30.10.09

L. Godeaux - A geometria métrica e os movimentos

As Geometrias. Lucien Godeaux. (trad de Silva Paulo) Col Saber. Pub Europa América. Lisboa:1960

Em geometria elementar, para demonstrar que duas figuras são iguais mostra-se que se podem sobrepor. Assim, para demonstrar que dois triângulos [ABC] e [A'B'C'] são iguais, mostra-se que se pode colocar, respectivamente A', B' C' sobre A, B, C, de modo que os triângulos coincidem. Limitemo-nos à geometria plana e vejamos como, sem sair do plano, podemos levar dois triângulos [ABC], [A'B'C'] a coincidir. Deixemos o triângulo [ABC] fixo e submetamos o triângulo [A'B'C'] aos deslocamentos seguintes:

  1. Levemos A' para A fazendo deslizar [A'B'C'] no plano, conservando os lados paralelos a si mesmos. O triângulo [A'B'C'] ocupará no fim do deslocamento uma posição [AB''C''] tal que AB'' é paralelo a A'B' e B''C'' é paralelo a B'C'

  2. Façamos rodar [AB''C''] em torno de A de modo a levar B'' para B. No fim do deslocamento, o ponto C'' coincidirá com C ou será o simétrico C''' de C em relação a AB.




  3. Os pontos azuis permitem mover os triângulos, nas transformações que se podem mostrar podemos ver os deslocamentos e sobreposições arrastando os pontos verdes
  4. Nesta última eventualidade, tomemos o simétrico de [ABC''] em relação à recta AB.

  5. Na pequena construção dinâmica que se segue, deslocando o ponto (verde) C' verá que roda A'B'C' em torno de A' e, em consequência AB''C'' em torno de A. Se levar C'' a coincidir com C verá que ainda precisaria de uma reflexão em relação a AC para que AB''C'' se sobreponha a ABC. Se levar B'' a coincidir com B, precisará de uma reflexão em relação a AB. Claro que pode ver tudo isto utilizando a primeira construção. Que precisa de fazer ao triângulo ABC da construção anterior para precisar da reflexão?




Para levar [A'B'C'] a coincidir com [ABC], efectuamos então uma translação, uma rotação em torno de um ponto e, por fim, eventualmente uma reflexão em relação a uma recta. E, como pudemos ver já, é evidente que a ordem pela qual se efectuam estes deslocamentos é indiferente.

Pode-se verificar, mais geralmente, que duas figuras de um plano são iguais quando se pode, por meio de translações, rotações e reflexões em relação a uma recta, fazê-las coincidir.

A geometria métrica do plano é o conjunto das propriedades das figuras que não são alteradas quando estas últimas se submetem a translações,a rotações em torno de um ponto e reflexões em relação a uma recta....
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