13.2.05

(VII) - Circunferências

São dadas três circunferências iguais, tangentes duas a duas. Determinar os centros e os raios das duas circunferências que são tangentes, uma interiormente, outra exteriormente, às circunferências dadas.

(Proposta de Coronnet, Puig Adam e Aurélio Fernandes)




Num comentário que pode ler-se em anexo, a Mariana escreveu: Se resolvi bem, o centro de ambas as circunferências é a intersecção das medianas do triângulo equilátero cujos vértices são os centros das três circunferências tangentes duas a duas. O raio da circunferência interior é a distância do centro de gravidade do triângulo ao seu vértice menos o raio das cicunferências dadas. O raio da exterior é a soma da mesma distância com o raio das circunferências dadas. (Está bem?)

Interpretando o que a Mariana escreveu, construímos uma solução a que demos a forma de exercício interactivo (porque é assunto sobre o qual nos interessa muito recolher informações).

Experimente uma das versões seguintes:
 <   A primeira  > 
ou
  <   A segunda  > 

Uma delas dará boa conta do exercício.



O que sugere esta proposta?

Se as três circunferências iniciais não forem iguais? Em que condições elas são tangentes duas a duas? Como encontrar as tangentes às três? Se existirem, as circunferências tangentes interior e exterior são concêntricas?

E se tomarmos quatro (ou cinco, ou seis, ...) circunferências tangentes duas a duas (iguais ou diferentes) haverá circunferências tangentes interiormente e exteriormente a todas elas? Em que condições?

7 Commentários:

Anonymous Anónimo escreveu...

Já resolvi e gostei. Foi um bom problema para começar a praticar com o Cinderela.
Se resolvi bem, o centro de ambas as circunferências é a intersecção das medianas do triângulo equilátero cujos vértices são os centros das três circunferências tangentes duas a duas. O raio da circunferência interior é a distância do centro de gravidade do triângulo ao seu vértice menos o raio das cicunferências dadas. O raio da exterior é a soma da mesma distância com o raio das circunferências dadas. (Está bem?)
Enviar-vos a resolução ainda não sei fazê-lo mas lá irei.
Mariana

11:36 da tarde  
Anonymous Anónimo escreveu...

Mariana(?)
Ainda bem que apareceu uma pioneira. Parabéns.
Já começo a sentir-me mais à vontade. Também posso tentar?
B.

1:39 da tarde  
Anonymous Anónimo escreveu...

Bons desafios. Vou pensar!
O meu computador só abre a primeira versão
Mariana

11:21 da tarde  
Anonymous Anónimo escreveu...

e se os valores dos segmentos forem por exemplo: AB=10, AC=14 e
BC=18, e pede para calcular o produto de seus raios?

12:50 da manhã  
Blogger Arselio Martins escreveu...

No caso apresentado (10, 14, 18), há uma solução imediata com circunferências de raios 3, 7 e 11. 3+7=10; 3+11=14 e 7+11=18. O produto dos raios seria 231. Não é?

12:44 da manhã  
Anonymous Anónimo escreveu...

o resultado esta correto, é 231, o produto dos raios, mas como o sr
chegou a esse valores, 3,7 e 11

abraços

12:59 da manhã  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Dados A.B e C, se P for ponto de tangência das circunferâncias sobre AB, Q for ponto de tangência sobre BC e R sobre AC. |AP|=|AR|,
|BP|=|BQ| e |CQ|=|CR| (raios das circunferências). Logo
|AP|+|BP|=|AB|=10; |AR|+|CR|=|AC|=14; |CQ|+|BQ|=|BC|=18,...

12:16 da tarde  

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