Usando lugares geométricos para resolver problemas de construção.

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Problema: Determinar um ponto cujas distâncias a três retas $\;a, b, c\;$ dadas tenham razões $\;\displaystyle \frac{t}{u}, \frac{u}{v}, \frac{t}{v}$.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo de resolução do problema..
1.
Temos inicialmente três retas $\;a$ (azul), $\;b$ (castanho) e $\;c$ (verde) e três segmentos $\;t$, $\;u$ e $\;v$
Chamámos $\;A\;$ ao ponto de interseção das retas $\;b\;$ e $\;c\;$ : $\;\{A\} = b.c$. E do mesmo modo, $\;\{B\} = a.c$ e $\{C\} = a.b$
2.
O lugar geométrico dos pontos que estão à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ é constituído por duas retas $\;a', a''$(azul tracejado) paralelas a $\;a\;$ e a igual distância $\;t\;$ de $\;a\;$ (2º lugar geométrico da lista). Do mesmo modo, o lugar geométrico dos pontos à distância $\;u\;$ de $\;b\;$ é constituído por duas retas $\;b', b''\;$ paralelas a $\;b\;$ e o lugar geométrico dos ponto à distância $\;v\;$ de $\;c\;$ é constituído pelas retas $\;c', c''\;$ paralelas a $\;c$.

© geometrias, 26 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
Cada um dos pontos de interseção $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ está à distância $\;t\;$ de $\;a\;$ e à distância $\;u\;$ de $\;b\;$. E a razão das suas distâncias a $\;a\;$ e a $\;b\;$ é $\;\displaystyle \frac{t}{u}$. Já vimos que o lugar geométrico dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{u}$ das distâncias a duas retas $\;a, b\;$ que se intersetam é uma reta que passa pelo seu ponto de interseção $\;C\;$ que é o centro do paralelogramo de vértices $\;a'.b',\quad a'.b'',\quad a''.b',\quad a''.b''\;$ como vimos ao estudar o 7º lugar geométrico da lista.
4.
Do mesmo modo, construímos os lugares geométricos
a) dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{u}{v}$ das suas distâncias às retas $\;b, c\;$ constituído pelas retas que contém as diagonais do paralelogramo de centro em $\;A\;$ e de vértices $\;b'.c',\quad b'.c'',\quad b''.c',\quad b''c''$
b) e dos pontos para os quais é constante a razão $\;\displaystyle \frac{t}{v}\;$ das suas distâncias às retas $\;a, c\;$ constituído pelas retas que contêm as diagonais do paralelogramo de centro em $\;B\;$ e vértices $\;a'.c',\quad a'.c'',\quad a''.c', \quad a''.c''$.
5.
Qualquer ponto $\;X\;$ de interseção dos três lugares geométricos obtidos (recorrendo ao lg7, suportado por lg2) estará nas condições requeridas no nosso problema. Chamando $\;d_1\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;a\;$, $d_2$ à distância de $\;X\;$ a $\;b\;$ e $\;d_3\;$ à distância de $\;X\;$ a $\;c\;$, sabemos que $$ \frac{d_1}{d_2}= \frac{t}{u}, \quad \frac{d_2}{d_3}= \frac{u}{v}, \quad \frac{d_1}{d_3}= \frac{t}{v}$$ No caso da nossa construção, os pontos que verificam as condições do lugar geométrico são $\;P, Q, R, S$.
6.
Quando as retas se intersetam duas a duas e $\;t=u=v$, estamos no caso particular em que estão em causa bissetrizes dos ângulos dos pares de retas $\;(b, c)$, $\;(a, c)\;$ e $\;(a, b)\;$, sendo os pontos procurados o incentro $\;I\;$ e os excentros $\;I_1, I_2, I_3$.

Resolução de problemas de construção usando (a lista de) lugares geométricos

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Vamos dar exemplo daquilo a que chamamos aplicação do método dos lugares geométricos à demonstração de teoremas ou resolução de problemas por construção geométrica (referida a instrumentos euclidianos)

Problema: Dados três pontos A, B, C e um ângulo γ, determinar a circunferência que passa por dois deles A e B e subtende o ângulo γ no terceiro ponto C.

Na construção a seguir, apresentamos os passos do processo que pode seguir deslocando o cursor do seletor |n|.
1.
No quadro inicial - |n=1| - encontram-se os dados do problema: A, B, C,γ.
Para resolver o problema de desenhar uma circunferência que passa por dois pontos A, B dados, basta determinar o seu centro O. Por 2 pontos passa uma infinidade de circunferências, tantas quantos os pontos da mediatriz de [AB].
2.
Que tem O a ver com a condição de essa ser uma cirucnferência que subtende um ângulo γ dado de vértice C?
Procuramos o centro O de uma circunferência para a qual as tangentes tiradas por C formam um ângulo ∠TCT'= γ, em que T, T' são pontos de tangência.
Como sabemos, será uma circunferência de raio OA=OB=OT para o qual ∠OTC é reto.
Neste passo |n=2| construímos sobre o ângulo γ de vértice C₀ triângulos ΔCT₀O₀ e ΔCT'₀O₀ e retângulos respetivamente em T₀ e T'₀, semelhantes entre si e aos ΔCTO e ΔCT'O.
Conhecemos agora T₀O₀ / C₀O₀ = TO / CO = AO / CO=BO / CO, constante para cada γ.

© geometrias, 22 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3.
|n=3|: -O é um dos pontos para os quais é uma constante k=T₀O₀ / C₀O₀ = AO / CO , ou seja, O está sobre a circunferência de Apolónio relativa a [AC] e constante k (6º lugar geométrico). Essa circunferência (tracejado a azul) tem diâmetro I₁ e E₁, centros das homotetias que transformam a circunferência centrada em A e de raio T₀O₀ na circunferência centrada em C e de raio C₀Os₀.
4.
|n=4|: - Do mesmo modo, se sabe que O é um dos pontos para os quais é uma constante $\displaystyle k=\frac{T_0O_0}{C_0O_0} = \frac{BO}{CO}$, isto é, está na circunferência de Apolónio (tracejada a amarelo) de diâmetro $I_2E_2$ sobre $BC$.
5.
|n=5|: - Os pontos O e O' de interseção das duas circunferências de Apolónio relativas a $AC$ e a $BC$ e razão comum $k$, são centros das circunferências que passam por $A$ e por $B$ e subtendem o ângulo $\gamma$ de vértice $C$.
6.
|n=6|: - Para finalizar, desenham-se para a circunferência de centro $O$ os triângulos $COT$ e $COT'$ iguais entre si e semelhantes a $C_0O_0T_0$ e $C_0O_0T'_0$.

Construção do 9º lugar geométrico

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das distâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

1. Na anterior entrada, transcrevemos a proposta de H. Eves para a construção deste lugar geométrico. Assim
   • Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   • Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $B$.
   • A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.
   A figura que se segue, procura ilustrar e demonstrar essa proposta de determinação, por construção geométrica, dos elementos definidores do lugar geométrico, a saber $M, K, L$.

   © geometrias, 20 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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2. Já vimos na anterior entrada que o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que $PA^2+PB^2=k^2$ é a circunferência de centro em $M$, ponto médio de $AB$ que pode ser definida pela equação em $P$: $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$ que se pode escrever $\displaystyle PM^2 = \frac{k^2}{2} - BM^2$, por ser $AB=2BM$, ou ainda $\displaystyle PM^2+ MB^2 = \frac{k^2}{2}$
3. Assim, o raio $PM$ da circunferência dos pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2 =k^2$ pode ser obtido como um cateto de triângulo retângulo em $M$ de que o outro cateto é $BM$ e a hipotenusa é $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$
4. Ora $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{2}}$ é quanto mede o lado do quadrado de diagonal $k = BE$ raio da circunferência de centro em $B$, sendo $E$ um dos pontos de interseção da circunferência de raio $K$ com o segundo lado do ângulo de 45º em $A$. Um ponto $P$ do lugar geométrico obtém-se sobre a perpendicular a $AB$ tirada por $M$, extremo do lado $BP$ do quadrado de diagonal $k=BE$.
   $$MK=ML=PM : PM^2 + BM^2= \left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)^2$$
5. $PM\parallel GDK \parallel EFL$ :
   Projetam-se ortogonalmente sobre $AB$, da corda D$E$ da circunferência $(B, k) $, $D$ em $K$, $E$ em $L$ e o ponto médio de $DE$ em $M$ ponto médo de $AB$. Do mesmo modo, por simetria, para a corda $FG$ da circunferência $(A,k)$.

O 9º lugar geométrico da lista: P tais que PA2+PB2=k2

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O 9º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
IX. O lugar geométrico dos pontos para os quais a soma dos quadrados das disâncias a dois pontos dados é uma constante é uma circunferência de centro no ponto médio do segmento de reta definido pelos dois pontos dados.

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Temos como dados um comprimento $k$, e dois pontos $A$ e $B$. Para determinar algum ponto $P$ tal que $PA^2+PB^2=k^2$, começamos por construir um triângulo retângulo em $P_O$ de hipotenusa $k=A_0B_0$. Com centro em $A$ e raio $A_0P_0$ desenhamos uma circunferência e com centro $B$ e raio $B_0P_0$ outra. Um ponto $P$ de interseção destas duas circunferências, caso exista, verifica a condição $PA^2+PB^2=k^2$ de definição do 9º lugar geométrico
2. o botão de animação ligado a $P_0$ variável dá uma sugestão sobre qual será o conjunto dos pontos que procuramos - pelos traços de $P$ e $Q$.

   © geometrias, 14 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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   Deslocando manualmente $P_0$ ou clicando no botão de animação, obtemos um grande conjunto de pontos $P$ do 9º lugar geométrico, e a sugestão de que todos eles estarão sobre uma circunferência de diâmetro sobre a reta $AB$.
   Para voltar ao desenho original clique no botão da direita ao cimo da janela.
3. Que a nossa conjetura feita a partir da observação é correta pode ver-se assim:
   • Para qualquer triângulo $PAB$, sabemos que $2\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$, temos $ 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 + 2\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}$.
     Ora, como $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$, calculando o quadrado escalar de $\overrightarrow{AB}$, temos
     $\overrightarrow{AB}^2 = \overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}$ ou $ 2\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2$
     E, assim, temos $\;\; 4 \overrightarrow{PM}^2= \overrightarrow{PA}^2 + \overrightarrow{PB}^2 +\overrightarrow{PB}^2+\overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{AB}^2\;\;$ ou $\quad \quad{ \displaystyle PA^2+PB^2=2.PM^2+ \frac{AB^2}{2}}$
   • No caso de $P$ verificar a condição $PA^2+PB^2 = k^2$, $$k^2= 2. PM^2+\frac{AB^2}{2} \;\;\; \mbox{ou} \;\;\; PM^2 = \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}$$
     Vimos assim que para os dados $k, A, B$, os pontos $P$ para os quais $PA^2+PB^2=k^2$, quando existem, estão sobre a circunferência   "$ PM^2 = \displaystyle \frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4} $" , de centro $M$ e raio $ \displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}- \frac{AB^2}{4}}$.
4. Seja $P$ um ponto qualquer do círculo de centro "$M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, para $A, B, k$ dados.
   • Se $P, A, B$ não são colineares, $PAB$ é um triângulo e como vimos antes, sendo $M$ o ponto médio de $AB$, então $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2.PM^2 + \frac{AB^2}{2}$ e, sendo $P$ um ponto da circunferência considerada acima, o raio $PM$ é tal que $\displaystyle PM^2 = \frac{K^2}{2} - \frac{AB^2}{4}$, de onde se pode concluir que $$PA^2+PB^2 = 2. \left(\frac{k^2}{2} -\frac{AB^2}{4}\right) + \frac{AB^2}{2}= k^2$$ Ou seja $P$ é um ponto do lugar geométrico.
   • Se $P$ é um dos pontos em que a reta $AB$ encontra a circunferência de centro $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}$, como $$\overrightarrow{PA^2}+ \overrightarrow{PB^2}=(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA})^2 + (\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB})^2=\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MA}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{PM}^2+\overrightarrow{MB}^2 + 2.\overrightarrow{PM}.\overrightarrow{MB} $$ $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}, AM=BM, 2.AM=AB, 2.AM^2=AB^2$,
     $PA^2 + PB^2 = 2.PM^2+ 2.AB^2 = 2(\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4})+2.AB^2=k^2.$
     Ou seja, os pontos $P$ da circunferência de centro e raio referidos, colineares com $A$ e $B$, satisfazem a condição do lugar geométrico.
5. Só nos falta ver as condições de existência do lugar geométrico em si.
   Para $A \neq B$ a circunferência de que temos vindo a falar existe só e só quando $$\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4} \geq 0, \mbox{isto é, quando} \frac{k^2}{2} \geq \frac{AB^2}{4} $$
   • Para $\displaystyle k^2 = \frac{AB^2}{2}\;\; \mbox{ou seja, para}\;\; k= AB. \frac{\sqrt{2}}{2}$, a circunferência reduz-se ao seu centro $M$, ponto médio de $AB$:
     $\displaystyle k=\frac{\sqrt{2}}{2}. {AB} \Leftrightarrow k^2= \frac{AB^2} {2} \Leftrightarrow \frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4} = 0 \Leftrightarrow PM^2 =0 \Leftrightarrow P=M $
   • Se $\displaystyle k^2 < \frac{AB^2}{2}$ não existe qualquer ponto $P$: $PA^2+PB^2 = k^2$, já que $\displaystyle PA^2+PB^2 = 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}$ e $\displaystyle 2PM^2+ \frac{AB^2}{2}\geq \frac{AB^2}{2}$.
6. Para os valores de $k$: $\displaystyle k^2 >\frac{AB^2}{2}$, os pontos $P$ para os quais é constante $k^2$ a soma dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A$ e $B$ dados, é a circunferência de centro no ponto médio $M$ de $AB$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$
7. Para a construção deste lugar geométrico, H. Eves propõe os seguintes passos:
   1. Tome-se a reta que passa pelos pontos $A, B$ dados. Num dos extremos, por exemplo $A$, construa-se um ângulo de 45º.
   2. Com centro no outro extremo $B$, constrói-se uma circunferência de raio $k$ dado que, nas condições de existência do lugar geométrico $\displaystyle k >AB.\frac{\sqrt{2}}{2}$, interseta em dois pontos o segundo lado do ângulo de 45º em $A$.
   3. A projeção ortogonal destes dois pontos sobre $AB$ são os extremos do diâmetro da circunferência de centro em $M$ e raio $\displaystyle \sqrt{\frac{k^2}{2} - \frac{AB^2}{4}}$.

O oitavo lugar geométrico da lista - P tais que PA2-PB2 constante.

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O 8º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
VIII. O lugar geométrico dos pontos para os quais é contante a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos dados é uma reta perpendicular à reta que passa pelos dois pontos dados

Para ilustrar este lugar geométrico, apresentamos a seguir os passos da construção e demonstração.

1. Tomamos os pontos $A$, $B$ e a reta $AB$ por eles definida.
2. Para um valor de $k$, pretendemos determinar um ponto $P$ tal que $PA^2 - PB^2=k^2$ que é equivalente a $PA^2+k^2=PB^2$. Para determinar a distância $PA$, desenhamos um triângulo retângulo de catetos $k$ e $B_0 P_0$ (variável), sendo a hipotenusa $A_0P_0$. Com centro em $A$, desenhamos uma circunferência de raio $A_0P_0$ e, com centro em $B$, desenhamos a circunferência de raio $B_0P_0$. Quando estas circunferências se intersetam, os pontos de interseção $P$ são tais que $PA^2-PB^2=k^2$, condição do 8º lugar geométrico.
   

   © geometrias, 9 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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3. O botão de animação (ao fundo à esquerda) permite acionar o deslocamento de $P_0$ sobre a reta $B_0P_0$, o que acarreta a variação dos comprimentos dos segmentos $B_0P_0$ e $A_0P_0$ e, logo, os pontos $P$ tais que $PA^2-PB^2= k^2$.
   Para cada $k$, após a animação e os traços deixados por $P$ na sua variação, sugerem-nos que o lugar geométrico é uma reta perpendicular a $AB$.
4. Precisamos de abordar alguns resultados vetoriais para determinar o lugar geométrico:
   • Consideremos o triângulo $PAB$, o ponto $M$ médio de $AB$ e o pé $H$ da perpendicular a $AB$ tirada por $P$, como podemos ver na figura inicial e a que podemos voltar sempre clicando no botão na direita alta da figura dinâmica.
   • Lembramos o produto escalar de dois vetores: $\overrightarrow {PA}.\overrightarrow{PB}=\overline{PA}.\overline{PB}.cos(A\hat{P}B)$.
     E, tendo em conta essa definição, por exemplo, $\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PA} = {PA}^2$ e $\overrightarrow{PH}.\overrightarrow{AH}= 0$.
     Calculemos a diferença dos quadrados de dois lados de $PAB$ , no caso $PA^2-PB^2$: ${PA}^2 -{PB}^2 = \overrightarrow{PA}^2 - \overrightarrow{PB}^2= (\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB}).(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$.
     Como $\overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2.\overrightarrow{PM}$, temos $PA^2 - PB^2 = 2.\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{PM}$. E, finalmente, por ser $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HM}$ e $PH \perp BA$, $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{HM}$ podemos concluir $$PA^2 - PB^2 =2.\overline{AB}.\overline{MH}$$
5. Seja um ponto $P$ do lugar geométrico, ou que verifica a condição $PA^2-PB^2 = k^2$. Na alínea anterior estabelecemos que, para qualquer triângulo $PAB$, $PA^2- PB^2 = 2. AB. MH$. Por isso, $2.AB.MH = k^2$ ou seja $\displaystyle MH =\frac{k^2}{2.AB}$ Para dados $A$, $B$ e $k$, há um só $M$ e, logo, um só $H$. Por isso, o ponto $P$ do lugar geométrico está na perpendicular a $AB$ tirada por $H$.
6. • Será que qualquer ponto dessa perpendicular a $AB$ tirada por $H$ verifica a condição do lugar geométrico?
     Seja um ponto $P$ qualquer da perpendicular a $AB$ tirada por $H$, e consideremos o triângulo $PAB$. Sabemos que $PA^2-PB^2 = 2.AB.MH$. Como $\displaystyle MH=\frac{k^2}{2.AB}$, $\;\;PA^2-PB^2=k^2$.
   • Se $P \equiv H$, usando segmentos orientados: $HA^2-HB^2 = (\overline{HA}+\overline{HB}).(\overline{HA}-\overline{HB}) = 2.\overline{HM}. \overline{BA}= 2\overline{AB}.\overline{MH} = k^2$
     Ou seja $H$ também verifica a condição do lugar geométrico.
   Podemos concluir que o conjunto dos pontos, para os quais a diferença dos quadrados das suas distâncias a dois pontos $A, B$ dados é constante $k^2$, é a reta (ou o plano) perpendicular a $AB$ e num ponto $H$ definido por $2 \overline{MH}. \overline{AB}= k^2$

Se desejar tomar outro valor da constante $k$, basta deslocar $A_0$.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 7º lugar geométrico da lista - pontos P tais que é constante a razão das suas distâncias a duas retas concorrentes dadas

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O 4º lugar geométrico da lista era defnido como conjunto de pontos $P$ a igual distância de duas retas concorrentes $a$ e $b$ (bissetrizes dos ângulos $\angle \hat{a, b}$). Concentremo-nos no 4º que é afinal um caso particular do 7º para $k=1$

O 7º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
VII.O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão $k$ é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas.
O lugar geométrico (IV) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.

Usando o lugar
II. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta, a construção que se segue iustra bem o processo seguido, em tudo semelhante ao já usado antes:

1. Tomamos as retas $a$ e $b$ que se intersetam num ponto $O$, um seletor $d$ e um outro $k$.
2. Para um valor de $k$, tomamos uma circunferência centrada num ponto de $a$ e de raio $\;k.d\;$ e outra circunferência centrada num ponto de $b$ e de raio $d$. Para a primeira delas, tomamos o diâmetro perpendicular a $a$ e pelos seus extremos tiramos paralelas a $\;a - \;a_1, a_2\; -$ lugar geométrico dos pontos à distância $k.d$ de $a$. Do mesmo modo, obtemos as paralelas a $\;b - \;b_1, b_2\: -$ lugar geométrico dos pontos à distância $d$ de $b$.
3. As quatro retas $a_1 b_1 a_2 b_2$ formam um paralelogramo ($\; a_1 \parallel a_2, b_1 \parallel b_2\;$) cujas diagonais se bissetam em $\;O\;$ e de vértices $\;P_1 \;(a_1.b_1), P_2 \; (a_2.b_2), P_3 \; (a_2.b_2), P_4 \; (a_1.b_2)$. Estes pontos ${P_i: i=1, 2, 3, 4}$ estão à distância $d.k$ de $a$ e à distância $d$ de $b$, ou seja , são pontos tais que a razão das suas distâncias a $a$ e $b$ é $k$.
   

   © geometrias, 8 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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4. O botão de animação ao fundo à esquerda está ligado ao seletor $d$. Para cada valor de $k$, ao fazer variar $d$ obtemos um paralelogramo de vértices $P_i$ - extremos das diagonais $P_1P_3$ (sobre $l_1$) e $P_2P_3$ (sobre $l_2$) - que são do VII lugar geométrico que procuramos determinar.
   Mas será que, dados $a, b, k$, $l_1 \cup l_2$ é o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que é $k$ a razão das suas distância a $a$ e a $b$ ?
5. Consideremos um ponto $P$ de $l_1 \cup l_2$, $P \in l_1 \vee P \in l_2$, por exemplo, $P \in l_1$. Sabemos que para um dado valor $d_1$ de $d$, há um ponto $P_1 =a_1.b_1$ à distância $d_1$ de $b$ e à distância $k.d_1$ de $a$. As homotetias de centro $O$ transformam cada uma das retas $a, b, l_1, l_2$ em si mesmas. E transformam segmentos proporcionais em segmentos proporcionais na mesma razão, por isso, a homotetia de centro $O$ que transforma $P_1$ em $P$, transforma o segemnto $d_1$ da perpendicular a $b$ tirada por $P_1$ em $PH_b$ e o segmento $k.d_1$ da perpendicular a $a$ tirada por $P_1$ em $PH_a$. Por isso $PH_a=k.PHb$ e P é ponto do lugar geométrico que procuramos. Raciocínio análogo prova que um ponto de $l_2$ é ponto do lugar geométrico. O ponto $O (=l_1.l_2)$ é um ponto do lugar geométrico já que $ 0 = 0 \times k$
6. Reciprocamente: Seja um ponto qualquer $P: PH_a = k.PH_b$. Conduzamos por $P$ uma paralela $b'$ a $b$. Sobre esta $b'$ paralela a $b$, não há mais que dois pontos de $l_1 \cup l_2$ e, dada a definição de $P$, as interseções de $b'$ com $l_1 \cup l_2$ são pontos deste conjunto. Logo $P$ tem de ser um dos dois pontos da interseção $b'.(l_1\cup l_2)$, ponto de $l_1\cup l_2$. Como queríamos.

Notas:

• Usando o seletor $k$, pode ver o que acontece com outros valores da razão (constante), especialmente o que acontece com $k=1$.
• É interessante saber que: $\forall a, b$ {retas concorrrentes}, $\forall k \in \mathbb{R}^+$, $(a,b; l_1, l_2) =-1$. Ou seja, o feixe $(a,b; l_1, l_2)$ de centro $O$ é harmónico.
• O lugar geométrico dos pontos tais que é constante ($ k\neq 1$) a razão das suas distâncias a duas retas paralelas $a$ e $b$ é constituído por duas retas paralelas às dadas e com elas formando um feixe harmónico. E determina-se de um modo análogo ao usado com retas concorrentes.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 6º lugar geométrico da lista - pontos P tais que PA=k.PB, dados A, B e k≠1

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Os 3º e 4º lugares geométrico da lista eram defnidos como conjuntos de pontos $\;P\;$ a igual distãncia de dois pontos dados $\;A\;$ e $\;B\;$ - mediatriz de $\;AB\;$ - ou a igual distância de duas retas concorrentes $\;a\;$ e $\;b\;$ (bissetrizes dos ângulos $\;\angle \hat{a, b}.$
Concentremo-nos no 3º que é afinal um caso particular do 6º para $\;k=1\;$ Por exemplo, o terceiro lugar geométrico poderia ser descrito assim $$\left\{P: \;\frac{PA}{PB} =1 \right\}$$ e foi construído tomando circunferências de igual raio centradas em $\;A\;$ e $\;B.\;$
Quando as circunferências se intersetam temos pontos $\;P\;$ tais que $\;PA=PB. \;$ Um dos pontos do segmento $\;AB\;$ verifica essa condição: o ponto médio $\;M\;$ onde se tocam as circunferências de raio $\;\displaystyle \frac{AB}{2}\;$ centradas em $\;A\;$ e $\;B.\;$
E se tomarmos $k\neq 1$?
VI. O lugar geométrico dos pontos $\;P\;$ para os quais é constante $\;k>0 \wedge k\neq 1\;$ a razão das suas distâncias a dois pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ dados é a circunferência de diâmetro $\;IE, \;$ em que $\;I\;$ e $\;E\;$ dividem $\;AB\;$ interna e externamente em segmentos na razão dada.
(Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
Como determinamos os pontos $\;\displaystyle \left\{P: \frac{PA}{PB} =k \wedge k \neq 1 \right\}$?
A construção que se segue ilustra bem o processo seguido em tudo semelhante ao usado para traçar a mediatriz:

1. Tomamos os pontos $\;A\;$ e $\;B,\;$ a reta $\;AB\;$, um seletor $\;d\;$ e um outro $\;k.\;$
2. Para um valor de $\;k, \;$ tomámos uma circunferência centrada em $\;B\;$ e de raio $\;d\;$ e outra circunferência centrada em $\;A\;$ e de raio $\;d.k$. Se estas circunferências se intersetarem em $\;C,\;$ este ponto está à distância $\;d\;$ de $\;B\;$ e $\;d.k\;$ de $\;A$. A razão das distâncias de $\;C\;$ a $\;A\;$ e de $\;C\;$ a $\;B\;$ é $\;k\;$ e $\;C\;$ será um ponto do lugar geométrico que procuramso determinar.
3. O botão de animação (ao fundo à esquerda) está associado ao seletor $\;d$. Para um valor de $\;k$, para cada valor de $\;d\;$ (variável) obtemos $\;C\;$ e $\;D$, pontos do lugar geométrico referido a $\;A$, $\;B\;$ e esse valor de $\;k$. Os pontos $\;C\;$ e $\;D\;$ deixam traço e pode acompanhar o desenho quando $\;d\;$ toma diferentes valores.
   

   © geometrias, 5 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra

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4. À semelhança do que aconteceu com o ponto $\;M\;$ médio de $\;AB\;$ para $\;k=1$, aqui também há um valor de $\;d\;$ para o qual as circunferências $\;B(d)\;$ e $\;A(d.k)\;$ se tocam num ponto $\;I\;$ de $\;AB\;$ e um outro valor de $\;d\;$ para o qual as circunferências se tocam num ponto $\;E$. Pode aproximar-se desses pontos deslocando o cursor $\;d$.
5. Para cada $\;k,\;$ estes $\;I\;$ e $\;E\;$ são os centros das homotetias de razão $\;\pm k\;$ que transformam $\;B\;$ em $\;A\;$ e as circunferências centradas em $\;B\;$ de raios $\;d\;$ nas circunferências centradas em $\;A\;$ de raios $\;d.k$
6. Na nossa construção, $\;\forall k>0 \; \; $ $ \;\frac{IA}{IB}=-k,\; \; \frac{EA}{EB}=k\; \;$ e $ \;\frac{AC}{BC}=k\;$ (razão entre os raios das duas circunferências centradas em $\;A\;$ e $\;B\;$ homtéticas de razão $\;k$):
   • $\;I\;$ divide internamente $\;AB\;$ em $\;AI\;$ e $\;IB$, sendo $\;AI=k.IB$.
   • $\;E\;$ divide externamente $\;AB\;$ em dois segmentos $\;AE\;$ e $\;EB,\;$ sendo $\;AE=k.EB$
7. Os pontos $\;I\;$ e $\;E\;$ separam harmonicamente $\;A\;$ e $\;B\;$, já que a razão dupla $$\;(AB, IE)=\frac{AI \times EB}{IB \times AE} = \frac{k}{-k} =-1$$ Para cada $\;(A,\; B,\; k)\;$, pode variar $\;d\;$ (e logo $\;C\;$), mantendo-se $\;I\;$ e $\;E\;$ inalterados. Estes pontos são os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo $\;\angle A\hat{C}B\;$ na reta $\;AB$, no triângulo $\;ABC\;$ em que $\;CA=k.CB$
8. Quer dizer que os pontos $\;C$: $\;CA=k.CB\;$ são do lugar geométrico que procuramos determinar e estão sobre a circunferência de diâmetro $\;IE$, já que $\;I\hat{C}E\;$ é um ângulo reto.
9. Para que a circunferência de diâmetro $\;IE\;$ seja o lugar geométrico que procuramos definir, só falta provar que qualquer ponto $\;P\;$ da circunferência de diâmetro $\;IE\;$ satisfaz a condição $\;\displaystyle \frac{PA}{PB}=k$. Sabemos que $\;I\;$ e $\;E\;$ satisfazem essa condição e que $\;(AB, IE) = -1$. O feixe de concorrentes $\;(PA, PB, PI, PE)\;$ é harmónico já que a secção por $\;AB\;$, $\;{A,B,I,E}\;$ é um quaterno harmónico, ou que $\;I\;$ é conjugado harmónico de $\;E\;$ relativamente a $\;A\;$ e $\;B$. Neste feixe harmónico, $\;PI \perp PE\;$ e, portanto, bissetrizes do ângulo $\;A\hat{P}B\;$. Por isso e por construção de $\;I\;$ e $\;E$: $$k=\frac{IA}{IB}=\frac{PA}{PB}$$
10. A esta circunferência de diâmetro $\;IE\;$ cujos extremos dividem $\;AB\;$ em segmentos cuja razão é $\;k\;$ chamamos circunferência de Apolónio para os pontos $\;A, \;B\;$ e valor $\;k$

Na construção, além de animar $\;d$, pode deslocar o ponto do seletor $\;k\;$ e verificar o que se passa quando $\;k\;$ toma diferentes valores, especialmente, quando $\;k\;$ toma o valor $\;1$.

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964

O 5º lugar geométrico da lista: - dos pontos P tais que A, B e ângulo APB são dados.

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O 5º lugar geométrico da lista já foi usado em vários problemas ao longo dos anos.

V. O lugar geomético dos pontos dos quais partem retas para os extremos de um dado segmento de reta fazendo um dado ângulo consiste num par de arcos circulares iguais tendo como corda comum o segmento dado. Em particular, se o ângulo dado for um ângulo reto, os dois arcos são semicírcunferências de diâmetro igual ao segmento dado.
Os primeiros cinco passos da construção que se segue determinam-se pontos que verificam as condições dadas e nos restantes organizam-se dados de uma possível construção demonstativa do que seja o lugar geométrico.

1. Começamos por mostrar, para além de um seletor [n], os dados: um segmento e seus extremos A e B; um ângulo α
2. Tomamos um ponto X a rodar em torno de A, ou seja, definidor de retas x a passar por A;
3. Marcamos uma reta r como segundo lado de um ângulo (xAr) igual a α ;
4. Por B tiramos retas paralelas a x e a r;
5. Essas quatro retas intersetam-se duas a duas em AQBP, sendo os ângulos por elas formados em P e Q iguais a α (alternos internos ou correspondentes em sistemas de retas paralelas cortadas por secantes), sempre que P está acima do segmento AB e Q está abaixo de AB.
6. Clicando sobre o botão de animação ao fundo à esquerda, ou movimentando manualmente o ponto X), obtemos pontos P e Q de que partem para A e B retas fazendo um ângulo dado α .

   Para acompanhar os passos da construção, desloque o cursor [n], do seletor, atendendo ao seguinte:

   © geometrias, 31 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

   Pode clicar sobre o botão ao cimo à diretia para voltar ao ponto de partida
7. A partir do passo 5, mostramos como habitualmente construímos com régua e compasso, este lugar geométrico.Começamos por construir sobre um dos extremos um ângulo BÂC=α como na figura. O centro O do arco que subtende o ângulo APB=α está na mediatriz de AB e na perpendicular a AC tirada por A:
   α=AÔC=BÂC por serem da mesma espécie e de lados perpendiculares AB⊥OC e AC⊥AO. Do mesmo modo se conclui que α=BÔC. E AÔB=2α Todos os ângulos inscritos na circunferência de centro O a passar por A e B nas condições descritas em que AÔB=2α
8. Obviamente que se APB não for reto, o lugar geométrico é formado por dois arcos, um da circunferência de centro em O e outro da circunferência e centro O' (imagem de O na reflexão de eixo espelho AB) ambas a passar por A e B. A e B não fazem parte do lugar geométrico já que nem o ângulo AAB nem ABB são iguais a α ≠ 0.
   Quando APB é reto, AB é diâmetro da circunferência e o lugar geométrico será constiuído por duas semicircunferências centradas no ponto médio de AB e abertas (já que A e B não são pontos do lugar geométrico relativo ao enunciado desta entrada ).

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Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Birkhoff; Beatley. Basic Geometry. AMS. Chelsea Publ. Cy. New York:1933
Nathan Altshilleer-Court.College Geometry - An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle Dover Publicatons, New York:2007