Pontos duplos

Se numa involução houver um ponto M tal que |OM|² = k, diz-se que M é ponto duplo [ou que (M,M) é um par da involução]. Numa involução apenas pode haver 0 pontos duplos (elíptica) ou 2 pontos duplos (hiperbólica).
Numa involução com pontos duplos, M e N, verifica-se que:

|OA|.|OA’| = |OB|.|OB’| = … = |OM|² = |ON|² = k

Os elementos duplos de uma involução hiperbólica estão separados harmonicamente por cada par de elementos conjugados:

(MNAA’) = (MNBB’) = …. = -1.

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Determinar pontos duplos, caso existam, equivale a determinar as circunferências do feixe que são tangentes à recta.
Suponhamos que a involução está definida por um par (A,A') de elementos conjugados e pelo centro O. Tracemos uma circunferência que contenha A e A'e tiremos por O tangentes a essa circunferência, no caso OR e OS. Já sabemos que OR = OS e que OR.OS = OA.OA' =OR^2


[A.A.F.]
Onde está o outro ponto duplo?

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[Na figura, A e A' estão em involução de centro O. A partir de O determinamos as tangentes OR e OS à circunferência do feixe que passa por A, A´, R e S. |OR|=|OS|=|OT|, em que T está sobre a recta OA. Assim, |OT|²= |OA|*|OA'|= |OR|*|OR| e T é um ponto da circunferência (O, OR) e da reta r. T é, por isso, um dos pontos duplos da involução considerada. O ponto U será o outro ponto duplo, obviamente. Construímos as circunferências de centros em perpendiculares a r em T e U, tangentes em T e U, que verificamos se intersectam em pontos definidores de um eixo a passar por O, por escolhermos os seus raios maiores que OR]

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Caso existam pontos duplos, claro que serão os pontos de tangência com r das circunferências do feixe RS tangentes a r. É evidente que, nestas condições, existem duas circunferências ou nenhuma. No caso presente há dois pontos duplos; repare que pode tomar circunferências tangentes do mesmo lado de r concorrentes com um eixo como intersecção das duas que obviamente passa por O, como vimos.

Transformado por uma involução

Considere uma involução definida por dois pares A, A' e B, B' de pontos colineares. Determine o transformado de um ponto C, alinhado com os outros quatro, pela involução antes definida.

Centro de uma involução.

Dados dois pares de pontos em involução, determinar o centro O da involução

Consideremos uma involução definida sobre uma recta r por dois pares de elementos conjugados, (A,A') e (B,B'); vejamos como proceder para obter o centro O da involução:

Tracemos uma circunferência qualquer passando por A e A'; outra passando por B e B', de modo que se intersectem. Tracemos o eixo radical das duas circunferências. A intersecção do eixo radical com a recta r determina o ponto O. Basta recordar que o eixo radical de duas circunferências é o lugar geométrico dos pontos que têm igual potência em relação às duas circunferências; logo |OA|.|OA'| = |OB|.|OB'|

Como determinar um novo par? Claro que, qualquer circunferência que faça parte do feixe definido por este eixo radical, define novo par de elementos conjugados.



[A.A.F.]

Se mantiver fixos os pontos A, A', B e B', deslocando os centros das circunferências (enquanto se intersectem), verá que o ponto O se mantém invariante. Claro que se deslocar os pontos A, A', B e B' verificará que o ponto O muda (é centro de uma nova involução).

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Dado um par de pontos em involução, o centro e um dos elementos de outro par, determinar a sua imagem

São dados o centro O, o par (A,A') e o ponto B. Pede-se o ponto B' conjugado de B.

Tracemos uma circunferência qualquer que contenha A e A'. Por O façamos passar uma recta que intersecte a circunferência e que vai ser o eixo radical de um feixe de circunferências. A circunferência que passa por B, K, L determina B´sobre r.

Involução

Mantemos o texto original que acompanhava um exercício interactivo ou algo parecido que nos deixou para trás. Aqui vamos apresentar um exemplo de transformação geométrica, a involução a fazer corresponder a cada ponto P de uma reta r definida por dois pontos dados um outro ponto P' da mesma reta tal que para um ponto O, centro da involução, PO.OP' é invariante.

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António Aurélio Fernandes não descansa. Por força da sua saudável teimosia, andamos a procurar a melhor abordagem a algumas transformações geométricas afastadas dos programas escolares.
Hoje apresentamos uma transformação que é muitas vezes usada, com vantagem, na resolução de problemas de régua e compasso envolvendo cónicas. Nunca sabemos se o fazemos bem. Mas aqui fica uma tentativa que, depois de todas as voltas acabou praticamente na forma da sugestão inicial de António Aurélio Fernandes. A vida é feita de derrotas... para uns e vitórias... para outros. Mais coisa menos coisa.

Na construção que se segue, verá que para cada recta r definida por dois pontos R e S, a cada ponto P de r corresponde um ponto P' tal que |OP|.|OP'|=k. Deslocando P sobre r verá que esse produto é invariante qualquer que seja o ponto P e correspondente P'.

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[A.A.M]

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A esta aplicação que faz corresponder a cada ponto P de r um outro ponto P' da mesma recta, de tal modo que |OP|.|OP'|=k, chamamos involução de centro O e constante k.

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Deslocando R ou S, obterá nova recta e, logo, um novo centro O e uma nova constante k. Poderá mover C e confirmará que a cada ponto P corresponderá um ponto P' mantendo-se invariante (para cada recta RS) o produto |OP|.|OP'|.

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É muito interessante e potente este resultado. Muitas perguntas, muitos problemas são sugeridos imediatamente pela definição. Por exemplo, para cada recta e para cada constante qual o centro da involução?

Porque será que aquele produto é constante, quando P varia sobre a recta? É disso que vamos tratar, dando exemplos de involuções conhecidas...(?)

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A ilustração do caso presente - involução retangular (∠ PVP'= ∠ AVA' são retos e ∠ VOP também é reto)- agora apresentada é muito esclarecedora. Foi dedicada ao único bisavô deste projecto, a saber, António Aurélio Fernandes.

Hipérbole -Assíntotas e tangente.

[A.A.F.]

Aqui ficava uma primeira experiência em GeoGebra, livre de encargos, que recomendamos vivamente para ser usado no ensino. O resultado a que se refere ajuda a resolver um exercício interactivo recentemente poposto.

Diâmetro conjugado

Da hipérbole definida pelos seus vértices e uma assíntota é dado um diâmetro [AB]. Determinar o seu conjugado.

Dos diâmetros conjugados para os eixos

Há problemas em que se tem um par de diâmetros conjugados e se põe a questão de determinar os eixos. Vejamos um processo prático para determinar os eixos (Luís Veiga da Cunha. Desenho Técnico. Fundação Calouste Gulbenkian. Lisboa ).


[A.A.F.)

Sejam [AB] e [CD] um par de diâmetros conjugados. Após termos verificado que [CD] é o menor diâmetro, tomamo-lo como diâmetro de uma circunferência. Tracemos a mediatriz m de [CD] e os pontos K e L de intersecção de m com a circunferência. Por um dos extremos do diâmetro maior (A na imagem), tracemos as semi-rectas AK e AL. A bissectriz do ângulo KÂL dá a direcção do eixo maior. Já podemos traçar, com intersecção em O, o par de rectas perpendiculares (a azul) que contêm os eixos.

Sendo Q a intersecção da semi-recta AL com a recta que contém o eixo menor, |AQ| é o comprimento do semi-eixo maior |QL| é o comprimento do semi-eixo menor.

Diâmetros conjugados segundo Apolónio

Teoremas de Apolónio:

1. Numa elipse a soma dos quadrados de dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à soma dos quadrados dos dois semi-eixos: |AO|² + |CO|² = a² + b².
   Na construção que se segue, pode deslocar os pontos A, F₂ e V₁, confirmando esta afirmação.
   

[A.A.F.]
2. A área do paralelogramo construído sobre dois semi-diâmetros conjugados é constante e igual à área do rectângulo construído sobre os semi-eixos.
Pode deslocar os pontos A, F e V₁ para confirmar este resultado.
[A.A.F.] O mesmo se passa com a hipérbole. Pode deslocar S, V1, O e F2 para confirmar o resultado.
[A.A.F.]

Diâmetro conjugado

Seja [AB] um diâmetro; tracemos uma corda [PQ] paralela a AB; o ponto I de intersecção das tangentes em P e Q à cónica e o ponto O definem o diâmetro [CD] conjugado de [AB].



[A.A.F.]