O octógono mais simples é sagrado.

A construção de um octógono regular a partir do seu lado foi-me sugerida pela arquitectura religiosa e pelo desenho de alguns artefactos sagrados. Mas o que interessa é a simplicidade. O lado de um octógono regular, quando inscrito numa circunferência, corresponde a um ângulo ao centro de 45º. Ao construir uma circunferência de centro em M e diâmetro AB, obtemos um ângulo ANB recto (N sobre a mediatriz de AB). A circunferência de centro em N que passa por A e B, determina O sobre a mediatriz de AB e o ângulo AOB é inscrito, correspondendo ao ângulo ao centro ANB recto, A circunferência circunscrita ao octógono regular de lado AB tem centro em O e passa por A. Gosto da sagrada figura que se segue.

A mais bela e simples: a sagrada.

Notas de quem olha para o céu:
E é claro que basta olhar para cima para ver um ponto P de tal modo que APB vale 2π/16 (a décima sexta parte da circunferência) para obtermos o centro da circunferência circunscrita a um polígono regular de 16 lados iguais a AB. E, continuando a olhar para o céu, ... estão a ver?

Segundo octógono de Alcácer

A segunda construção de Paulo Correia que ele considera ao nível da geometria do 9º ano de escolaridade pode ser acedida, clicando na ilustração feita a partir dela. Escreveu ele, a este respeito: Neste serão octogonal, encontrei uma solução mais simples que consiste em reconhecer que o ângulo interno é de 90º+45º, a partir daí só com paralelas, perpendiculares e compasso, saí o resto... pois era mesmo para o 9º ano... :-)

Primeira construção de um octógono (dado o lado)
de Paulo Correia .

Primeiro octógono de Alcácer

Paulo Correia, de Alcácer do Sal, enviou-nos duas construções para o octógono regular, a partir do lado. Clicando sobre ilustração abaixo tem acesso à primeira construção (em Cinderella) de Paulo Correia. Ele disse o seguinte: (...) a solução não foi trivial para mim, por isso a envio: a azul as primeiras construções para determinar o centro da circunferência onde ficará inscrito o octogono, a vermelho as construções posteriores.

Primeira construção de um octógono
de Paulo Correia.

Do quadrado para octógono regular

Um octógono regular pode ser obtido a partir de um quadrado cortando-lhe quatro cantos rectangulares isósceles iguais. Como mostra a figura. Ao quadrado [JKLM], cortamos os triângulos isósceles iguais a [AIB] (ou [BJC], de hipotenusa [AB] dada para lado do octógono a construir. Se nos é dado o lado do octógono, qual é o lado do quadrado de que ele pode resultar por corte?

Para um octógono de raio 1, tomemos um quadrado de lado V2+1+V2.
Não! A nossa preferida não é esta. Não perdem por esperar.

Soluções com problema

Paulo Correia, de Alcácer do Sal, enviou-nos duas construções de octógno regular a partir do seu lado [já cá cantam 3 e ainda preferimos a nossa:-)] e uma interpretação para a construção da triangulatura do círculo acompanhada de um belo (geometer's)SKETCH(pad). De tudo daremos conta. Mas não adiamos mais a mensagem que desafia. Diz ele:
(...)Em terceiro lugar, uma sugestão de problema, para o qual não tenho resposta, mas que a intuição me diz existir - talvez até fácil...
"Dado um triângulo qualquer, construir um triângulo equilátero equivalente - com a mesma área." Depois podemos "triangular" um quadrado ou um quadrilátero qualquer...
Espero que lhe dê que pensar... julgo que gosta disso...
Tem razão o Paulo quando diz que gostamos de pensar e gostamos de quem de nós pensa sinceramente isso, dando-nos em que pensar. A nós e a todos os que vão passando por aqui. Obrigado, Paulo.
Confesso que escrevi triangulatura por causa da quadratura, mas nunca pensei na palavra para designar algo tão específico como determinar um triângulo regular equivalente a .... Ficamos a dever ao Paulo mais este acerto.

O octógono regular

É claro que todos sabemos inscrever um quadrado num círculo dado. E, por isso, todos sabemos construir o octógono regular inscrito num círculo dado.
O que estamos a propor para estudo é a construção de um octógono regular de que se conhece o lado. Há uma bela construção que precisa de conhecimentos básicos (os estudantes do 9º ano podem pensar sobre esta construção).

Triângulo equilátero equivalente a um círculo

Para aprender a trabalhar com o ReC - Zirkel und Lineal , fazemos algumas experiências. Pode experimentar as ferramentas do ReC, seguindo os passos do exercício que lhe propomos. E, matematicamente, ficamos à espera que nos escreva sobre a razoabilidade desta construção de triangulatura do círculo :-).

Construção de um triângulo equilátero equivalente a um círculo dado.

Como é que vê as coisas na construção? Todas as informações nos interessam, já que, de computador para computador, se notam diferenças quando nós queremos que no essencial seja o mesmo que aparece em todo os lugares geométricos.
Pode seguir os passos da construção, ou reconstruir a dita desde o princípio, a partir da última ferramenta - seta verde.

E já agora! Será que isto tem algum interesse? Esse é o problema eterno sobre cada uma das coisas em cada intervalo do tempo que passa.

As áreas iguais do círculo e do triângulo

Em Março do ano passado, a propósito das comemorações do dia do  π  , publicámos uma entrada 3,14 - Dia do  π   - uma "rectificação" que abriu uma nesga de discusão sobre os inconstrutíveis e, logo, sobre o que podemos considerar uma construção razoável ou que nos dê uma aproximação razoável. Foi a Marianna quem, então, mais se debruçou sobre a prova da razoabilidade da construção de rectificação proposta, estando as suas reflexões publicadas como anexo do artigo citado acima.
Por outra via, a das aulas e de uma tentativa de visualização dinâmica de confirmação do teorema de Pitágoras pelos alunos do 8º ano, começamos a publicar também algumas propostas de exercícios de construção de figuras equivalentes a outra dada. Destes foram sendo colocados vários. Dirão que, por detrás disto tudo sempre pairou a sombra da "quadratura do círculo" :-).
Finalmente, e muito recentemente, colocámos de novo problemas de construção razoável, numa pequena entrada Figuras equivalentes com várias propostas de trabalho. A saber:
a construção (só razoável?)
de um triângulo equivalente a um círculo dado;
de um triângulo equilátero equivalente a um círculo dado;
de um círculo equivalente a um triângulo dado;
de um círculo equivalente a uma coroa circular dada.

Até hoje, já não é para estranhar!, só a Mariana decidiu pegar no assunto que aparece estranho à maior parte dos estudantes e professores de geometria. Foi com ela e, na presença da omipresente testemunha Aurélio, que tentei discutir o que poderíamos entender por aproximação razoável obtida por via de uma construção. A construção de um triângulo equivalente a um círculo dado, proposta por ela, baseia a sua razoabilidade na razoabilidade da rectificação do dia do  π  : Um círculo de raio -r- é obviamente equivalente a um triângulo de base - 2 π  r - e altura -r-, ou coisa assim.
No caso da Mariana, ela constrói um triângulo de base  π  r e alltura 2r e insiste (e bem) numa justificação visual que recorre aos hexágonos inscrito e circunsrito, chamando a atenção para o facto do comprimento do segmento correspondente a meia circunferência ser a olho ... um bocadinho mais do que metade do hexágono inscrito (precisamente 1 l_c - lado do hexágono circunscrito + 2r - lados do inscrito) e pedindo desculpa, por não poder avançar mais, nestes termos: Porquê não sei, como já não soube acabar a justificação do problema da rectificação de  π  . Acho que não tenho conhecimento para mais.
Aqui fica o estado da reflexão e o desenho (tirado da construção em Cinderella) da Mariana para a primeira proposta.


E ainda hoje, entre outras experiências de vida, espero colocar uma construção-resposta ao segundo problema de tipo completamente diferente e aparentemente independente daquela rectificação (sempre presente), a ver se aparece alguma alma que nos ajude a ver que somos razoáveis.

De Alcácer, também

Nos últimos tempos, pode parecer que a acitvidade deste lugar geométrico abrandou. Não é assim. Temos várias propostas relativas ao pentágono e construção (razoável) de figuras equivalentes a círculos e nenhuma relativa às cordas, só para falar dos mais recentes. É claro que temos andado geometricamente ocupados a tornar possível o Combate Geométrico em português e a experimentar a participação de alunos da Escola José Estêvão.

Transcrevemos em parte uma mensagem de Paulo Correia, professor de Matemática em Alcácer do Sal e responsável da página Matemática? Absolutamente!, que recomendamos. A sua proposta de construção (construção maravilhosa e que não conhecíamos) confunde-se (nos fundamentos) com a proposta de J. Vieira publicada.

Ora viva...
Sou um leitor atento do blog, para o qual ñão tinha ainda contribuido por falta de pertinência.
Sobre a construção de um pentágono, dado o lado, imaginei uma construção que não encontrei no vosso blog (nem na internet) e que julgo que possa trazer valor acrescentado, razão pela qual a decidi enviar
(...)
A ideia principal, é a de que num pentagrama inscrito no pentágono, os segmentos do pentagrama estão para os lados do pentágono na proporção de ouro (phi). Assim:
1º - sobre o lado dado, contrói-se um rectângulo de ouro
2º - do rectângulo, cria-se um triângulo de ouro - intersectando as circuferências de centro nos extremos do segmento dado e raio igual ao lado maior do rectângulo.
3º - Já está... o ponto encontrado é o 3º vértice do pentágono.
4º - Com a intersecção de umas circunferências encontram-se os dois vértices em falta.

Espero que aprecie a ideia - eu achei-lhe uma certa piada. Aguardo o seu comentário.
(...)

Obrigado Paulo.

Experiências com trapézios

Em Agosto de 2005, no artigo Voar no trapézio dava-se conta de uma construção solução para o desafio - Construir um trapézio de que se conhecem as duas bases e as duas diagonais - discutindo anteriores exercícios também publicados. Recentemente, com as experiências feitas para aprender a fazer exercícios interactivos com o Régua e Compasso - Zirkel und Lineal, voltámos a esse exercício e temos de reconhecer que a solução então encontrada é extremamente complicada. Garantimos que há soluções mais elegantes e propomos que procure solução mais simples que a da figura (que aqui publicamos para avivar a memória e lembrar a nossa deselegância). Clicando sobre essa ilustração tem acesso ao exercício interactivo em ReC onde pode tentar a sua solução.

Construção de um trapézio (dadas as bases e diagonais).

Dsiponibilizamos também o outro exercício interactivo que realizámos com o ReC, em que pode tentar construir o trapézio de que são dados os comprimentos dos seus quatro lados.

Pentágono a compasso

A 8 de Janeiro, há quase um mês, a Mariana enviou a construção do pentágono regular só com compasso (a divisão de uma circunferência em 5 arcos iguais). Mais ninguém apareceu com a construção e, por isso, aqui fica a ilustração da construção Mariana.

Escreveu ela:
Em relação ao pentágono mantive as letras da figura publicada e acho que não me vão pedir os passos um a um, ou vão? (olhem bem para a figura primeiro)

Mas para já é assim:

-a azul - a construção do simétrico de P e os restantes vértices do hexágono
- a amarelo - construção do vértice A do pentágono (bissecção do arco PP')
-a verde alface - a construção de M (ponto médio)
- a laranja -a construção de Q
- a verde escuro - os restantes vértices do pentágono
e, vejam bem, não é uma obra de arte? Querem os passos de cada etapa?

Bebemos as cores, embebecidos. Pois.
E depois?