GEOMETRIA : março 2015

26.3.15

Elementos: álgebra geométrica (Prop. XI do Livro II)

Continuando:

Livro II - PROP. XI. PROB.
Dividir uma linha reta de sorte que o retângulo de tôda e de uma parte seja igual ao quadrado da outra parte ou, de outro modo, Dado um segmento de reta $\;AB,\;$ determinar um ponto $\;H\;$ que o divide de tal modo que o retângulo de lados iguais a $\;AB\;$ e $\;BH;$ seja igual em área ao quadrado de lado $\;AH\;$ $$AB \times BH = AH^2 ,$$
Passos da construção:

(46.1) - Construímos o quadrado de lado $\;AB\; - ACDB \;$
(10.1) - Determinamos $\;E\;$ que divide $\;AB\;$ em partes iguais na interseção de $\;AC\;$ com a reta definida pelos pontos de interseção das circunferências $\;(A, AC),\; (C, CA)\;$
(Post. 1.1) - Traçamos a reta $\;EB\;$
(3.1) Determinamos sobre a reta $\;AC\;$ o ponto $\;F\;$ de tal modo que $\;EF=EB\;$ um dos pontos de interseção de $\;AC\;$ com $\;(E, EB)\;$ (Post 3)
(46.1) - Construímos o quadrado de lado $\;AF\;$ para o lado de $\;B\;$ - $\; AFGH\;$ em que o vértice $\;H\;$ é um ponto de $\;AB\;$, entre $\;A\;$ e $\;B\;$
O ponto $\;H\;$ assim determinado por construção é o ponto que procuramos. Resta provar que o retângulo de lados $\;AB\;$ e $\;BH\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;AH\;$ - $\;AFGH\;$

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Prova:

Porque $\;AC\;$ está dividida em duas partes iguais por $\;E\;$ que se prolonga em reta por $\;AF\;$, nas condições de (6.2), o retângulo $\;CFGK\;$ de lados $\;CF\;$ e $\;FA\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;AE\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;EF.\;$
Como $\;EF=EB, \;$ o retângulo $\;CFGK\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;AE\;$ também é igual ao quadrado de lado $\;EB\;$
Como o ângulo $\;E\hat{B} A\;$ é ângulo do quadrado $\;ACDB\;$, reto, pelo Teorema de Pitágoras (47.1), o quadrado de lado $\;AB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;AE\;$ é igual ao quadrado de lado $\;EB\;$
Removendo o mesmo quadrado de lado $\;AE\;$ às duas figuras construídas iguais ao quadrado de lado $\;BE,\;$ ou de lado $\;EF\;$, ficamos a saber que o retângulo de lados $\;FC, \;FA=AH\;$ é igual ao quadrado de lado $\;AB\;$<\li>
O retângulo $\;FCKG\;$ é o retângulo $\;FC, \;FA\;$, por ser $\;AF=FG\;$ é igual em área ao quadrado de lado $\;AB\;$
Se removermos $\;ACKH\;$
- ao retângulo $\;FCKH\;$ sobra-nos o quadrado de lado $\;AH\;$
- ao quadrado $\;ACDB\;$ sobra-nos $\;HKDB,\;$ (de lados iguais a $\;AB\;$ e $\;HB\;$)
Ou seja, como $\;FCKG\;$ e $\;ACDB\;$ são iguais em área, então os restos $\;FAHG\;$ e $\;HKDB\;$ são iguais em área. □

Fica assim provado que o ponto $\;H\;$ de $\;AB\;$ determinado conforme construção acima feita, divide $\;AB\;$ em duas partes $\;AH\;$ e $\;HB\;$ tais que o retângulo do todo por uma das partes é igual em área ao quadrado da outra parte: $$ AB \times HB = AH^2 $$ $$\mbox{ou}\;\;\;\frac{AB}{AH}=\frac{AH}{HB} \;\;\;\mbox{ou}\;\;\; \frac{AH}{HB}=\frac{AB}{AH} $$

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

21.3.15

elementos: segundo exemplo de álgebra geométrica (Livro II, Prop. VI)

Na entrada anterior, apresentámos os passos sequenciais de uma construção feita a partir de um segmento de reta $\;AB,\;$ do seu ponto $\;C\;$ que o dividia em duas partes iguais e de um outro $\;D\;$ que o dividia em duas partes desiguais, para demonstrar que $$AD\times BD + CD^2 = BC^2$$ usando somente a igualdade de áreas e o método corta e cola. E continuamos com

Livro II - PROP. VI. TEOR.
Sendo uma reta $\;AB,\;$ e nela o ponto $\;C\;$ que divide o segmento $\;AB\;$ em duas partes iguais e um ponto $\;D\;$ tal que $\;AD = AB+BD,\;$ então $$AD \times BD + CB^2 = CD^2 ,$$ isto é, o retângulo de lados iguais a $\;AB\;$ e $\;BD\;$ acrescentado do quadrado de lado igual a $\;CB\;$ é igual ao quadrado de lado igual a $\;CD \;$.

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Passos da construção e da prova

(46.1) - Construímos o quadrado de lado $\;CD,\;$ $CEFD \;$ e tiramos $\;DE\;$.
(31.1) -
- Por $\;B\;$ tiramos uma paralela a $\;CE\;$ ou a $\;DF\;$ -$\; BHG\;$ - em que $\;G\;$ e $\;H\;$ são pontos de $\;EF\;$ e de $\;DE,\;$ respetivamente.
- Em seguida, por $\;H\;$ tiramos uma paralela a $\;AD\;$ ou a $\;EF \;$ - $\;LHM\;$ - em que $\;L \;$ e $\;M\;$ são pontos de $\;CE\;$ e de $\;DF,\;$ respetivamente.
- e, finalmente, por $\;A\;$ tiramos uma paralela a $\;CL\;$ ou a $\; DM\;$ - $\;AK\;$ - sendo $\;K\;$ um ponto da reta $\;LM\;$
(36.1) - Por ser $\;AC=CB, \; AKLC\;$ e $\;CLHB\;$ são iguais em área (equivalentes)
(43.1) - $\;CLHC\;$ e $\;HGFM\;$ são iguais em área por serem complementos dos quadrados $\;BHMD\;$ e $\;LEGC\;$ na diagonal do quadrado $\;CEFD\;$. E assim $\;AKLC\;$ e $\;HGFM\;$ são iguais em área o que nos permite concluir que $\; AKMD\;$ é igual em área ao gnomon $\;CLHGFD\;$
(Cor 4.2.) - $\;DM=DB\;$ e, por isso, $\;AKMD\;$ de lados $\;AD\;$ e $\;MD \;$ é um retângulo de lados iguais a $\;AD\;$ e $\;DB\;$
O retângulo de lados $\;AD, DB\;$ - $\;AKMD \;$- acrescentado do quadrado de lado $\;BC \;$- $\;LEGH\;$ - é igual em área ao gonomon $\;CMG\;$ - $\;CLHGFD\;$ - acrescentado do quadrado de lado igual a $\;BC\;$ - $\;LEGH,\;$ e por isso, obviamente iguais em área ao quadrado $\;CEFG \;$ de lado igual a $\;BC\;$ □

Livro I
PROP. XXXI. PROB.
De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada
PROP. XXXVI. TEOR.
Os paralelogramos, que estão postos sôbre bases iguais, e entre as mesmas paralelas, saão iguais
PROP. XLIII. TEOR.
Em qualquer paralelogramo os complementos dos paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais entre si
.......................................
Livro II
PROP.IV. PROB
Se uma reta fôr cortada em duas partes quaisquer, será o quadrado da tôda igual aos quadrados das partes, juntamente com o retângulo das mesmas partes tomados duas vezes.
COROL.
Disto se segue que os paralelogramos, que existem na diagonal de um quadrado são também quadrados.

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

18.3.15

Um primeiro exemplo de proposição de álgebra geométrica, usando áreas (o corta e cola)

No Livro II de "Os Elementos", apresentam-se resultados que estabelecem aparentes relações algébricas (álgebra geométrica), recorrendo somente à noção de igualdade (equivalência) de áreas (conteúdos) e às operações de que já descrevemos a base axiomática e a que chamamos de "corta e cola" (acrescentar ou remover figuras a outras figuras). Para além dos exemplos do Livro I, - Prop. XXXV, XXXVII, XLVII, XLVIII - já abordados (enunciados e demonstrações transcritas) incluindo construções dinâmicas de apoio a partir das originais, vamos agora tomar um ou outro exemplo do Livro II para serem usados mais adiante em construções exemplares da forma genial como Euclides elaborou o seu pensamento geométrico. Vamos passar a usar expressões algébricas, como poderíamos ter usado no Teorema de Pitágoras das últimas entradas, $$\;BC^2= AC^2 + AB^2\;$$ em vez de escrever que, de um triângulo $\;ABC\;$ retângulo em $\;A\;$, o quadrado de lado $\;BC\;$ (oposto a $\;Â\;$) é equivalente à soma dos quadrados de lados $\;AB\;$ e $\;AC\;$.

PROP. V. TEOR. Livro II
Se $\;AB\;$ for dividido em duas partes iguais por $\;C\;$ e em duas partes desiguais por $\;D\;$, o retângulo de lados $\;AD, BD\;$ acrescentado ao quadrado de lado $\;CD\;$ e igual ao quadrado de lado $\;BC\;$ - metade de $\;AB\;$.
$$AD\times BD + CD^2 = BC^2$$

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Passos da construção e demonstração:

Usando a PROP. XLVI PROB. do Livro I (36.1), construímos o quadrado de lado $\;BC\;$ - $\;[BCEF]\;$
Usando o Postulado I, tiramos a reta $\;BE\;$
Usando (31.1),
- por $\;D\;$ tiramos uma paralela a $\;CE\;$ (ou a $\;BF\;$) que interseta $\;BE\;$ em $\;H\;$ e $\;EF\;$ em $\;G\;$;
- por $\;H\;$ tiramos uma paralela a $\;CB\;$ (ou $\;EF\;$) que interseta $\;CE\;$ em $\;L\;$ e $\;BF\;$ em $\;M\;$;
- por $\;A\;$ tiramos uma paralela a $\;CL\;$ (ou a $\;BM\;$ que interseta a reta $\;LM\;$ em $\;K\;$
Por (43.1), Os paralelogramos $\;[DCLH],\; [MHGF]\;$ são iguais em conteúdo (ou área) por serem complementos no paralelogramo quadrado $\;[BCEF]\;$ dos dois paralelogramos (quadrados) $\;[BDHM], \; [CHLE]\;$ que existem ao longo da diagonal $\;BE\;$
Se acrescentarmos a cada um dos complementos $\;[DCLH],\; [MHGF]\;$ iguais em área, o mesmo $\;[DHMB]\;$ obtemos dois retângulos $\;[BCLM], \;[BDGF]\;$ iguais em área
Por (36.1), os paralelogramos (retângulos) $\;[CAKL]\;$ e $\;[BCLM]\;$ que têm bases iguais - $\;AC=CB|, \;$ por hipótese - e estão entre as mesmas paralelas - $\;AB \parallel KM. \;$ por construção, - são iguais em conteúdo (em área);
Sendo $\;[AKLC],\; [CLMB]\;$ iguais em área e, como antes tínhamos visto, $\; [CLMB]\;$ é igual em área a $\;[BDGF],\;$ então temos $\;[AKLC],\;[BDGF]\;$ iguais em área.
Podemos concluir que o quadrado de lado $\;BC,\; \;[BCEF]\;$ é igual em área ao gnomon (ver definição 2.2 abaixo) $\;[CMG] = [BCLHGFM]\;$ acrescentado de $\;[HLEG],\;$ quadrado de lado igual a $\;CD\;$
ou ao retângulo $\;[AKHD]\;$ acrescentado do mesmo quadrado de lado $\;CD\;$, já que o gnomon referido é $\;[GDGFB]\;$ (ou $\;[AKHD]\;$ igual em área) acrescentado de $\;[CLHD]\;$ □

$$AD \times DB +CD^2 = CB^2$$

Livro I
PROP. XLVI. PROB.
Sôbre uma linha reta dada descrever um quadado
PROP. XXXI. PROB.
De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra linha reta dada
PROP. XXXVI. TEOR.
Os paralelogramos, que estão postos sôbre bases iguais, e entre as mesmas paralelas, são iguais
PROP. XLIII. TEOR.
Em qualquer paralelogramo os complementos dos paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais entre si
PROP. XLI. TEOR.
Se um paralelogramo e um triângulo estiverem sôbre a mesma base, e entre as mesmas paralelas, o paralelogramo será o dôbro do triângulo
................................
Livro II
DEFINIÇÕES:
I
Todo o paralelogramo retângulo se considera compreendido por duas linhas retas, que formam o ângulo reto.
II
Em todo o paralelogramo $\;[BCEF]\;$ a figura $\;[BCLHGFB],\;$ que resulta de um paralelogramo daqueles (por exemplo, o de diagonal $\;BH\;$), que existem na diagonal $\;BE\;$ do paralelogramo maior, juntamente com os dois complementos (de diagonais $\;CH\;$ e $\;HF\;$, chama-se gnômon. Dêste modo o paralelogramo $\;HB ,\;$ juntamente com os complementos, $\;CH, \;HF\;$ fazem o gnômon que por brevidade, nota-se com as letras $\;CMG,\;$ ou $\;LDC,\;$ que estão postas nos vértices dos ângulos opostos dos paralelogramos, que formam o gnômon.

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000

5.3.15

Elementos: O recíproco do Teorema de Pitágoras (por Euclides)

Transcrevemos ainda de "Os Elementos" o enunciado e demonstração do recíproco do Teorema de Pitágoras, última proposição do Livro I. Muitas discussões sobre a introdução (ou não) em aulas do ensino básico acabaram sempre (ou quase) em derrotas de quem tal defendia. A derrota sente-se logo ao apresentar oralmente a demonstração que naturalmente utiliza vários resultados anteriormente provados, incluíndo o mais próximo teorema da sequência (o próprio teorema de Pitágoras).

RECÍPROCO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

PROP. XLVIII. TEOR.
Se o quadrado feito sôbre um lado de um triângulo fôr igual aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo compreendido por êstes dois lados será reto .

Fazendo variar o valor de $\;n\;$ (no selector no centro ao fundo da janela de construção) verá o desenvolvimento da figura relativa à demonstração.

Seja o quadrado feito sôbre o lado BC do triângulo ABC igual aos quadrados feitos sôbre os lados BA, AC. Digo que o ângulo BAC é reto.

Levante-se do ponto A sôbre AC a perpendicular AD (_*Pr. 11.1.), e ponha- se AD = BA, e tire-se DC. Sendo DA = AB, será o quadrado sôbre DA igual ao quadrado sôbre AB. Ajunte_se-lhes o quadrado de AC. Os quadrados de DA, AC serão iguais aos quadrados de BA, AC. Mas o quadrado de DC é igual aos quadrados de DA, AC, por ser o ângulo DAC reto (_**Pr. 47.1. ), e o quadrado de BC se supõe igual aos quadrados de BA, AC. Logo, o quadrado de DC será igual ao quadrado de BC. Logo, será DC = CB. Sendo pois DA = AB, e AC comum, as duas DA, AC serão iguais às duas BA, AC. Mas é a base DC = BC outra base. Logo, será o ângulo DAC = BAC (_***Pr. 8.1.). Mas o ângulo DAC é reto. Logo, também o ângulo BAC será reto. □

^*PROP. XI. PROB. De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sôbre a mesma reta dada. ^**PROP. XLVII. TEOR. Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto ^***PROP. VIII. TEOR. Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e as bases também são iguais; os ângulos, compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais

Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000