Hipérbole afim de outra: vértices, eixos, assíntotas

Apresentamos nesta entrada a construção de uma hipérbole afim de uma outra de que são dados o centro O, os vértices A e B e as assíntotas. A afinidade fica bem definida pelo eixo e e por um par (P, P') de pontos correspondentes.
Para determinar O', tome-se a reta OP. O' é a interseção da paralela a PP' tirada por O com a reta que passa por e.OP e por P'.
Para determinar A' e B', toma-se a reta AB (eixo) que passa por O. Porque A'B' passa por e.AB e por O' e AA'//PP'//BB', ficam bem determinados A' e B'.
As homólogas das assíntotas da hiperbole original passam por O e pelos respetivos pontos de interseção do eixo com as assíntotas originais.

Parábola afim de outra: eixos e vértices

Nesta entrada, apresentamos a construção de uma parábola por afinidade de outra parábola dada e de que conhecemos o eixo de simetria a e o vértice A (imagem de si mesmo pela reflexão relativa ao eixo a da parábola). A afinidade que consideramos é dada pelo eixo e e pelo par de correspondentes (A, A').
Como sabemos AA' dá a direção da afinidade que é o mesmo que dizer que para qualquer (X,X') de pontos homólogos pela afinidade, XX'//AA'. Também sabemos que o ponto A é duplo para a reflexão relativamente a a, está sobre t, perpendicular a a, tirada por A e é o único ponto da parábola e de t. A imagem, t', por afinidade de t, é a reta definida por e.t e A' e a imagem por afinidade do eixo a é a reta a' definida por e.a e A'.
O mais natural é que, para a afinidade considerada, a' não seja o eixo de simetria da parábola afim da dada (e A' não seja o seu vértice).
Nesta construção, determinamos quatro pontos homólogos, pela afinidade, de pontos da parábola dada, com o cuidado de termos entre eles, o vértice.
Para isso, tomamos uma perpendicular, n', a _a' num dos seus pontos, N', e determinamos o seu homólogo, N, sobre a (NN'//AA') e a reta, n, homóloga de n', definida por e.n' e N.
Os pontos C e D da parábola original, em que n a corta, têm como homólogos, C' e D', pontos de interseção de n' com a parábola afim. Por n' ser perpendicular a a', C' e D' são simétricos relativamente a um eixo de reflexão que é o eixo da parabola afim e interseta esta em B' que é o vértice da parábola afim da original.

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Afinidade: eixos de simetria da elipse afim de uma circunferência

Na construção que se segue, determinamos duas cónicas afins por uma afinidade de eixo e de que é dado um par (O, O') de pontos correspondentes e a circunferência centrada num deles.
E sugerimos um processo elementar para determinar os eixos de simetria da elipse:
Os eixos de simetria da elipse são perpendiculares a passar pelo centro da elipse correspondentes a certos diâmetros da circunferência.
Tomado um diâmetro da circunferência intersetamo-lo com o eixo da afinidade. Por esse ponto de interseção tomamos uma reta a passar por O' e assim temos o diâmetro correspondente na elipse.
Assim para os eixos de simetria, basta tomar uma circunferência a passar por O e O' e com centro e diâmetro sobre o eixo de afinidade. Cada uma das meias circunferências separadas pelo eixo da afinidade circunscrevem ângulos retos cujos lados intersetam o eixo nos extremos do diâmetro da circunferência. Os lados dos ângulos retos centrados em O e O' intersetam-se sobre o eixo de afinidade. E assim temos os eixos de simetria da elipse e seus homólogos na circunferência (qualquer diâmetro da circunferência é seu eixo de simetria, mas só dois deles são correspondentes dos eixos da simetria da elipse homológica)

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Pode deslocar os pontos O e O' na figura.

A figura ilustra bem que qualquer par de tangentes paralelas da circunferência são perpendiculares nos extremos de uma corda que é a polar do ponto do infinito qe elas representam. Claro que, no caso da circunferência, essas cordas são diâmetros que têm todos um ponto em comum, polo da reta do infinito e centro da circunferência.
Como vimos, para as homologias que não eram afinidades, dadas uma circunferência e uma hipérbole homológicas, o centro da hipérbole era homóloga do ponto C de interseção das tangentes à circunferência em pontos homólogos de pontos impróprios (L₁ e L₂ na reta limite, C era o polo de L₁L₂ ). No caso da afinidade, os homólogos de pontos impróprios são pontos impróprios e as polares de pontos impróprios são os diâmetros a passar pelo centro. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade.
Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim. Cada diâmetro paralelo a duas tangentes paralelas contém o ponto impróprio que é o polo do diâmetro perpendicular a ele e é por isso que diâmetros perpendiculares da circunferência são conjugados (por cada um deles conter o polo do outro)
Na figura fica claro que há pares de diâmetros conjugados que por afinidade correspondem a diâmetros conjugados da elipse. Mas há um só par de diâmetros da circunferência que tem por correspondentes os eixos de simetria da elipse afim.

Afinidade: propriedades.

A construção seguinte servirá como ilustração de algumas propriedades da afinidade homológica.

1. Em duas figuras afins, a todo o ponto impróprio de uma delas corresponde outro ponto impróprio na outra.
   Chamemos 1_∞ ao ponto impróprio da reta AB corresponde um ponto 1' de A'B' na figura.
   A reta que passa por estes pontos 1_∞1' terá a direção da afinidade, isto é, terá de passar por O_∞.
   1_∞O_∞ será a reta imprópria do plano e a sua interseção com A'B' será 1'. Fica assim demonstrado que 1' é um ponto da reta impróprio de A'B', ou seja, é o ponto impróprio da reta A'B'.
2. É assim óbvio que se duas retas AB e CD são paralelas (no caso, passam por 1_∞) as suas homólogas por uma afinidade A'B' e C'D' também são paralelas (no caso, passam por 1').
   Dito de outro modo, a afinidade preserva o paralelismo (qualquer afinidade transforma retas paralelas em retas paralelas) e, por isso, a figura afim de um paralelogramo é outro paralelogramo.
   Por afinidade, um trapézio é transformado noutro trapézio, como é óbvio.




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Pode deslocar pontos da figura, o eixo e a direção da afinidade. Podia e agora não pode.

3. Uma afinidade transforma a reta imprópria do plano em si mesma. Dito de outro modo, a reta imprópria é dupla para qualquer afinidade que é o mesmo que dizer que para a afinidade plana não há retas limite.
4. Como consequência, se sabe que uma figura plana com n pontos impróprios é transformada noutra com n pontos impróprios. Uma elipse (sem pontos impróprios) é afim de uma elipse, uma parábola é afim de uma parábola, uma hipérbole é afim de uma hipérbole.
5. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade
6. Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim.

Afinidade homológica: definições

Debruçamo-nos a partir de agora sobre a homologia afim ou afinidade homológica.

1. Um eixo e, um centro O_∞ e dois pares de pontos homólogos é o bastante para definir a transformação.
   De fato, dados e, O_∞ (uma direção, direção da afinidade) e (A, A') e (B, B') tais que A'A e BB' têm a direção da afinidade ou passam por O_∞ (são paralelas).
   Um ponto P, qualquer, do plano terá por homólogo (afim) um outro ponto P' assim determinado:
   P' é um ponto de uma reta paralela a AA' tirada por P (PP' passa por O_∞);
   e sobre uma reta que passe por e.PA e por A' (ou que passe por e.PB e B')
   Ilustar-se a seguir o que seja definir uma afinidade, usando eixo, direção afim e dois pares de pontos homólogos, determinando o homólogo de um ponto qualquer usando só esses elementos definidores.
   
   
   
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   Pode tomar várias homologias deslocando o eixo ou O_∞ e pode deslocar P sobre o plano. Verifique em que condições BP e B'P' são paralelos, P coincide com o seu homólogo, que se P∈AB então P'∈A'B', etc
   Como pode ver, ao dar dois pares de pontos homólogos estamos a dar um par de retas paralelas e, por isso, basta dar dois pares de pontos homólogos e o eixo para definir uma afinidade .
2. A afinidade fica também bem definida se dermos três pares de pontos homólogos (A, A'), (B, B') e (C, C') (i.e., sendo AA', BB' e CC' paralelas (a concorrer em O_∞) e AB.A'B', AC.A'C' e BC.B'C' colineares (a incidir em e)). Claro que podemos dar um ponto duplo, por exemplo, (A, A), (B, B'), (C, C') definem a afinidade se A'=A enquanto B≠B' e C≠C'.

Casos particulares de homologia

Nas notas de estudo que temos vindo a adoptar, para quaisquer duas retas do plano há sempre um único ponto em que ambas incidem. Esse ponto pode ser próprio ou impróprio e, quando o ponto comum a duas retas do plano é impróprio, dizemos que as retas são paralelas. Ao conjunto de pontos impróprios do plano, chamamos reta imprópria do plano.
Designamos pontos por A, B, C, ...e retas por a, b, c,... ou por AB a reta que incide em A e B, ... E por A_∞ designamos o ponto impróprio de a, que também designámos e designaremos, ainda que mais raramente, por ∞_a.
Sejam duas retas r e s e os seus pontos impróprios R_∞ e S_∞. Dizemos que estas retas r e s são paralelas quando r.s={R_∞}= {S_∞}. Quando isso acontece também dizemos que essas retas têm a mesma direção ou, dito de outro modo, dar um ponto impróprio é dar uma direção.
Uma homologia no plano é determinada por um feixe duplo de retas a passar por um ponto duplo O (centro da homologia) e por uma pontual de pontos duplos sobre uma reta (eixo da homologia). Dizemos que qualquer conjunto de pontos do plano (ou figura do plano) é duplo para uma homologia quando é homológico de si mesma, isto é, quando cada um dos seus pontos é transformado em si mesmo ou noutro dos seus pontos.

Uma homologia (de centro O e eixo e) ficou assim definida: ∀ (A, B) ∃ (A', B') : A'∈OA, B'∈OB e AB.A'B'∈e
Merecem menção especial os seguintes casos particulares de homologias do plano no plano:

1. a homologia em que o centro do feixe duplo é um ponto impróprio toma o nome de afinidade (homologia afim, afinidade homológica) e, destas, os casos particulares das reflexões relativamente ao eixo;
2. a homologia de centro próprio O e eixo impróprio que é uma homotetia e, destas, a reflexão relativa ao seu centro;
3. a homologia de centro e eixo impróprios que (sendo uma afinidade de eixo impóprio) é conhecida como translação.

Circunferência e hipérbole: centro, eixos e vértices da hipérbole

Na construção desta entrada, temos uma homologia definida pelo centro O, eixo e e reta limite l e uma circunferência cortada pela reta limite em dois pontos L₁ e L₂. Como já vimos antes a curva homológica desta circunferência é uma hipérbole precisamente por que dois dos seus pontos, L₁ e L₂, têm por homólogos dois pontos da reta do infinito (homóloga da reta limite). Tomadas as tangentes à circunferência em L₁ e L₂ (que passam pelo polo C de l), as suas homólogas são paralelas a OL₁ e OL₂ tiradas pelos pontos e.CL₁ e e.CL₂ que são tangentes em pontos do infinito (assíntotas) da hipérbole.
O homólogo de C, C', está no ponto de encontro das duas assíntotas, simétricas relativamente às bissetrizes do ângulo por elas formado. As bissetrizes são eixos de simetria da hipérbole homológica da circunferência. Os vértices A' e B' da hipérbole estarão numa das bissetrizes e serão homológos de pontos da circunferência A e B sobre a reta que passa por C e pelo ponto onde a bissetriz encontra o eixo da homologia. A' será a interseção de OA com a bissetriz. B' pode ser obtido do mesmo modo ou como simétrico de A' relativamente a C' ou à segunda bissetriz.
Qualquer ponto P' da hipérbole pode ser obtido sobre uma reta secante que passe por C' e sobre OP sendo P um ponto da circunferência sobre a reta que passa por C e pelo ponto de interseção da secante por C'. Os simétricos de P' relativamente a qualquer dos eixos são outros pontos da hipérbole.
Fica ainda ilustrado o facto da tangente à circunferência em A ser transformada na tangente à hipérbole em A' (perpendicular à bissetriz que é o eixo de simetria transverso).

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Circunferência homológica de uma parábola: vértice e eixo de simetria

Como já vimos, sempre que tomamos uma circunferência tangente à reta limite de uma dada homologia, a cónica homológica da circunferência tem um ponto no infinito (homólogo do único ponto limite da circunferência) e é, por isso, uma parábola.
Na construção desta entrada tivemos o cuidado de tomar um ponto V da circunferência na perpendicular a OI tirada por I. Deste modo, temos um ponto V que tem por homólogo um ponto V', dado pela interseção da paralela a OI tirada por IV.e com OV. Tomámos L₁ da reta limite tal que OL₁ é perpendicular a OI e V' também pode ser obtido como a interseção de OV com a reta paralela a OL₁ tirada por e.VL₁. Estas duas retas que passam por V' são perpendiculares: aquela que é paralela a OI é um eixo de simetria da parábola; a que é paralela a OL₁ é a tangente em V' (vértice da parábola).
De resto ainda determinámos a polar de O, ST, pela polaridade induzida pela circunferência e determinámos os homólogos de S e T, para além dos homólogos dos dois pontos da circunferência A e B sobre uma secante tirada por L₁ que são obviamente simétricos relativamente ao eixo de simetria da parábola.

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Circunferência e sua homológica: eixos de simetria da elipse

Nas últimas entradas, temos vindo a determinar elipses homológicas de uma dada circunferência para homologias definidas pelo seu centro O, eixo e e reta limite l. Para o fazer temos determinado

1. o polo P da reta limite na polaridade induzida pela circunferência que se transforma pela homologia no centro P' da elipse homológica;
2. para determinar esse polo da reta l, temos tomado dois dos pontos desta - L₁ e L₂ - tais que a polar de cada um deles interseta a circunferência nos pontos de tangência das tangentes tiradas pelo outro, de modo a obtermos um quadrilátero circunscrito de diagonais a intersetar-se em P (polo de l); no caso: a polar de L₁ é AB que passa por L₂ e a polar de L₂ é CD que passa por L₁ e, por isso, AB e CD são conjugados já que AB contém o polo de CD e CD contém o polo de AB ;
3. as homólogas de AL₁ e BL₁ são retas paralelas (já que o homólogo de L₁ é um ponto impróprio) entre si e paralelas a C'D' que é homóloga de CD também a passar por L₁; do mesmo modo são paralelas as homólogas de CL₂ e de DL₂ e A'B';
4. assim o quadrilátero circunscrito à circunferência tem por homólogo um paralelogramo (a negro) de centro P' e o par de retas A'B' e C'D' são diâmetros (passam pelo centro), conjugadas porque cada uma delas contém o polo da outra (pontos impróprios de OL₂ e de OL₁, respetivamente).

Mas nessas construções anteriores, os diâmetros conjugados determinados não eram eixos de simetria da elipse. Nesta construção, trataremos de determinar diâmetros conjugados perpendiculares, isto é, determinar os eixos de simetria da elipse e o retângulo circunscrito à elipse.
Como os diâmetros têm as direções de OL₁ e de OL₂, se quisermos obter os eixos de simetria da elipse devemos tomar os pontos de tal forma que L₁OL₂ seja um triângulo retângulo em O, isto é, inscrito numa circunferência de diâmetro L₁L₂ que passa por O.
Para determinar a circunferência de centro em O com diâmetro sobre l, determinamos o seu centro N sobre l e a mediatriz de uma sua corda que passe por O. O outro extremo da corda O₁ pode ser determinado sobre OK e a perpendicular da tangente à circunferência de centro K tirada por O no seu ponto de tangência T. Desta maneira, obtemos uma circunferência (a tracejado) de centro N que passa por O, interseta l em L₁ e L₂ e tal que a polar de N pela polaridade induzida pela circunferência de centro K é a mesma que a polar de K pela polaridade induzida pela circunferência de centro N que passa por O, o que garante que dois pontos diametralmente opostos de uma delas são conjugados pela polaridade induzida pela outra. No caso, fica garantido que os pontos L₁ e L₂ são conjugados um do outro relativamente à circunferência de centro K de que a elipse será homológica.

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Nesta construção, A'B' e C'D' são, além de diâmetros conjugados, eixos de simetria da elipse.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980

Circunferências ortogonais: notas marginais para poder continuar

Considere-se a construção que se segue (parte esquerda) em que se têm duas circunferências, c₁ (verde) de centro O₁ e c₂ (cinza) de centro O₂. A polar ST (vermelha) de O₁ pela polaridade induzida por c₂ é a polar de O₂ pela polaridade induzida por c₁. Sempre que se verificam estas relações entre duas circunferências, dizemos que elas se cortam ortogonalmente ou são ortogonais.

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Na parte esquerda da construção, temos as duas circunferências e temos desenhadas as tangentes a c₂ tiradas por O₁ e as tangentes a c₁ tiradas por O₂. Lembremos noções, propriedades e resultados estudados na geometria elementar euclidiana:

1. Da circunferência c₁, O₁T=O₁S=r₁, O₁ST é isósceles. Do mesmo modo, O₂ST é isósceles. O₁O₂ e ST, diagonais do papagaio (deltóide), são mediatrizes uma da outra. O₁O₂ e ST são perpendiculares (ortogonais, normais)
2. Cada tangente à circunferência é perpendicular ao raio (reta que passa pelo centro da circunferência e pelo seu ponto de tangência). E, em consequência: O₁TO₂ = O₂TO₁ é um reto. Fica assim esclarecido a designação de ortogonais para as circunferências: O₁T O₂T é normal a O₁T.
3. Na construção acima, ainda fica ilustrado o facto de o diâmetro de uma de duas circunferências ortogonais ser cortado pelas duas circunferências em pares de pontos separados harmonicamente: o diâmetro CD de c₂ corta c₁ em {Å, B}: (A,B;C, D)=-1 (confirmado pelo quadrilátero, cor violeta na construção). Reciprocamente, se uma circunferência passa pelos pontos A, B conjugados harmónicos de outros C, D, então ela é ortogonal à circunferência de diâmetro CD.
   

Na parte direita da construção temos uma circunferência de centro O e P e Q conjugados relativamente a ela. Tendo em atenção as anteriores propriedades, poderá verificar que:

1. Se P e Q são conjugados relativamente a uma circunferência de centro O, a circunferência de diâmetro PQ (centro O') é ortogonal à circunferência de centro O.
   Se Q é conjugado de P pela polaridade induzida pela circunferência de centro O, então Q está sobre a polar p de P. Como PO é uma reta que contém um diâmetro da circunferência de centro O é perpendicular à polar p de P. Se chamarmos A à interseção de p com PO, a circunferência de diâmetro PQ passa por A. Chamando B e C às interseções de PO com a circunferência de centro em O, sabemos que P e A separam harmonicamente os pontos B e C, por A estar sobre a polar de P e a circunferência de centro O' (diâmetro PQ) é ortogonal à circunferência de centro O.
2. E, reciprocamente, Se duas circunferências (de centros O e O') são ortogonais, pontos P e Q diametralmente opostos de uma delas são conjugados relativamente à polaridade induzida pela outra.
   Tracemos um diâmetro PQ da circunferência de centro O' e unamos P com O, centro da outra. Por serem ortogonais, o quaterno (PABC) é harmónico e, em consequência, A pertence à polar p de P relativamente à circunferência de centro O e como PAQ é retângulo em A (já que PQ é um diâmetro), QA é perpendicular a PO e passa por A, logo p=AQ é a polar de P e, por isso, Q é conjugado de P relativamente à polaridade induzida pela circunferência de centro O.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980

Circunferência e elipse homológica: outra construção

Tomemos uma circunferência de centro K e consideramos uma homologia de que damos o centro O, o eixo e, a reta limite l, elementos bastantes para a definir. Tomamos um ponto da reta limite, L₁, de tal modo que a reta L₁K interseta a circunferência em pontos A e B tais que AB é a polar de L_∞. A polar de L₁ é a reta CD ou as tangentes dà circunferência tiradas por L₁ têm C e D por pontos de tangência ou o ponto C é o polo de L₁C e o ponto D é o polo de L₁C (C é um ponto autoconjugado, pertence à sua polar L₁C). O outro ponto sobre l que nos interessa é o ponto CD.l que designamos por L_∞ (CD//l) e que tem por polar a reta CD. O ponto P obtido como interseção de AB com CD é assim o polo de l=L₁L_∞. Podemos dizer que o triângulo auto-polar é L₁L_∞P:
L₁L_∞ de polo P, PL₁ de polo L_∞ e PL_∞ de polo L₁
A construção serve ainda para ver que como as diagonais do trapézio circunscrito à circunferência se intersetam em P, as suas homólogas intersetam-se em P' (no caso, centro da elipse), etc

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O trapézio tem dois lados paralelos a l (e ao eixo e) e o paralelogramo homólogo também...

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Circunferência e elipse homológica: polaridade; centros, diâmetros.

Lembramos a definição de cónica como figura auto-dual dada na entrada [8.9.12]:Uma polaridade, uma cónica :     Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas.
Tomemos uma circunferência e uma homologia de que damos o centro O, o eixo e, a reta limite l. Tomamos um ponto da reta limite L₁. A polar de L₁ é a reta AB ou as tangentes à circunferência tiradas por L₁ têm A e B por pontos de tangência ou o ponto A é o polo de L₁A e o ponto B é o polo de L₁B (A é um ponto autoconjugado, pertence à sua polar L₁A). Outro ponto sobre l que nos interessa é o ponto AB.l que designamos por L₂ e que tem por polar a reta CD. O ponto P obtido como interseção de AB com CD é assim o polo de l=L₁L₂, L₂P=AB é polar de L₁ e L₁P=CD é a polar de L₂. Temos assim um triângulo L₁PL₂ autopolar (em que cada vértice é polo do lado oposto) associada à circunferência.
Claro que sendo P o polo da reta limite da homologia, o seu homólogo P' é o polo da reta imprópria da elipse homológica da circunferência. Na construção, isso está ilustrado: o quadrilátero das tangentes que circunscreve a circunferência é transformado num paralelogramo - a cada par de tangentes à circunferência que se interseta num ponto da reta limite da homologia corresponde um par de tangentes da elipse que se intersetam num ponto do infinito. A'B' é paralela às tangentes em C' e em D' e polar do seu ponto impróprio, C'D' é paralela às tangentes em A' e em B' e polar do seu ponto impróprio: A'B'.C'D'={P'}
Aos pontos autoconjugados da polaridade associada à circunferência correspondem pontos autoconjugados da polaridade associada à sua homológica elipse.
Aos pontos M e N de tangência das tangentes à circunferência tiradas por O correspondem os pontos M' e N' à elipse das tangentes tiradas por O, como está ilustrado na constução.

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Repare que na circunferência P≠K em que P é o polo da reta limite e K é o que chamamos centro da circunferência (sendo este o polo da reta do infinito; basta lembrar que K é o ponto de interseção das retas, diâmetros, que intersetam a circunferência em pontos de tangência de tangentes paralelas). P' é o centro da elipse, interseção de A'B' com C'D', sendo paralelas as tangentes em A' e em B' e sendo igualmente paralelas as tangentes à elipse em C' e em D'. (P' é também o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo circunscrito à elipse). A'B' e C'D' são diâmetros da elipse, assim chamados por Izquierdo e AAF:-).

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
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C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004