22.2.11

Lados de um triângulos e suas projeções ortogonais.

As alturas AA', BB' e CC' de triângulo ABC determinam sobre os lados AB, BC e AC segmentos que verificam a seguinte relação métrica
AB'.BC'.CA'= AC'.BA'.CB'
.

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21.2.11

A bissetriz e os lados do triângulo

A bissetriz do ângulo  do triângulo ABC divide o lado BC em dois segmentos BD e DC. Prova-se a seguinte relação métrica
BD.AC=CD.AB
já usada na anterior entrada:relação de Stewart aplicada à bissetriz.


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18.2.11

Relação de Stewart no caso da bissetriz

Para um triângulo ABC, no caso de tomarmos a bissetriz AD=β do ângulo  a dividir o lado a=BC em dois segmentos m=BD e n=DC, a relação de Stewart pode ser escrita assim:
b2m+c2n=β2a+mna

e, sendo também verdade que                                  cn=bm,
bc=mn+β2


Na construção interativa que se apresenta a seguir, pode deslocar A, B, C fazendo variar a, b, c, m, n, β e verificar que aquelas igualdades se mantêm.


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14.2.11

Relação de Stewart

Dado um triângulo ABC e uma ceviana, por exemplo BD (do vértice B para o lado AC), Os comprimentos dos lados AB, BC e AC, dos segmentos AD e CD determinados sobre AC pela ceviana e BD estão relacionados. Essa relação é conhecida como relação de Stewart que pode ser usada para determinar comprimentos de bissectrizes e medianas.

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8.2.11

Operações sobre binómios, casos notáveis

Na construção pode fazer variar a, b, c, d.



Se ao quadrado ABCD, de área a2, tirarmos o quadrado CHIJ, de área b2, ficamos com o polígono ABJIHDA. Mas GIHD tem a mesma área de BEFJ. Logo podemos substituir ABJIHDA por AEFG cuja área é (a+b).(a-b). Em conclusão, a2-b2=(a-b)(a+b).

1.2.11

Equação x2=c

Para resolver geometricamente a equação x2=c, em ordem a x, basta tomar um triângulo retângulo ABC de hipotenusa 1+c (AB). A altura AH relativa à hipotenusa AB é meio proporcional entre 1 e c. Ver a semelhança dos triângulos rectângulos ACH e BCH em que ABC fica dividido pela altura.
Na construção que se segue, pode fazer variar c.

29.1.11

A equação ax+x2=b2

Para resolver geometricamente a equação ax+x2=b2, em ordem a x, basta tomar um triângulo retângulo BCQ de catetos a/2 e b. O quadrado sobre a hipotenusa CQ tem área b2+a2/4. Se tomarmos x tal que .5a+x=CQ, temos a equação resolvida.
Na construção que se segue, pode fazer variar a e b.


De facto, CQ2=(.5a+x)2 =b2+(.5a)2 ou seja a área b2 do quadrado de lado b é igual a 2(.5ax)+x2, área do retângulo de dimensões x e a+x (como bem mostra a figura) ou da soma do retângulo ax com o quadrado x2.

25.1.11

A equação ax=b2

Um problema simples e interessante a resolver geometricamente é o que consiste em determinar a dimensão x de um rectângulo ax equivalente a um quadrado b2, ou seja resolver a equação ax=b2, em que a e b são números quaisquer. A construção geométrica que se apresenta a seguir dá a solução para todos os valores de a e b. Pode variar os comprimentos a e b e encontra uma solução para cada par (a,b).




A construção parte de um quadrado ABCD de lado b que é aumentado do seguinte modo:
Prolonga-se AB até AE de tal modo que BE=a e constrói-se o retângulo AEFD de dimensões a+b e a. O retângulo GLFD é obtido a partir da determinação de G como interseção da recta DA com FB.
Este retângulo DGLF (a+b)(b+x) é dividido pela sua diagonal FG em dois triângulos retângulos iguais.
O triângulo retângulo DFG é decomponível em b2 + (ab/2)+(bx)/2 enquanto que FLG é a soma de ax+(ab/2)+(bx)/2. O que permite concluir que ax=b2.

A partir de Revisitando uma velha conhecida de João Bosco Pitombeira, de que recomendamos a leitura.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção