GEOMETRIA : agosto 2013

A construção desta entrada pretende ilustrar que
A composta de duas inversões relativas a circunferências com o mesmo centro O de potências k₁ e k₂ - I(O,k₂). I(O, k₁) - é uma homotetia de centro O e razão k₂ / k₁ - H(O,k₂k₁) I(O,k₂). I(O, k₁)= H(O, k₂ / k₁
Na figura, por I(O, k₁), P é transformado em P' e, este, por sua vez, é transformado em P'', por I(O, k₂):

Na figura podem deslocar P livremente no plano. Ao mover o ponto P, deixam traços os pontos P, P', P'', podendo assim verificar as relações entre as curvas descritas por P' e P'' quando P descreve a curva que escolha ao deslocá-lo.

Demonstremos que
I(O, k₂)_º I(O, k₁)= H(O, k₂ / k₁)

Um ponto P≠O qualquer do plano, por I(O, k₁), é transformado em P', colinear com O e P e tal que OP . OP' = r₁ ²= k₁
Seguidamente, por I(O, k₂), P' é transformado em P'', colinear com O e P' e tal que OP' . OP'' = r₂²= k₂
O, P e P'' são colineares, sendo OP"= k₂ / OP'=k₂ / k₁OP de onde OP’’/OP= k₂k₁
Se P = O, então P’= Z e P'' = O, o que significa que o centro O é invariante pela composta das duas inversões, consistente com a definição de homotetia de centro O.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

5.8.13

Inversão ou reflexão relativamente a uma circunferência

A entrada anterior aborda os resultados que podemos enunciar

Se $C$ e $D$ são inversos relativamente à circunferência de centro $O$ e raio $r$ , então $(A,B;C,D)=-1$ , em que $[AB]$ é o diâmetro da circunferência de inversão que passa por $C$ e $D$ :
e, reciprocamente, se $(A,B;C,D)=-1$ , sendo $[AB]$ um diâmetro de uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ , então $C$ e $D$ são inversos relativamente a essa circunferência
Se $C$ e $D$ são inversos relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ , então qualquer circunferência que passe por $C$ e $D$ corta ortogonalmente a circunferência de centro $O$ e raio $r$ ;
e, reciprocamente, se um diâmetro de uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ corta uma circunferência ortogonal a ela em $C$ e $D$ , então a $C$ e $D$ são inversos relativamente à circunferência de centro $O$ e raio $r$

A nova construção, que se segue, pretende ilustrar que
Se duas circunferências de centros

$O_1$ e

$O_2$ se intersetam em dois pontos

$C$ e

$D$ e cada uma delas é ortogonal a uma terceira de centro

$O$ , então os pontos

$C$ e

$D$ são inversos relativamente a essa terceira circunferência de centro

$O$ .
Na figura podem deslocar

$O_i$ livremente no plano. O resultado é válido para circunferências (

$O_1$ e

$O_2$ ) que se intersetam e são ortogonais à circunferência de centro

$O$ e raio

$r$ .

Tome-se a reta $OC$ . Na ilustração é aparente que $OC$ passa por $D$ .
De facto, assim terá de ser.
Se $OC$ intersetasse a circunferência de centro em $O_1$ em $D_1\;$ , como esta é ortogonal à circunferência de centro $O$ , $D_1$ seria inverso de $C$ relativamente à circunferência vermelha de centro em $O$
Do mesmo modo, se pode concluir que a interseção $D_2$ de $OC$ com a circunferência de centro $O_2$ , por esta ser ortogonal à circunferência de centro $O$ , seria inverso de $C$ relativamente à circunferência de centro $O$ .
Sabendo que $C$ e $D$ são pontos de interseção das duas circunferências de centros $O_1$ e $O_2$ ,
$D_1$ é o inverso de $C$ e está sobre a reta $OC$ e a circunferência de centro $O_1$
$D_2$ é inverso $C$ e está sobre a reta $OC$ e sobre a circunferência de centro $O_2$ ,
e, finalmente, para cada ponto $C$ há uma só ponto $C'$ sobre $OC$ que é seu inverso relativamente à circunferência de centro $O$ , tem de ser $C'=D_1=D_2=D$ único ponto nas circunferências de centro $O_1$ , de centro $O_2$ e na reta $OC$ .

Foi devido a este resultado que alguns geómetras passaram a referir-se à inversão como a reflexão relativamente a uma círcunferência. O enunciado poderia ser assim:
Se duas circunferências se intersetam e cada uma delas é ortogonal a uma terceira circunferência, então cada um dos pontos de interseção das duas circunferências é a reflexão do outro relativamente à terceira circunferência.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

1.8.13

Inversão e ortogonalidade.

Algumas notas sobre ângulos de curvas e ortogonalidade:

Chamamos ângulo de duas circunferências que se intersetam ao ângulo das tangentes a cada uma delas no ponto de interseção.O ângulo num dos pontos de interseção é igual ao ângulo formado pelas tangentes no outro.
Dizemos que as circunferências são ortogonais quando o ângulo das duas é um reto.
Se o raio de uma circunferência tirada do centro para o ponto de interseção com outra, for tangente a esta no ponto de interseção, as circunferências são ortogonais.
Se duas circunferências são ortogonais, o diâmetro de uma delas é cortado harmonicamente pela outra.

A construção, que se segue, pretende ilustrar

a determinação do inverso de um ponto exterior $P$ à circunferência de inversão, usando a construção da tangente tirada por $P$
que a circunferência de centro em $P$ e raio $\overline{PT}$ é ortogonal à circunferência de inversão
que o inverso $X'$ de um ponto $X$ da circunferência ortogonal à circunferência de inversão é um ponto da circunferência ortogonal

Demonstraremos, logo de seguida.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura podem deslocar

$P$ livremente no plano e

$X$ sobre a circunferência castanha.

Toma-se um ponto O e uma circunferência (a vermelho) que definem $I(O,k)$ e toma-se um ponto genérico $P$ do exterior da circunferência. Os pontos $T$ de tangência à circunferência de inversão das tangentes tiradas por $P$ são os vértices de triângulos retângulos $OPT$ de hipotenusa $[OP]$ : interseção da circunferência de inversão com uma circunferência de diâmetro $[OP]$ . O inverso $P'$ de $P$ por $I(O,k)$ é o ponto de interseção da reta $OP$ com a reta definida por esses pontos de tangência
De facto, da semelhança de triângulo $[OPT] \sim [OP'T]$ , retângulos em $P$ e em $P'$ , tira-se $\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}} =\frac{\overline{OT}}{\overline{OP'}} = \frac{\overline{TP}}{\overline{TP'}}$ e $\overline{OP}\times \overline{OP'}= \overline{OT}\;^2$ Por ser $\overline{OT}=r$ , $\overline{OP}\times \overline{OP'}= r^2 =k$
$[PT]$ é raio da circunferência centrada em $P$ e que passa por $T$ (castanha) ao mesmo tempo é tangente à circunferência de inversão (vermelha) no ponto de interseção. Isso basta para garantir que as circunferências são ortogonais.
Lembramos que vamos trabalhar a seguir com segmentos orientados. Quando escrevemos $AB$ é o mesmo que $B-A$ , $BA$ é $A-B$ , $AB=-BA$ , $A-B=-(B-A)$ , etc

Tome-se um ponto $X$ da circunferência ortogonal à circunferência de inversão. $OX$ contém um diâmetro $[AB]$ da circunferência de inversão.Tome-se a reta que passa pelo centro $O$ da circunferência de inversão que corta esta em $A$ e $B$ e a ortogonal em $X$ e $Y$ , Sabemos, por isso, terá de ser $(AB, YX)=-1$ .
O inverso $X'$ de $X$ foi determinado de modo a ser $OX \times OX' = r^2=OB ^2$ . $Y=X'$ ?
$(AB, YX) =\frac{AY}{BY} / \frac{AX}{BX} =-1 \Leftrightarrow \frac{AY}{BY} = - \frac{AX}{BX}$ e, em consequência, por ser $AY= AO+OY = OY-OA, BY= OB-OY, AX=AO+OX=OX-OA, BX=OX-OB$ , $\frac{OY - OA}{OB - OY} = - \frac{OX - OA}{OX - OB}$ Como $AO=-BO$ , fica $\frac{OY+OB}{OB-OY}=-\frac{OX+OB}{OX-OB} \Leftrightarrow (OY+OB) \times (OX-OB) = (OB-OY) \times (OX+OB)$ $OY \times OX - OY \times OB +OB\times OX - OB^2 = OB\times OX +OB^2 -OY \times OX - OY \times OB \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2\times OY \times OX =2\times OB^2$ ou seja $OY \times OX =OB^2$ $Y$ é inverso de $X$ por $I(O,k)$ : $X' =Y$ é o inverso de $X$ e está sobre a circunferência de centro $P$ e raio $OT$ , ortogonal à circunferência de inversão.
Serve isto para demonstrar que uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão tem por inversa ela própria, mas não ponto por ponto, como acontece com a circunferência de inversão em que cada ponto é inverso de si mesmo.

Estes processos juntam a determinação de conjugados harmónicos com a determinação de inversos, polaridade, ortogonalidade,...

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992