Triângulo rectângulo, quadrados, hexágono: e áreas

Problema:
Sobre os lados de um triângulo [ABC] rectângulo em Â, cujos lados do ângulo recto são b= (AC) e c=(AB), construímos, exteriormente ao nosso triângulo [ABC], os quadrados [ABNM], [BCQP], [ACRS].
Calcule a área do hexágono [MNPQRS] (em função de c e a)

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A seguir, uma construção (ou ilustração):
@geometrias, 28 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
E aqui fica a resolução de Mariana Sacchetti:

Interessante neste problema é verificar, tal como no problema anterior (em que o triângulo de partida é equilátero), que os triângulos da figura têm todos a mesma área.
Seja $\angle \alpha = A\hat{B}C \;$
Área de Δ $\;[ABC]\;$ = Área de Δ$\;[ASM]\;$ = $ \displaystyle \frac{b.c}{2} \; $
Área de Δ $\;[NBP]\;$= $\displaystyle\frac{a.c.sen(180° - \alpha)}{2} = $
$=\displaystyle\frac{a.c.sen(\alpha)}{2} = \displaystyle\frac{a.c.\displaystyle\frac{b}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Área de Δ $\;[CQR]\;$= $\displaystyle\frac{a.b.sen(90° + \alpha)}{2} = \displaystyle \frac{a.b.cos(\alpha)}{2} =\displaystyle\frac{a.b.\displaystyle\frac{c}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Assim, a área do hexágono [MNPQRS] é:
Área de $\;[MNPQRS] = 4 \times\frac{bc}{2} + a^2 +b^2 + c^2= 2bc+2a^2=2(bc+a^2)$ Como o enunciado pede, em função de c e a, aplicando o Teorema de Pitágoras
Área de $\;[MNPQRS] = 2(\sqrt{a^2-c^2} \times c + a^2)$

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

Triângulo equilátero, quadrado, hexágono (9 pontos vértices): áreas

Problema:
Consideremos a construção em que

n=0 —	o triângulo equilátero $\;[ABC],$
n=1 —	os quadrados $\; [ADEB],\; [BFGC], \;[CGHA]\;$ e, finalmente,
n=2 —	o hexágono $\;[DEFGHI]$.

Sabendo que $\;AB=a,\;$ determinemos a área de $\;[DEFGHI]\;$ em função de $\;a\;$

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A seguir, uma construção para acompanhar o estudo (da Mariana? Aurélio?) que os (não?) levará à solução:
@geometrias, 25 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra Já cá chegou a resposta da Mariana. É esta:

Também cá chegou a pergunta: "Porque escreves 12 pontos vértices?" e eu respondo "Não sei" porque só sei que lá deve estar 9 (contei-os, um a um). O maquinista agradece a correcção            para 9.

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

Problema: Quadriláteros convexos; ângulo das diagonais e áreas.

Problema:
Se as diagonais de um quadrilátero convexo formam um ângulo de 30º, a área do quadrilátero é a quarta parte do produto das diagonais. O que acontece quando as diagonais formam ângulo de 60º ou de 45º?

A construção que apresentamos a seguir serve só para ver(ificar) a afirmação inicial.
A pergunta seguinte espera da Mariana e do Aurélio considerações, construções e respostas. :-)

@geometrias, 21 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra

Da Mariana Sacchetti veio resposta imediata (que verá melhor clicando sobre cada uma das páginas de Mariana):

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964

Problema: Quadrilátero de diagonais perpendiculares e quadrados sobre lados opostos

Problema:
Se as diagonais de um quadrilátero forem perpendiculares, demonstra-se que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre dois lados opostos é equivalente à soma dos quadrados construídos sobre os dois outros lados

A construção que apresentamos a seguir serve só para apoiar conjecturas. Pode sempre variar dados e acrescentar o que for preciso para responder a si mesmo e, claro, aos pedidos do enunciado e perguntas de leitores.

@geometrias, 19 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
Solução proposta por Mariana Sacchetti:

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Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964