Máquina: Inversor (de Peaucellier, Lipkin, Hart,…)

Inversor de Peaucellier

O problema de construir um maquinismo articulado para traçar uma reta foi resolvido por A. Peaucellier em 1864. Apesar da invenção ter sido anunciada em 1867, num encontro da Sociedade Filomática de Paris, o trabalho de Peaucellier só teve grande repercussão depois de Lipkin, discipulo de Chebishev, ter reinventado independentemente o mecanismo em 1871. Chebishev tinha tentado provar a impossibilidade de tal mecanismo. Só depois do reconheciemnto de Lipkin na Rússia, é que Peaucellier foi reconhecido e premiado com o grande prémio da Mecânica do Instituto de França. O mecanismo de Peaucellier usa sete barras articuladas com 3 pontos fixos. Em 1874, H. Hart descobriu um maquinismo articulado de 5 barras para desenhar uma reta. Desde então não há notícia de que alguém tenha conseguido reduzir o número de barras necessárias.
Descobriram-se vários mecanismos articulados para construir curvas especiais como cónicas, cardióide, leminiscatas e cissóides. E provou-se que há mecanismos articulados para desenhar qualquer curva algébrica, e que não existe qualquer mecanismo articulado para traçar curvas transcendentes.

Tanto o mecanismo de Peaucellier como o de Hart têm por base a inversão de uma circunferência que passa pelo centro de inversão.
Apresenta-se, na construção seguinte, um inversor que parte de 2 pontos fixos O e D, a partir do qual se define P sobre a circunferência de centro D que passa por P. O fundamental do mecanismo é um losango feito por quatro barras (a castanho), de comprimento dado, articuladas em P, A, P' e B. Também as barras OA e OB (a verde) devem ter o mesmo comprimento, maior que OP. Claro que, DP=DO > OP/2, já que queremos que a circunferência que P percorre (em parte) passe por O se queremos uma reta a ser percorrida por P' inverso de P.
Se P percorresse livremente a circunferência de centro D e raio DP, P' percorreria uma reta acabada. O mecanismo construído tem limitações, como é natural.

Para o caso ilustrado na figura, podemos verificar que a inversão de centro O que transforma P em P' tem potência OA² - PA² (constante, diferença dos quadrados de comprimentos fixados). Assim, considerando nos cálculos, que se seguem, segmentos orientados, temos OP=OC-PC e OP'=OC+PC. Por isso, podemos escrever

OP.OP'=OC² - PC²=(OC²+ CA²) -(PC²+ CA²) =OA² - PA²,
já que 2OC.CA=0 e 2PC.CA=0 (OC perpendicular a CA, e PC perpendicular a CA).

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© geometrias, 5 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry. Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Circunferências de Apolónio - uma propriedade

Seja ABC um triângulo. Designando os lados por a=BC, b=AC e c=AB, tiramos as bissetrizes internas e externas dos ângulos do triângulo e chamamos A' e A'' aos pés em a das bissetrizes do ângulo A; B' e B'' aos pés sobre b das bissetrizes de B; C' e C'' aos pés das bissetrizes sobre c do ângulo C. Cada uma das circunferências de diâmetros A'A'', B'B'' e C'C'' (chamadas circunferências de Apolónio) corta cada uma das outras num ângulo de 120 graus.

Este resultado é obtido de forma simples recorrendo à inversão; os ângulos de duas circunferências são os ângulos formados pelas tangentes em ponto de interseção das duas que são preservado por inversão.

Debrucemo-nos sobre um par destas circunferências, de diâmetros B'B'' e C'C'', por exemplo. Para os outros pares, o resultado pode ser obtido de forma inteiramente análoga.

A circunferência de diâmetro B'B' passa por B, porque BB' e BB'' são perpendiculares (bissetrizes interna e externa de B). Do mesmo modo, a circunferência de diâmetro C'C'' passa por C.
Tomamos para circunferência de inversão uma circunferência centrada em A e raio qualquer. Invertemos as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' e os pontos B₁; e C₁ inversos de B e C, são os pontos médios dos inversos de C'C'' e de B'B'' respetivamente ( notar que (B',B'';A,C)=-1 e que (C',C''; A, B)=-1). Ou seja, B₁ é o centro da a circunferência inversa da circunferência de diâmetro C'C'' e C₁ é centro da circunferência inversa da circunferência de diâmetro B'B''.
Porque a circunferência de diâmetro B'B'' passa por B, a sua inversa passa por B₁ e, do mesmo modo, a inversa da circunferência de diâmetro C'C'' passa por C₁. Cada uma destas circunferências passa pelo centro da outra, cortando-se em dois pontos, M₁ e M₂. Nas condições descritas, o triângulo M₁B₁C₁ é equilátero e as tangentes a estas duas circunferências são perpendiculares aos dois lados M₁B₁, raio da circunferência centrada em B₁, e a M₁C₁, raio da circunferência centrada em C₁, que, sendo lados de um triângulo equilátero fazem um ângulo de 60 graus. As tangentes uma a cada circunferência, perpendiculares a retas que formam ângulo de 60 graus, formam entre si um ângulo de 120 graus que preservado por inversão, é o ângulo que fazem as circunferências de diâmetros B'B'' e C'C'' (inversas das circunferências (B₁) e (C₁)).

© geometrias, 3 de Novembro 2013, Criado com GeoGebra

Mais uma aplicação da inversão

Caso particular do problema de Apolónio

Determinar uma circunferência tangente a três dadas circunferências concorrentes mas não co-axiais. (usando a Inversão)

Pode seguir os passos da construção, descrita a seguir, clicando no botão de navegação (>>) ao fundo da janela de visualização.

Na construção partimos das circunferências (C_i), de centro C_i, que se intersetam num só ponto O. Se tormarmos uma circunferência (O) de raio qualquer para circunferência de inversão, como as circunferências (C_i) passam pelo centro de inversão O, as suas inversas (C_i)' são retas, precisamente as retas definidas pelas interseções de cada (C_i) com (O). A cirucnferência (I) inscrita no trilátero (C₁)', (C₂)', (C_i)' é tangente a essas retas e, por isso, usando a mesma inversão de centro O, obtemos uma corrrespondente (I)', circunferência que é tangente às três (C_i).

Claro que há mais 3 soluções, já que para além da inscrita (I), há 3 ex-inscritas tangentes às (C_i)' que se invertem em 3 circunferências cada uma delas tangente às 3 (C_i) dadas.

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© geometrias, 2 de Novembro 2013, Criado com GeoGebra

Cadeias de Steiner entre circunferências não concêntricas e não concorrentes

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Será que quaisquer duas circunferências que não se intersetam admitem uma cadeia de Steiner?.

Numa entrada de 6 de Setembro p.p., provámos que duas circunferências não concorrentes podem inverter-se em circunferências concêntricas. Assim as condições para a existência de uma cadeia de Steiner para duas circunferências que não se intersetam podem ser verificadas a partir das suas inversas concêntricas.

Na nossa construção de hoje, tomamos uma circunferência $(O)$ de um certo raio $R$ e determinamos os raios $r_n, r_n \lneq R$ das circunferências $(O, r_n)$ para cada uma $n=1, \ldots, 13$ das quais, as circunferências $(O, R)$ e $(O, r_n)$ admitem uma cadeia de Steiner com $n$ circunferências.
Na figura inicial apresenta-se uma cadeia de Steiner com 13 circunferências. Esta circunferêncais estão invertidas por uma inversão seguida de uma reflexão.

© geometrias, 29 outubro 2013, Criado com GeoGebra

No botão n-seletor pode variar o número de circunferências coloridas tangentes entre si e às duas dadas (de bordo negro). Com o botão de animação (ao fundo à esquerda) pode fazer rodar as circunferências, para perceber como as cadeias se repetem ciclicamente. No botão a vermelho "auxiliares da inversão" acede à reta dos centros, ao centro de inversão e circunferência de inversão, para além reta eixo da reflexão usada.

Escolhemos para circunferência de inversão relativamente a uma circunferência ortogonal à circunferência $(O, R)$ para que a esta seja inversa de si mesma. Desenhámos uma circunferência de raio igual a $(O, R)$ e para centro da inversão a interseção $I$ das tangentes interiores às duas circunferências iguais de tal modo que $(O, R)$, inversa de si mesma, seja imagem por reflexão de eixo perpendicular à reta dos centros das circunferências iguais tirada por $I$. A circunferência de inversão de centro $I$ passa por todos os pontos de tangência das tangentes interiores às duas circunferências. Assim, a cadeia de Steiner das circunferências excêntricas é obtida por inversão relativamente a $(I, IT^2)$ seguida da reflexão relativamente à perpendicular referida tirada por $I$.

Construção de cadeias de Steiner (em circunferências concêntricas)

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Dadas duas circunferências concêntricas $(O, OP)$ e $(O, OQ)$ com $OP > OQ$, determinar em que condições uma sequência de circunferências que são tangentes interiormente à primeira daquelas e exeriormente à segunda são também tangentes cada uma das que a seguem ou precedem.

© geometrias, 27 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir as etapas da construção Vejamos as condições da figura:

1. Chamemos $R$ a $OP$, $r$ a $OQ$ e $s$ a $AQ$. Para que a circunferência $(A)$ seja a tangente a $(O, R)$ e a $(O, r)$ é preciso que $R-r = 2s$. Para que $(B)$ seja tangente a $(A)$, a $(O, R)$ e $(O, r)$ será preciso que $AB=2s$ ou que $s=BM$ em que M é o ponto médio de $AB$. O mesmo se passará com $(F)$.
2. Essas condições permitem desenhar circunferências tangentes nas condições requeridas: $(C)$ tangente a $(B)$, $(O,R)$ e $(O,r)$; $(D)$ tangente a $(C)$, $(O,R)$ e $(O,r)$; $\ldots$.
   Mas nada garante que haja uma circunferência $(X)$ tangente à que a precede e que seja tangente a $(F)$ nas condições requeridas.
   Mas é óbvio que tal acontece se $AB=BC=\ldots =XF= FA$, isto é, se os centros das circunferências $(A)$, $(B)$, $\ldots$ $(X)$, $(F)$ forem vétrices de um polígono regular inscrito na circunferência de centro $O$ e raio $r+s = R-s$.
3. Para que isso aconteça, para que os termos da sequência se repitam ciclicamente (por exemplo de $n$ em $n$), precisamos que $$\angle AÔB = \displaystyle \frac{2\pi}{n}$$ em que $n$ seja o número de lados do polígono inscrito em $(O, r+s)$ e, por isso, $\angle AÔM = \displaystyle \frac{\pi}{n}$ e como $$ \frac{AM}{OA}= \frac{s}{r+s}=\frac{s}{R-s}= sin \frac{\pi}{n}$$ pode deduzir-se uma nova relação entre $R$ e $r$ que garanta que a sequência seja cíclica. Assim: $$ s=(r+s). sin \frac{\pi}{n} \Leftrightarrow s\left(sin \frac{\pi}{n}-1\right) =r$$ $$ s = (R-s).sin \frac{\pi}{n} \Leftrightarrow s\left(sin \frac{\pi}{n}+1\right) =R $$ e $$\frac{R}{r}= \frac{sin \frac{\pi}{n}+1}{sin \frac{\pi}{n}-1} $$

Se, para duas circunferências concêntricas $C_1$ e $(C_2)$, podemos sempre encontrar uma sequência de $n$ circunferências $(A_i)$ em que $(A_i)$ é tangente a $A_{i+1}$, $C_1$ e $(C_2)$, desde que se verifique a relação entre raios $2.a_i = c_1 - c_2$ ($c_1>c_2$); já para que nessa sequência, $(A_n)$ seja simultaneamente tangente a $A_{n-1}$ e a $A_1$ essa condição não é suficiente e é preciso reforçá-la com $$\frac{c_1}{c_2} = \frac{sin \frac{\pi}{n} +1}{sin \frac{\pi}{n} -1}$$ Às sequências que se repetem ciclicamente chamamos Cadeias de Steiner. Na próxima entrada, estudaremos a existência de cadeias de Steiner para circunferências excêntricas recorrendo ao resultado aqui abordado e à inversão.