Pontos duplos

Se numa involução houver um ponto M tal que |OM|² = k, diz-se que M é ponto duplo [ou que (M,M) é um par da involução]. Numa involução apenas pode haver 0 pontos duplos (elíptica) ou 2 pontos duplos (hiperbólica).
Numa involução com pontos duplos, M e N, verifica-se que:

|OA|.|OA’| = |OB|.|OB’| = … = |OM|² = |ON|² = k

Os elementos duplos de uma involução hiperbólica estão separados harmonicamente por cada par de elementos conjugados:

(MNAA’) = (MNBB’) = …. = -1.

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Determinar pontos duplos, caso existam, equivale a determinar as circunferências do feixe que são tangentes à recta.
Suponhamos que a involução está definida por um par (A,A') de elementos conjugados e pelo centro O. Tracemos uma circunferência que contenha A e A'; tracemos uma recta que passe por O e intersecte a circunferência (em K e L). Temos de encontrar, caso seja possível, as circunferências que passam por K e L e são tangentes à recta r.



Onde está o outro ponto duplo?

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[Na figura, A e A' estão em involução de centro O. A partir de O determinamos as tangentes OR e OS à circunferência do feixe que passa por A, A´, K e L. |OR|=|OS|=|OT|, em que T está sobre a recta OA. Assim, |OT|²= |OA|*|OA'|= |OK|*|OL| e T é um ponto de tangência da circunferência tangente a OA que passa por K e L. T é um dos pontos duplos da involução considerada.]

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Caso existam pontos duplos, claro que serão os pontos de tangência com r das circunferências do feixe KL tangentes a r. É evidente que, nestas condições, existem duas circunferências ou nenhuma . Note-se que, no caso da nossa figura, os pontos K e L se situam ambos do mesmo lado em relação a r. Se K e L se situassem em lados opostos da recta não haveria qualquer ponto duplo - qualquer circunferência intersectaria a recta em dois pontos

Transformado por uma involução

Considere uma involução definida por dois pares A, A' e B, B' de pontos colineares. Determine o transformado de um ponto C, alinhado com os outros quatro, pela involução antes definida.

Centro de uma involução.

Dados dois pares de pontos em involução, determinar o centro O da involução

Consideremos uma involução definida sobre uma recta r por dois pares de elementos conjugados, (A,A') e (B,B'); vejamos como proceder para obter o centro O da involução:

Tracemos uma circunferência qualquer passando por A e A'; outra passando por B e B', de modo que se intersectem. Tracemos o eixo radical das duas circunferências. A intersecção do eixo radical com a recta r determina o ponto O. Basta recordar que o eixo radical de duas circunferências é o lugar geométrico dos pontos que têm igual potência em relação às duas circunferências; logo |OA|.|OA'| = |OB|.|OB'|

Como determinar um novo par? Claro que, qualquer circunferência que faça parte do feixe definido por este eixo radical, define novo par de elementos conjugados.





Se mantiver fixos os pontos A, A', B e B', deslocando os centros das circunferências (enquanto se intersectem), verá que o ponto O se mantém invariante. Claro que se deslocar os pontos A, A', B e B' verificará que o ponto O muda (é centro de uma nova involução).

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Dado um par de pontos em involução, o centro e um dos elementos de outro par, determinar a sua imagem

São dados o centro O, o par (A,A') e o ponto B. Pede-se o ponto B' conjugado de B.

Tracemos uma circunferência qualquer que contenha A e A'. Por O façamos passar uma recta que intersecte a circunferência e que vai ser o eixo radical de um feixe de circunferências. A circunferência que passa por B, K, L determina B´sobre r.