3.8.07

Inversão

Com os alunos do 8º ano, experimentei a compreensão de alguns procedimentos para efectuar, com régua e compasso, construções geométricas sobre segmentos correspondentes a operações sobre números. Escolhido um segmento para unidade, e dados segmentos de comprimentos a e b, quaisquer, não aparecia como fácil a determinação de um segmento correspondente ao comprimento ab e menos ainda os correspondentes aos comprimentos a/b, 1/a, a2>, etc. Na altura, tal era pedido depois de termos cuidado das semelhanças de triângulos e os raciocínios usavam só a proporcionalidade entre segmentos determinados por feixes de rectas concorrentes cortadas por paralelas. Parece que não há qualquer problema em determinar 2a em linha nem em compreender o que significa ab, a2 ou a(b+c) em termos de áreas, mas já tudo se complica quando se pede um segmento igual a 2a/3, ab, etc. Parece que não é assumida a sistemática comparação entre segmentos quando se fala em medida de um comprimento relativamente a outro.
No 9º ano, vamos poder voltar às operações sobre segmentos, agora com recurso sistemático a circunferência e tangentes tiradas por um ponto, sem acrescentar muito ao que se sabe sobre triângulos. Será que a compreensão aumenta? Estas dificuldades devem estar todas resolvidas quando entramos na geometria analítica como tal. Por exemplo, sobre a construção que se apresenta a seguir, está desenhada uma circunferência de raio 3 e as tangentes tiradas por um ponto P (que pode deslocar), um ponto P' (da polar de P relativamente à circunferência e colinear com O e P), define o segmento [OP'] cujo comprimento é o inverso do comprimento de [OP] se tomarmos como unidade o raio da circunferência.



A transformação associada à circunferência dada que a cada P faz corresponder P' (e reciprocamente) nas condições da construção dada, toma naturalmente o nome de inversão relativamente à circunferência. Este é outro exemplo, para aprofundar e melhorar o conceito de medida, permitindo realizar exercícios geométricos muito atractivos geometricamente. Valerá a pena?




No mundo do ATRACTOR há uma máquina muito potente que efectua inversões. Pode usar livremente.

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2 Commentários:

Anonymous Paulo Correia escreveu...

Bela inversão (ou será inflexão) na linha editorial do blog...

Abordagens destas são a Geometria que deve ser ensinada em detrimento de enumerar definições... Vale a pena explorar este "filão", e sempre que possível ancorar as experiências em contextos curriculares...

2:15 da tarde  
Blogger Arselio Martins escreveu...

A linha editorial do blog anda entre a divulgação de alguma geometria de que nem ouvimos falar ao longo da nossa formação e as olhadelas que damos ao que tentamos fazer pela formação dos nossos estudantes. Todas as transformações que temos vindo a abordar estão ligadas entre si, com as cónicas e especialmente com operações e razões invariantes... Tudo entre segmentos. Chegou a hora de falar de algumas operações simples e da experiência em fazer passar os alunos pelo trabalho de Descartes. São coisas da vida.

8:35 da tarde  

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