Círculo de Thebault - Propriedades

Os seis centros das circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel situam-se sobre uma circunferência de centro no centro O do circuncírculo.

Circunferências de Thebault

Circunferências de Thebault do triângulo ABC em relação a um ponto P de BC são circunferências tangentes às rectas AP e BC e ao circuncírculo do triângulo.

Triângulo incêntrico

O triângulo incêntrico, A’B’C’, do triângulo ABC é o triângulo ceviano cujos vértices são os pés das bissectrizes.
Verifica-se que o circuncírculo do triângulo incêntrico intersecta o triângulo ABC em três segmentos, A'A’’, B'B’’, C'C’’, tais que o comprimento de um deles é a soma dos outros dois.



Pode deslocar a A, B, ou C para outras posições e verificar que, em qualquer caso, a soma de comprimentos de dois dos segmentos A'A'', B'B'', C'C'' é igual ao comprimento de um terceiro.

Triângulos Porísticos

Dois triângulos dizem-se porísticos se têm o mesmo incírculo e o mesmo circuncírculo.
Exercício interacitvo:
Na construção abaixo, é dado o triângulo ABC. Determine o seu triângulo porístico de que é dado o vértice P.

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A construção restaurada não se apresenta como um exercício interactivo. Para ver os passos da construção que permite resolver o problema colocado, desloque o cursor |n=1| de 1 a 10. No final, terá um triângulo de vértice P tal que os seus circuncírculo e incírculo são os mesmos do triângulo ABC. Claro que para haver solução é necessário que P seja um ponto do circuncírculo de ABC, como acontece no nosso caso.



Deslocando P sobre o circuncírculo ABC, verá que os diversos triângulos PQR, porísticos de ABC, são diferentes uns dos outros (para isso, se mostram os comprimentos de cada um dos lados de cada PQR)

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Porisma: s. m. || (matem.) problema, cuja solução consiste em tirar das condições expostas no enunciado uma verdade geométrica. F. gr. Porisma.
Porístico: relativo a porisma
(Dicionário Aulete)

Triângulos de Sharygin

No triângulo ABC, seja:
- A’ o pé da bissectriz do ângulo interno A;
- B’ o pé da bissectriz do ângulo interno B;
- C’ o pé da bissectriz do ângulo interno C;

- A’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice A;

- B’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice B;

- C’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice C.


Tracemos as mediatrizes dos segmentos AA’, BB’, CC’. O triângulo definido por estas três rectas é o “primeiro triângulo de Sharygin”.







Tracemos as mediatrizes dos segmentos AA’’, BB’’, CC’’. O triângulo definido por estas três rectas é o “segundo triângulo de Sharygin”.






Os dois triângulos são semelhantes.
O eixo de perspectiva ente o triângulo ABC e os dois triângulos de Sharygin é a recta de Lemoine

Triângulo de Grossard

A recta de Euler do triângulo ABC (a azul) intersecta a recta AB em E₁, a recta BC em E₂, a recta AC em E₃.
A recta de Euler do triângulo BE₁E₂ é a recta O₁H₁.
A recta de Euler do triângulo AE₁E₃ é a recta O₂H₂.
A recta de Euler do triângulo CE₂E₃ é a recta O₃H₃.
Estas três rectas de Euler, a vermelho, definem o triângulo de Grossard.
O triângulo de Grossard e o triângulo ABC são congruentes.

Triângulo de Carnot

No triângulo ABC, determinemos o seu ortocentro H. Sejam.
- A’ o circuncentro da circunferência BCH;
- B’ o circuncentro da circunferência ACH;
- C’ o circuncentro da circunferência ABH.
O triângulo A’B’C’, designado por triângulo de Carnot, é congruente com o triângulo ABC.



[A.A.M.]

Triângulo de Morley e associados

A construção seguinte sintetiza o conjunto dos trabalhos publicados sobre os triângulos de Morley e associados.

Terceiro triângulo de Morley

As intersecções das trissectrizes ( na fig. a ponto traço) consecutivas dos âgulos externos (no sentido usual) de um triângulo ABC são vértices do chamado terceiro triângulo de Morley (a verde)

Segundo triângulo de Morley

Dado um triângulo ABC, as intersecções das trissectrizes consecutivas dos ângulos exteriores a ABC, conforme a construção que se segue, são vértices do segundo triângulo de Morley.

Triângulo de Morley e associados

Intersectando do modo indicado na construção trissectrizes de ângulos internos com trissectrizes de ângulos externos, obtêm-se, a partir do triâgulo de Morley, quatro outros triângulos equiláteros.

Polares trilineares dos vértices do triângulo de Morley

As polares trilineares dos vertices do triângulo de Morley relativo ao triângulo ABC formam um triângulo ApBpCp em perspectiva com o triângulo ABC

Triângulos em perspectiva - Morley e dos exincentros

O triângulo de Morley e triângulo dos exincentros estão em perspectiva.


[A.A.F.]

Triângulos em perspectiva

Peter Iff provou que o triângulo ABC e o triângulo de Morley estão em perspectiva, como pode ver-se pela construção seguinte.



[A.A.F.]

Triângulos de Morley e tangencial

O triângulo de Morley e triângulo tangencial (ver em: Ponto de Exeter ) estão em perspectiva.



[A.A.F.]

Mais triângulos

Mais alguns triângulos especiais:
Ao longo desta incursão pelo fascinante mundo dos triângulos, já referimos alguns triângulos especiais: triângulo pedal, triângulo mediano, triângulo tangencial, triângulo de Brocard, etc
Vamos referir mais alguns casos:

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Triângulo de Morley

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No triângulo ABC, dividamos cada um dos ângulos internos em três partes iguais. As intersecções das seis rectas, tomadas duas a duas, tal como se indica na construção, determinam três pontos. Esses três pontos são os vértices de um triângulo equilátero, dito “Triângulo de Morley”.


[A.A.M]

Triângulos de Yff

Cada par de rectas perpendiculares tiradas pelo ponto de Yff às bissectrizes dos ângulos internos formam com cada lado um triângulo. Os três triângulos assim obtidos são equivalentes.

[A.A.F.]

Incentro, Yff e um baricentro: recta de Euler

Seja A’ a primeira intersecção da bissectriz de A com o incírculo;
seja B’ a primeira intersecção da bissectriz de B com o incírculo;
seja C’ a primeira intersecção da bissectriz de C com o incírculo.

A recta definida pelos pontos I e Y contem o baricentro G’ e o ortocentro H´do triângulo A’B’C’, ou seja, é a recta de Euler deste triângulo.


[A.A.F]

PONTO de YFF

No triângulo ABC tracemos as bissectrizes dos ângulos internos e, em seguida, as bissectrizes dos três ângulos de vértice em I:
- seja A’ a intersecção da bissectriz de BIC com o lado BC;
- seja B’ a intersecção da bissectriz de AIC com o lado AC;
- seja C’ a intersecção da bissectriz de AIB com o lado AB.

As cevianas AA’, BB’, CC’ intersectam-se no ponto Y de Yff.

Ponto de Steiner, triângulo de Brocard, ponto de Lemoine

No triângulo ABC, tracemos o círculo de Brocard (diâmetro OLe). Determinemos o primeiro ponto de Brocard, Br1. As cevianas referentes a Br1 definem sobre o círculo de Brocard os vértices A’B’C’ do primeiro triângulo de Brocard. O ponto de Steiner de A’B’C’ é o ponto de Lemoine Le de ABC.
A verificação de que se trata do ponto de Steiner de A’B’C’ está feita com a intersecção do circuncírculo de A´B´C´com a circunferência definida pelos pontos A’’B’’C'’.

Ortologia, recta dos pontos isodinâmicos, ponto de Steiner

No triângulo ABC, determinemos os pontos isodinâmicos (isogonais dos pontos de Fermat; obtêm-se pela intersecção dos três círculos de Apolónio): W1, W2. Tracemos as simétricas da recta W1W2 relativamente às bissectrizes internas do triângulo ABC: a´, b’, c’. O triângulo A’B’C’ formado por estas três rectas é ortológico em relação a ABC. O primeiro centro de ortologia é o ponto de Steiner.

Ortologia, recta de Brocard, ponto de Steiner

No triângulo ABC, tracemos a recta de Brocard rLe (a verde, definida pelos pontos O e Le). As simétricas de rLe em relação a cada bissectriz dos ângulos internos formam um triângulo A’B’C’, ortológico de ABC. Determinemos o primeiro centro de ortologia, traçando perpendiculares por A a a’, por B a b’, por C a c’. Verifica-se que o ponto procurado é o ponto de Steiner St do triângulo ABC.



(A verificação de que se trata do ponto de Steiner está feita com a circunferência auxiliar AB₁C₁.)

Bissectrizes e triângulos ortológicos

No triângulo ABC tomemos as bissectrizes dos ângulos internos e uma recta qualquer r. Verifica-se que as simétricas de r em relação a cada bissectriz formam um triângulo A´B´C´ortológico de ABC; o primeiro centro de ortologia situa-se no circuncírculo.

Triângulo ortológico

Dois triângulos ABC (de lados a, b, c) e A’B’C’ (de lados a’, b’, c’) dizem-se ortológicos se as perpendiculares tiradas de A para a’, de B para b’, de C para c’ se intersectam num ponto – primeiro centro de ortologia O1.
Reciprocamente, as perpendiculares tiradas de A’ para a, de B’ para b, de C’ para c também se intersectam num ponto – segundo centro de ortologia O2.

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Neste tempo de recuperar para a visibilidade o que deixara de ser visto, António Aurélio Fernandes encontrou o texto---- Francisco J. García Capitán. Triángulos ortológicos. Septiembre de 2005 ---- que se recomenda a quem queira saber se é ortológico.:-)

Hexágono e círculo de Lemoine

No triângulo ABC, determinemos o ponto de Lemoine Le. Por Le tracemos paralelas aos lados do triângulo: os seis pontos de intersecção com os lados do triângulo ABC definem o hexágono de Lemoine. Existe um círculo circunscrito ao hexágono: é o círculo de Lemoine t de centro T.
Verifica-se que o ponto T é o ponto médio do segmento OLe; coincide, portanto, com o centro do círculo de Brocard.


[A.A.F.]
O eixo radical de circuncírculo(?) e do círculo de Lemoine é a recta de Pascal do hexágono de Lemoine.

?
[A.A.F.]

Polar trilinear do ponto de Tarry e recta de Euler

A polar trilinear do ponto de Tarry e a recta de Euler são perpendiculares e intersectam-se num ponto da circunferência de Brocard.



[AAF]

Ponto de Steiner, ponto de Tarry e recta de Brocard

Tomemos os pontos de Steiner, de Tarry e as intersecções da recta de Brocard (definida por O e Le) com o circuncírculo. Estes quatro pontos definem um rectângulo inscrito no circuncírculo. Os lados do rectângulo são paralelos aos eixos das elipses de Steiner.


[A.A.F.]

Polar do baricentro em relação ao círculo de Brocard

A polar do baricentro G em relação ao círculo de Brocard contém o ponto de Steiner.


[A.A.F.]

Ponto de Tarry e recta de Lemoine

A recta de Simson do ponto de Tarry é paralela à recta de Lemoine.



[A.A.F.]

Triângulo de Neuberg

O “triângulo de Neuberg” tem como vértices os centros dos círculos de Neuberg. O triângulo ABC e o triângulo de Neuberg estão em perspectiva, com o centro de perspectiva no ponto de Tarry.


[A.A.F]

Eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard

Exercício interactivo

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Determine o eixo radical do circuncírculo e do círculo de Brocard do triângulo [ABC], conhecidos o circuncírculo, o círculo de Brocard, o ponto e a recta de Lemoine.

Ponto de Tarry de um triângulo de Brocard

Eixos das elipses de Steiner

As elipses de Steiner têm eixos sobre as mesmas rectas. A recta do eixo secundário (menor) é bissectriz comum aos ângulos L_eGS_t e OGT_y.



<[A.A.F.]

Ponto de Tarry

No triângulo ABC , consideremos o diâmetro do circuncírculo que contem o ponto St de Steiner. O outro extremo do diâmetro é o chamado “ponto de Tarry”.


[A.A.F.]
No triângulo ABC , desenhemos a cevianas referentes ao ponto Ty de Tarry. Cada círculo de Neuberg passa por um vértice e tem centro na intersecção da ceviana que passa por esse vértice com a mediariz do lado definido pelos outros dois vértices.

Sobre as elipses de Steiner

A elipse de Steiner circunscrita ao triângulo ABC é a elipse circunscrita de área mínima. Também chamamos elipse de Steiner inscrita à elipse inscrita de área máxima. Ambas são centradas em G e os pontos de tangência da elipse inscrita são os pontos médios dos lados do triângulo.



[A.A.F.]

Ponto de Steiner e recta de Euler

Sejam P e Q os pontos em que a recta de Euler do triângulo ABC intersecta o circuncírculo; H é o ortocentro e Re o retrocentro (conjugado isotómico de H); St é o ponto de Steiner. As três rectas StP, StQ, HRe formam um triângulo rectângulo com o ângulo recto em St.
A elipse circunscrita ao triângulo ABC contém também os vértices do triângulo StMN.
É a chamada "elipse circunscrita de Steiner".
Note-se que os simétricos A', B', C' respectivamente de A, B, C são também pontos da elipse; ou seja, o centro da elipse é o baricentro G. De entre as elipses circunscritas, esta goza da propriedade de ter a área mínima.


[A.A.F.]

A recta de Simson a partir do ponto de Steiner

No triângulo ABC tomemos o ponto St e tracemos a sua recta de Simson (definida pelas projecções de de St sobre os lados do triângulo). Determinemos os pontos Br₁ e Br₂ de Brocard e a recta por eles definida. Verifica-se que as rectas são perpendiculares. Logo a recta de Simson de St e a recta de Brocard (definida por O e Le) são paralelas.


[A.A.F.]

Ponto de Steiner e Recta de Lemoine

No triângulo ABC tomemos o ponto Le de Lemoine e determinemos a sua polar trilinear rLe (a verde cheio). Traçando as três isogonais da recta de Lemoine (uma por vértice do triângulo) verifica-se que elas se intersectam no ponto de Steiner que é o mesmo que dizer que o ponto isogonal do ponto do infinito da recta de Lemoine é o ponto de Steiner.
Traçando uma paralela (a verde tracejado) à recta de Lemoine por qualquer um dos vértices – seja, por exemplo, o vértice A - a sua isogonal - simétrica dessa paralela em relação à bissectriz (amarelo tracejado) - é uma recta (a verde tracejado) que passa pelo ponto St de Steiner.



[A.A.F.]

Da polar trilinear para o pólo

A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

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Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

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Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_{b e CPc intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p}

Recta de Steiner

Tomemos um ponto P qualquer sobre o circuncírculo; os simétricos Pa, Pb, Pc de P em relação a cada lado são colineares; se P for o ponto de Steiner, a recta obtida é a recta de Steiner.


Na construção dinâmica, que se segue, pode verificar os resultados para qualquer P do circuncírculo e pode deslocá-lo até ser coincidente com o Ponto de Steiner e a recta dos simétricos de P ser a recta de Steiner. Também pode deslocar os vértices do triângulo.


[AAF]

O ponto de Steiner e o ponto G

No triângulo ABC, sejam
- A’ o simétrico de A em relação a G
- B’ o simétrico de B em relação a G
- C’ o simétrico de C em relação a G;
as três circunferências definidas pelos conjuntos de ternos de pontos AB’C’, BA’C’, CA’B’ intersectam-se num ponto do circuncírculo - ponto de STEINER. A cada uma das três circunferências dá-se o nome de “círculo de Steiner”



Nesta construção dinâmica, criada com GeoGebra, pode deslocar os vértices do triângulo para verificar.

Ponto de Steiner e triângulo de Brocard

No triângulo ABC sejam O o centro do circuncírculo e Le o ponto simediano (ou de Lemoine). O círculo de diâmetro OLe é o círculo de Brocard, como vimos. Por O tracemos perpendiculares aos lados a, b, c; as suas intersecções com o círculo de Brocard são os vértices A’, B’, C’ do “primeiro triângulo de Brocard”. Por A tracemos uma paralela ao lado B’C’, por B uma paralela ao lado A’C’, por C uma paralela ao lado A’B’: as três rectas intersectam-se no ponto de Steiner. O ponto de Steiner é sempre um ponto do circuncírculo.




Sobre esta construção, criada com GeoGebra, pode deslocar os vértices para verificar os invariantes. A única ferramenta - ao cimo à direita - permite-lhe voltar ao ponto de partida. Se precisar da aplicação GeoGebra, basta clicar duas vezes sobre o quadro dinâmico.

Pontos de Fermat, pontos isodinâmicos e ponto de Lemoine

No triângulo ABC determinemos:
- os pontos V1 e V2 de Fermat (ou pontos isogónicos)
- os pontos isodinâmicos W1 e W2 (que são os pontos isogonais dos pontos de Fermat)
- o ponto Le de Lemoine.
As polares trilineares dos pontos V1, V2, W1, W2 formam um paralelogramo - resultado inesperado! Mas há mais: uma das diagonais do paralelogramo é a polar trilinear (ou recta de Lemoine) do ponto Le.





As ferramentas disponíveis permitem verificar, sobre a construção dinâmica, os resultados apresentados.

Os três pontos e as três rectas

Nas últimas entradas, andámos a ver rectas definidas inicialmente de um modo, podiam ser definidas e construídas de outro modo. Por exemplo, a recta de Lemoine apareceu definida como polar trilinear do ponto de Lemoine e como eixo radical de duas circunferências. Na construção de hoje, a tracejado castanho, fica sugerido (só?) que a recta de Lemoine também pode ser obtida (e definida?) como polar do ponto Le - ponto de Lemoine - relativamente ao circuncírculo.

Mas o que a construção de hoje quer tornar patente (dinamicamente falando) é que à colinearidade vermelha dos pontos Re, G e Le corresponde o facto das rectas p_Re, eo e r_Le se intersectarem num ponto vermelho. Como se esperava?



[A.A.F.]
o que não mantém as notações do texto


Estes trabalhos de pontos e rectas do triângulo foram acompanhados por Paulo Correia que se lembrou de nos dar a conhecer o trabalho notável (também de paciência!) da equipa de Humberto Bortolossi que fez construções dinâmicas de 1000 pontos notáveis (de cada vez) a mostrar-nos comportamentos das suas posições relativas para diferentes triângulos que nos deixam maravilhados. A primeira impressão que tive foi "isto é um vespeiro!". Obrigado, Paulo!

Chegados aqui, temos de dizer que do lado da persistência nas construções geométricas estão António Aurélio Fernandes e Mariana Sacchetti (que não deixam descansar os livros velhos e novos e tornam a vida de todos nós muito mais dinâmica!).

Polar trilinear do Retrocentro

No artigo Recíproco do Ortocentro , de 16 de Agosto de 2008, apresentávamos uma construção do retrocentro de um triãngulo. Sobre cada lado do triângulo tomávamos o seu ponto médio e, relativamente a ele, o simétrico do pé da altura. As cevianas - segmentos de cada vértice para esses simétricos dos pés das alturas - encontram-se no Retrocentro. No mesmo artigo, uma outra construção ilustrava, dinamicamente, que o Retrocentro é colinear com os primeiros pontos de Gergonne e de Nagel.

Neste artigo de hoje, ilustra-se a construção (a verde e castanho) da polar trilinear do Retrocentro.



[A.A.F.]

Pode verificar a estabilidade, deslocando os vértices do triângulo [ABC]

Eixo órtico como eixo radical

O eixo órtico do triângulo ABC é simultaneamente o eixo radical dos seus circuncírculo e círculo dos nove pontos.

A azul está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo dos nove pontos.
A verde está a construção do eixo órtico.




[A.A.F.]

Eixo radical e recta de Lemoine

A recta de Lemoine é a polar trilinear do ponto de Lemoine (ponto em que as simedianas do triângulo se cruzam), mas é também o eixo radical dos circuncírculo e círculo de Brocard, ambos na figura.

A vermelho está a construção do eixo radical das circunferências - circuncírculo e círculo de Brocard.
A verde está a construção da polar trilinear do ponto, L, de Lemoine.




[A.A.F]

Do eixo antiórtico ao seu triângulo (II)

Exercício Interactivo

De um triângulo ABC conhecemos o seu eixo antiórtico r_ao, a recta c que contém o lado AB e os vértices A e C.
Determine B.

Do eixo antiórtico ao seu triângulo

Exercício Interactivo

De um triângulo ABC conhecemos o seu eixo antiórtico r_ao, a recta c que contém o lado AB, o vértice C e o pé T_B da bissectriz do ângulo B no lado oposto.
Determine A e B.

Propriedade do eixo órtico

No triângulo ABC a retcta de Euler e o eixo órtico são perpendiculares. O ponto de intersecção das duas rectas é designado por X(468) no catálogo de Kimberley.



[A.A.F.]