Reflexões

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Tomámos duas retas perpendiculares e uma circunferência de raio 1 e centrada no ponto de interseção das retas perpendiculares. As figuras restantes podem ser obtidas como transformados do polígono (cimo direita, com vértices verdes) por refexões relativamente às retas perpendiculares e à circunferência.

© geometrias, 26 dezembro 2013, Criado com GeoGebra

Deslocando os vértices do polígono (pontos verdes) pode variar o polígono original e observar as mudanças nos corrrespondentes pelas reflexões.

Coordenadas, equações e inversão (4. Parábola)

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Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão e a parábola de equação $\;\;\;\;y=x^2 \;\;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Lembramos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 20 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da parábola (azul, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; y=x^2 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ y=x^2 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$\frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \Longleftrightarrow y(x^2+y^2)=x^2 \Longleftrightarrow x^2y - x^2+y^3=0$$ Esta última é a equação da curva inversa da parábola que é mostrada na folha algébrica do geogebra. Para $(x,y)=(0,0)$, a aplicação daria valores indeterminados para as coordenadas do inverso de $O$. Considerando o plano inversivo, o inverso do centro de inversão é o ponto ideal $Z (\infty)$. O plano inversivo e o ponto ideal (convencional) estão tratados na entrada de 31 de Julho p.p.: " Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-) ".

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Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, ou a parábola, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão e da parábola e respetiva curva inversa.

Coordenadas, equações e inversão (3. Elipse e hipérbole; lemniscatas)

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Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão, a hipérbole de equação $\;\;\;\;x^2 - y^2 = 1 \;\;\;\;$ e a elipse de equação $\;\;\;\; 10x^2+y^2=10 \;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Já sabemos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da elipse (verde, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; 10x^2+y^2=10 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ 10x^2+y^2=10 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& 10\times \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 10 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$10\times \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 10 \Longleftrightarrow 10x^2+y^2=10\left(x^2+y^2\right)^2 \Longleftrightarrow$$ $$\Longleftrightarrow \left(x^2+y^2\right)^2=x^2+\frac{1}{10}y^2 \Longleftrightarrow-100x^4-200x^2y^2 +100x^2-100y^2+10y^2=0$$ Esta última é a equação da curva inversa da elipse que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

Do mesmo modo, se determina a equação da inversa da hipérbole (a azul): $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ x^2-y^2=1 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 - \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 1 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 - \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 1 \Longleftrightarrow \left(x^2+y^2\right)^2 = x^2-y^2 \Longleftrightarrow -x^4-2x^2y^2+x^2-y^4-y^2=0$$ sendo esta última a expressão apresentada na folha algébrica do geogebra para definir a curva inversa da hipérbole. As curvas obtidas para inversas da elipse e da hipérbole dadas têm equações das famílias das lemniscatas

1. elípticas: $\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\left(x^2+y^2\right)^2=b^2x^2+a^2y^2$
   • $\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{inversa da elipse}\;\;10x^2+y^2=10\;: \;\;\; \left(x^2+y^2\right)^2=x^2+\frac{1}{10}y^2$
2. hiperbólicas: $\;\;\;\;\;\;\left(x^2+y^2\right)^2 = b^2x^2-a^2y^2$
   • $\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{inversa da hipérbole}\;\; x^2-y^2=1 \;:\;\;\left(x^2+y^2\right)^2 = x^2-y^2$

As lemniscatas estão entre as - espíricas de Perseus - curvas obtidas como secções do toro por planos paralelos ao seu eixo. Estas classificações constam do "Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches" de F. Gomes Teixeira (na Biblioteca da José Estêvão, claro!).

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Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, a hipérbole ou a elipse, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão, da hipérbole e da elipse e as respetivas curvas inversas.

Coodenadas, equações, inversão (2. cónicas: hipérbole)

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Tomamos a hipérbole de equação $\;\;\;\;y=\displaystyle\frac{1}{x} \;\;\;\;$ ou $\;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=t \\ \displaystyle y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right.$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Como já vimos, pela inversão $I(O, 1)$, um ponto $P(x,y)$ é transformado noutro ponto $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.
No caso da hipérbole $\;\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}$, $$P\left(x, \frac{1}{x}\right) \;\;\;\; \longmapsto \;\;\;\; P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+\frac{1}{x^2}}, \frac{\frac{1}{x}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\right)$$ Parametricamente: $$\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right. \;\;\; \longmapsto \;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{t^2 +\frac{1}{t^2}}\times t \\ y=\frac{1} {t^2+\frac{1}{t^2}}\times \frac{1}{t} \end{matrix}\right.$$ Esta última é a equação da curva inversa da hipérbole $\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}\;\;$, que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Se deslocar a hipérbole, pode observar que diferentes hipérboles têm por inversas curvas com diferentes formas.

Inversos de 5 pontos não definem a inversa da cónica por eles definida

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Como sabemos, 5 pontos distintos $A, B, C, D, E$ definem uma cónica (há uma só cónica que neles incide). Com um contra-exemplo, vamos mostrar que os pontos $A', B', C', D', E'$ (obtidos por uma inversão $I(=O,1)$ ) inversos de $A, B, C, D, E$ não definem a inversa da cónica definida por $A, B, C, D, E$. Para seguir o nosso contra-exemplo, é conveniente não deslocar quaisquer elementos para além de fazer variar $\;\fbox{ n }\;$ no cursor. Se tal acontecer, poderá sempre voltar às nossas posições (pontos) recarregando a página.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue, passo a passo, as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) -$ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Apresentam-se os pontos $A, B, C, D, E$
$\fbox{ n = 3}\;$: No caso dos pontos por nós tomados, há uma elipse que neles incide.
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresentam-se os pontos $A', B', C', D', E'$
$\fbox{ n = 5}\;$: Apresenta-se a cónica que passa pelos pontos $A', B', C', D', E'$ e fica evidente que não é a inversa da elipse definida por $A, B, C, D, E$ (para as posições dadas) já que a cónica $A', B', C', D', E'$ não passa pelos pontos de interseção da cónica $A, B, C, D, E$ com a circunferência de inversão (invariantes)
$\fbox{ n = 6}\;$: Finalmente apresenta-se a curva inversa da cónica $A, B, C, D, E$ (a passar pelos tais pontos invariantes)

© geometrias, 13 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Claro que pode verificar que, ao deslocar qualquer um ou vários dos pontos $A, B, C, D, E$ obtém um novo conjunto de posições de pontos e, consequentemente, uma nova cónica por eles definida. Pode fazer todas as experiências que achar interessantes, vendo a relação entre as curvas dependentes da definida por cada posição de $A, B, C, D, E$ (que pode mudar posição a posição de cada ponto)

Coordenadas, equações e inversão (1.retirculos)

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Consideremos um referencial ortonormado $xOy$ e uma circunferência de centro $O(0,0)$ e $\mbox{raio}=1$.
Seja o ponto $P(x,y)$ distinto de $O(0,0)$. Pela inversão $I(O,1)$, $P$ é transformado num ponto $P'(x',y')$ se se verificar que $\overrightarrow{OP} . \overrightarrow{OP'} = 1$, ou seja $P'$ está sobre a semirreta $\dot{O}P$ e $\overline{OP'} = \displaystyle\frac{1}{\overline{OP}}$
Nestas condições

1. $\angle PÔP'$ é nulo e $\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OP'} =\overline{OP}\times \overline{OP'} = \sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{x'^2 + y'^2} =1$
2. $\overrightarrow{OP}=(x-0, y-0)=(x, y)$, $\overrightarrow{OP'}=(x', y')$ e $\overrightarrow{OP'}=k.\overrightarrow{OP}$, sendo $k$ real não nulo ou $(x',y')=(kx, ky)$
3. Assim: $\sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} =1$ que é o mesmo que $k(x^2+y^2) = 1$ ou $$k= \displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}$$
4. Concluindo: Para a inversão $I(O,1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ distinto da origem é o ponto $$P'\left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$$

Apoiados na construção que se segue, determinamos: (1) as coordenadas dos inversos de pontos dados pelas suas coordenadas, (2) equação da inversa de uma reta (que não passa por $O$, centro da inversão) dada por uma equação, (3) equação da inversa de uma circunferência (que não passa por $O$) dada pela sua equação.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue passo a passo as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) -$ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Assinalam-se os pontos $A(\frac{3}{2}, 0)$, $B(0, 2)$ e $C(-2, -1)$ (e os seus inversos)
$\fbox{ n = 3}\;$: Apresenta-se a reta de equação $y=2x+1$ (e a sua inversa)
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresenta-se a circunferência de equação $(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04$ (e a sua inversa)

© geometrias, 11 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Já vimos acima que a inversão $I(O,1)$, no plano cartesiano, fica bem definida por $$\left\{ \begin{matrix} x'=\frac{x}{x^2+y^2}\\ y'=\frac{y}{x^2+y^2} \end{matrix} \right.$$
Passe para $\fbox{ n = 2}\;:\;\;\;\;\;\;A=\left(\frac{3}{2}, 0\right) \longmapsto A'= \left(\frac{2}{3}, 0\right); \;\;\;\;\;\; B=(0, -2) \longmapsto B'=\left(0, -\frac{1}{2}\right);$ e $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; C=(-2, -1) \longmapsto C'= \displaystyle\left(\frac{-2}{5}, \frac{-1}{5} \right)$
Passe para $\fbox{ n = 3}\;$: A equação da inversa da reta (circunferência) $y=2x+1,\;\mbox{que não passa por } (0,0)\;\;\;x^2+y^2\neq 0$), será $$\frac{y}{x^2+y^2}= 2.\frac{x}{x^2+y^2} +1 \Longleftrightarrow y= 2x + x^2+y^2 \Longleftrightarrow x^2+2x+y^2-y=0$$ ou $$(x+1)^2 +\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{5}{4}$$ $\mbox{circunferência que passa por} \; O\;\; \mbox{e corta} \;\;(O, 1) \mbox{onde a reta}\;\; y=2x+1\;\;$ a corta.

Passe para $\fbox{ n = 4}\;$: A equação da inversa da circunferência de equação $$(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04\;,$$ $\mbox{já que não passa por}\; (0,0) \; \; \mbox{ou para os pontos da qual se verifica}\;\;x^2+y^2 \neq 0$, será $$\left(\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2} - \frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{100} \Longleftrightarrow \ldots\\ \ldots \Longleftrightarrow \left(x-\frac{135}{100} \right)^2 +\left(y+\frac{108}{100}\right)^2=\frac{29}{100}$$

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A folha algébrica do GeoGebra permite verificar as equações... obtidas

Determinar inversão que relaciona duas circunferências dadas (3)

Há inversão entre duas circunferências quaisquer? (3)

3º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (uma interior da outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_1$.
Determinação de $I(O_1, r^2)$

1. Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
2. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que não se intersetam e $(C_2)$ está no interior de $(C_1)$. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_1$ entre $C_1$ e $C_2$ da homotetia de razão negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2)$ para centro da inversão, para a qual $P$ é transformado em $Q'$. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
3. Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_1P$, que não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_1$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_1$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. E sabemos também que, para o inverso de $A$ relativamente a $O_1$ ser $A'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a ela tiradas pelo ponto $A$ exterior.
   Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $AO_1$ em $A'$ com a cirucnferência de diâmetro $AO_1$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_1$, que transforma o ponto $A$ genérico de $(C_1)$ no ponto $A'$ de $(C_2)$, tem raio $O_1T$.

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_2$.
Determinação de $I(O_2, r^2)$

1. Na construção acima, tomamos a homotetia de razão positiva com centro $O_2$ que transforma $P$ em $Q'$.
   $O_2$ estará na interseção de $PQ'$ com $C_1C_2$.
2. Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_2$ que transforma $P$ no ponto $P'$ tal que $O_2P \times O_2P'= r^2$, tomamos uma circunferência auxiliar por reflexão de $(C_2)$ relativamente à perpendicular a $C_1C_2$ tirada por $O_2$. A reta $PQ'$ corta esta última circunferência em $P_1$ e $Q_1$ que se transformam em $P'$ e $Q'$ por meia volta de centro $O_2$. A circunferência de inversão terá por isso de passar pelos pontos de interseção de $(C_1)$ com esta circunferência transformada de $(C_2)$ por meia volta de centro $O_2$

Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada pelas inversões acima definidas na circunferência $(C_2)$.

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© geometrias, 9 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (2)

Há inversão entre duas circunferências quaisquer?(2)

2º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ (exteriores uma à outra) que não se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

Para seguir os passos de cada construção a seguir apresentadas, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eT^2)$

1. Sabemos que quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ são homotéticas.
2. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ não se intersetam. Tomamos, em primeiro lugar o centro $O_e$ da homotetia de razão positiva que transforma $(C_1)$ e $(C_2)$ para centro da inversão. Falta determinar o raio da circunferência de inversão.
3. Seja $P$ um ponto qualquer de $(C_1)$. A reta $O_eP$, se não é a tangente a $(C_1)$ em $P$ tirada por $O_e$, corta a circunferência $(C_1)$ num outro ponto $Q$ e $(C_2)$ em dois pontos que designamos por $P'$ e $Q'$. Já sabemos que a homotetia de centro em $O_e$ transforma $P$ em $Q'$ e $Q$ em $P'$. Para que o inverso de $P$ relativamente a $O_e$ ser $P'$, este estará sobre a corda da circunferência de inversão que une os pontos de tangência das tangentes a esta tiradas pelo ponto $P$ a ela exterior.
   Os pontos de tangência estarão, neste caso, na perpendicular a $PO_e$ em $P'$ com a circunferência de diâmetro $PO_e$. Seja $T$ um deles. A circunferência de inversão de centro $O_e$ que transforma o ponto $P$ genérico de $(C_1)$ no ponto $P'$ de $(C_2)$ tem raio $O_eT$.

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iR^2)$

1. Na construção acima, tomamos a homotetia de razão negativa com centro $O_i$.
2. Para determinar o raio $r$ da circunferência de inversão de centro em $O_i$ que transforma $P$ num ponto $P'$ tal que $O_iP \times O_iP'= r^2$, estando $O_i$ entre $P$ e $P'$, tomamos uma circunferência de diâmetro $PP'$ e a perpendicular a $PP'$ tirado por $O_i$. Ficamos com o triângulo $PRP'$ retângulo em $R$, do qual $O_iR$ é a altura relativa a $R$ ou à hipotenusa $PP'$ $O_iR$ é a média geométrica de $PO_i$ e $O_iP$, ou seja, $O_iP\times O_iP'=r^2$ -
Uma circunferência $(C_1$ de que $P$ é um ponto genérico é transformada, pela inversão acima determinada, na circunferência $(C_2)$.
3. Claro que, por $I(O_i, r^2)$ podemos determinar diretamente outra circunferência inversa de $C_1)$ que é a imagem da circunferência $(C_2)$ dada relativamente a $O_i$, como se pode ver a dado passo da construção feita.
4. Não usámos o método da tangente do caso anterior já que a circunferência de diâmetro $PO_i$ não corta a circunferência $C_2$ dada. Obviamente também não podíamos usar o método dos pontos de interseção das circunferências dadas, já que elas não se intersetam.
5. Este procedimento é equivalente a:
   • Determinar $O_i$ como centro da homotetia negativa que transforma $(C_1)$ em $(C_2$
   • Determinar a circunferência $(K)$ como imagem pela reflexão relativa a $O_i$ de $(C_2)$
   • Claro que $O_i$ é o centro da homotetia positiva entre $(C_1)$ e $(K)$ e calcular $r$ por algum dos métodos já utilizados: circunferência de centro $O_i$ e a passar pelos pontos de interseção das circunferências $(C_1)$ e $(K)$, ou pelo método das tangentes usado no caso em que recorremos à homotetia positiva que relaciona duas circunferências.

© geometrias,3 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra