unidade de comprimento for cm ou $\;2\pi\;$ se a unidade tomada for r e, obviamente, se roda $\; \alpha\;$ rad percorre um comprimento $\;alpha \;$ cm se $\;r = 1\;$cm ou $\;k.\alpha \;$cm se $\;r = k\;$ cm
Se fixarmos um ponto de uma roda circular de raio $\;r \;$ que roda sem deslizar em linha reta, o seu centro percorre um caminho em linha reta de comprimento $\;2\pi r\;$ enquanto qualquer ponto da sua circunferência dá um volta completa. E, obviamente, o centro percorre um caminho em linha reta de comprimento $\;\alpha r\;$ quando as posições relativas de um ponto fixo na circunferência fazem um ângulo ao centro $\;alpha,\;$ e um caminho correspondente a $\;\alpha r \;$ que, obviamente, não é em linha reta e é mais extenso que o $\;alpha r\;$ percorrido pelo centro da roda circular no seu deslocamento sem deslizamentos.

O problema é saber do rasto deixado pelo ponto considerado.


ciclóide
r=1