A equação ax+x2=b2

Para resolver geometricamente a equação ax+x²=b², em ordem a x, basta tomar um triângulo retângulo BCQ de catetos a/2 e b. O quadrado sobre a hipotenusa CQ tem área b²+a²/4. Se tomarmos x tal que .5a+x=CQ, temos a equação resolvida.
Na construção que se segue, pode fazer variar a e b.


De facto, CQ²=(.5a+x)² =b²+(.5a)² ou seja a área b² do quadrado de lado b é igual a 2(.5ax)+x², área do retângulo de dimensões x e a+x (como bem mostra a figura) ou da soma do retângulo ax com o quadrado x².

A equação ax=b2

Um problema simples e interessante a resolver geometricamente é o que consiste em determinar a dimensão x de um rectângulo ax equivalente a um quadrado b², ou seja resolver a equação ax=b², em que a e b são números quaisquer. A construção geométrica que se apresenta a seguir dá a solução para todos os valores de a e b. Pode variar os comprimentos a e b e encontra uma solução para cada par (a,b).




A construção parte de um quadrado ABCD de lado b que é aumentado do seguinte modo:
Prolonga-se AB até AE de tal modo que BE=a e constrói-se o retângulo AEFD de dimensões a+b e a. O retângulo GLFD é obtido a partir da determinação de G como interseção da recta DA com FB.
Este retângulo DGLF (a+b)(b+x) é dividido pela sua diagonal FG em dois triângulos retângulos iguais.
O triângulo retângulo DFG é decomponível em b² + (ab/2)+(bx)/2 enquanto que FLG é a soma de ax+(ab/2)+(bx)/2. O que permite concluir que ax=b².

A partir de Revisitando uma velha conhecida de João Bosco Pitombeira, de que recomendamos a leitura.

Na antiguidade, não havia procedimentos algébricos para resolver equações. Tudo era resolvido usando comprimentos de segmentos, operações sobre eles e áreas de polígonos. No 9º ano, ao introduzir as equações do 2º grau, convém referir problemas históricos do 2º grau acompanhados de referência ao pensamento geométrico que permitia solucionar tais problemas. Por exemplo a equação que modernamente escrevemos sob a forma x²+6x=27, viria de um enunciado em que jogam um quadrado de lado desconhecido e um retângulo com uma dimensão igual ao lado do quadrado e outra 6. A soma das áreas destes polígonos seria 27.

Para começar, tomemos um quadrado x por x e um rectângulo 6 por x. A construção que se segue parte destas duas figuras que juntas ocupam uma área de 27. E, clicando sobre

podem ver-se a sucessão de procedimentos geométricos utilizados na resolução. Começa por dividir o retângulo 6 por x em quatro retângulos iguais 1,5 por x que podem juntar-se ao quadrado x por x, sobre cada um dos seus lados.




Completamos a figura com os quatro quadrados amarelos de lado 1,5. Obtemos assim um quadrado que:
- tem área 36, logo a medida do lado é 6;
- tem lado 1,5+x+1,5 ou x+3

Então tem de ser x+3 = 6, logo x=3.

Nota: hoje sabemos que existe uma solução negativa, -9; mas na Antiguidade estas equações destinavam-se a resolver problemas concretos em que não havia lugar para soluções negativas.

Lugar dos pontos distantes proporcionalmente a um ponto e a uma reta

Determinar o lugar geométrico dos pontos M cuja razão das distâncias a um ponto P e a uma reta r é igual à razão entre AB e BC dados.




NO fundo, este lugar geométrico é uma cónica de que se conhece a directriz, o foco e a excentricidade. Valerá a pena deslocar o ponto B de modo a que AB=BC e AB-BC=AC e ver que cónicas se obtêm.

Lugar dos pontos distantes proporcionalmente a um ponto e a uma circunferência

Determinar o lugar geométrico dos pontos M cuja razão das distâncias a um ponto P e a uma circunferência c é igual à razão entre AB e BC dados.

Tangentes, secantes, triângulos equiláteros

São dadas duas circunferências tangentes em A. Por A faz-se passar a secante MM'. Determinar o lugar geométrico dos vértices P e Q dos dois triângulos equiláteros de lado MM'.

Envolvente de círculos de Euler-Feuerbach

Sobre a circunferência de centro O tomam-se dois pontos fixos A e B e um ponto variável C. Determinar a envolvente dos círculos de Euler-Feuerbach do triângulo ABC

Lugar da interseção de lados opostos de um quadrilátero de diagonal variável

Duas circunferências são tangentes em A e têm diâmetros AB e AC. Por A fazemos passar uma reta de direção variável que interseta a primeira circunferência em B' e a segunda em C'. Qual o lugar geométrico dos pontos P de interseção de BC' com CB'?