13.2.05

(II) - Pontos, rectas e circunferências

São dadas duas rectas paralelas, a e b, e um ponto P. Traçar a circunferência tangente às duas rectas e que passa por P.

(Proposta de Puig Adam e Aurélio Fernandes)


Henrique escreveu no seu comentário:

O centro da circunferência tangente a duas rectas paralelas, tem de estar sobre um recta equidistante das primeiras. Depois, é preciso que o raio seja igual a metade da distância entre as rectas, sendo essa também a distância do ponto P ao centro. Não é?

E aqui fica a construção que respeita o comentário.

Julgamos poder afirmar que só há circunferência nas condições descritas quando P está entre as duas rectas paralelas. Não é?

Tomamos um ponto qualquer de uma das rectas, A sobre a, e por ele uma recta perpendicular a a. A distãncia entre as duas rectas a e b é |AB|. Pelo ponto médio de [AB],C, tomemos a recta paralela às duas a e b. Qualquer circunferência tangente a a e b terá o seu centro sobre essa paralela que passa por C, sendo o seu raio |AC|.

Bastará, agora tomar uma circunferência de centro em P e raio |AC|. O centro da circunferência que passa por P e é tangente às rectas a e b. O raio é |AC|.

Para ver a construção basta clicar sobre a ilustração. Na construção pode mover o ponto P.

7 Commentários:

Blogger Henrique escreveu...

O centro da circunferência tangente a duas rectas paralelas, tem de estar sobre um recta equidistante das primeiras. Depois, é preciso que o raio seja igual a metade da distância entre as rectas, sendo essa também a distância do ponto P ao centro. Não é?

10:35 da manhã  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Para construir ou desenhar uma circunferência, que temos de saber? O centro e um ponto por onde ela passe (ou o raio que possa ser trnasportado com compasso). Como se mede a distância de um ponto a uma recta? Na perpendicular à recta tirada pelo ponto.
O lugar geométricos dos pontos equidistantes de duas rectas tem um nome: a bissectriz do ângulo das duas rectas. Como se desenha com régua e compasso?
Um dos processos pode ser esse: Tomado um ponto qualquer sobre a bissectriz, tiramos uma perpendicular a uma das rectas dadas e a circunferência pedida tem centro no ponto da bissectriz e passa pelo ponto de intersecção da recta com a sua perpendicular. Garantimos além do mais que a circunferência é tangente. Porquê?

Resolver problemas de construção com os intrumentos de desenho obriga-nos a saber o princípio e o fim mas principlamente a escolher e a dar um passo depois de outro (isso é raciocínio algorítmico) baseados em postulados, propriedades ou resultados já demonstrados (e isso é raciocínio dedutivo).

Dito isto,, olha outra vez para o teu raciocínio e vê se lhe encontras alguma falha.
Haverá rectas (em posição relativa especial) para as quais o teu raciocínio serve?

2:41 da tarde  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Desculpa lá. Li o teu comentário, Henrique, e não reparei que o problema de construção era para circunferência tangente a rectas paralelas.
Pronto. Agora pensa no problema mais geral. Se as posições relativas das rectas forem quaisquer?

Um tiro no pé - foi o que dei. Que dores!
Esta coisa dos comentários do blogger no meu browser não me mantém o texto do enunciado.
Desculpa. Manda-me a tua solução passo a passo como se a desenhasses com régua e compasso, caso não tenhas um programa de geometria dinâmica. Eu também posso pôr aqui o problema interactivo para resolveres como se esrtivesses a trabalhar ocm o Cinderella. Mas agora tenho de sair.

AM

2:48 da tarde  
Blogger Henrique escreveu...

Desculpa. Eu passei uns dias sem aqui vir (a semana foi dura) e agora já cá está a construção para o caso das duas rectas paralelas (com a ressalva de que o ponto P deve estar entre as duas rectas ou não será possível traçá-la.

Quanto ao caso das rectas concorrentes, tenho de pensar melhor.Como tu explicas, a circunferência tangente às duas rectas está sobre a bissectriz do ângulo (traça-se dividindo o ângulo ao meio: com centro no ponto de tangência traça-se um arco que intersecte as duas rectas em dois pontos A e B; com centro em A e B, traçam-se dois arcos de raio igual que se cruzam definindo um ponto pertencente a essa bissectriz. Com esse ponto e o ponto de intersecção das rectas traço a bissectriz do ângulo).

A pergunta que fazes sobre porque é que a circunferência é tangente, tem como resposta que ela passa pelo "ponto de tangência", definido da forma como o fazes.

Não sei é como encontrar a circunferência tangente que passe por um ponto que não pertença a nenhuma das rectas.

9:19 da tarde  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Esqueci-me de avisar que na construção feita podem deslocar os pontos e ver o que, de facto, acontece sempre que o ponto P sai da faixa entre as duas rectas.

10:19 da tarde  
Blogger Arselio Martins escreveu...

Henrique
Este conjunto de desafios do Aurélio são bons para mobilizar alguns dos conhecimentos do 9º ano que ficam um pouco descozidos sem exercícios construtivos e sem raciocínios demonstrativos a eles associados.
Parece-me não aceitável o argumento: as circunferências são tangentes porque passam pelo ponto de tangência construído como foi feito. Que argumento pode ser usado para garantir que as circunferências são tangentes neste ou naquele ponto?
Ah! E para traçar a bissectriz sem ter acesso ao vértice do ângulo das duas rectas? O que é que se faz?

8:31 da manhã  
Blogger Lukaz escreveu...

Eita karaiu dificil !!


Vcs tb naum ajudam kct !

Podia explicar um pokinho mais facil de entender......

Eu pelo menos to querendo aprender e naum sei quase nada disso.....

1:13 da manhã  

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