Circunferência e sua homológica: eixos de simetria da elipse

Nas últimas entradas, temos vindo a determinar elipses homológicas de uma dada circunferência para homologias definidas pelo seu centro O, eixo e e reta limite l. Para o fazer temos determinado

1. o polo P da reta limite na polaridade induzida pela circunferência que se transforma pela homologia no centro P' da elipse homológica;
2. para determinar esse polo da reta l, temos tomado dois dos pontos desta - L₁ e L₂ - tais que a polar de cada um deles interseta a circunferência nos pontos de tangência das tangentes tiradas pelo outro, de modo a obtermos um quadrilátero circunscrito de diagonais a intersetar-se em P (polo de l); no caso: a polar de L₁ é AB que passa por L₂ e a polar de L₂ é CD que passa por L₁ e, por isso, AB e CD são conjugados já que AB contém o polo de CD e CD contém o polo de AB ;
3. as homólogas de AL₁ e BL₁ são retas paralelas (já que o homólogo de L₁ é um ponto impróprio) entre si e paralelas a C'D' que é homóloga de CD também a passar por L₁; do mesmo modo são paralelas as homólogas de CL₂ e de DL₂ e A'B';
4. assim o quadrilátero circunscrito à circunferência tem por homólogo um paralelogramo (a negro) de centro P' e o par de retas A'B' e C'D' são diâmetros (passam pelo centro), conjugadas porque cada uma delas contém o polo da outra (pontos impróprios de OL₂ e de OL₁, respetivamente).

Mas nessas construções anteriores, os diâmetros conjugados determinados não eram eixos de simetria da elipse. Nesta construção, trataremos de determinar diâmetros conjugados perpendiculares, isto é, determinar os eixos de simetria da elipse e o retângulo circunscrito à elipse.
Como os diâmetros têm as direções de OL₁ e de OL₂, se quisermos obter os eixos de simetria da elipse devemos tomar os pontos de tal forma que L₁OL₂ seja um triângulo retângulo em O, isto é, inscrito numa circunferência de diâmetro L₁L₂ que passa por O.
Para determinar a circunferência de centro em O com diâmetro sobre l, determinamos o seu centro N sobre l e a mediatriz de uma sua corda que passe por O. O outro extremo da corda O₁ pode ser determinado sobre OK e a perpendicular da tangente à circunferência de centro K tirada por O no seu ponto de tangência T. Desta maneira, obtemos uma circunferência (a tracejado) de centro N que passa por O, interseta l em L₁ e L₂ e tal que a polar de N pela polaridade induzida pela circunferência de centro K é a mesma que a polar de K pela polaridade induzida pela circunferência de centro N que passa por O, o que garante que dois pontos diametralmente opostos de uma delas são conjugados pela polaridade induzida pela outra. No caso, fica garantido que os pontos L₁ e L₂ são conjugados um do outro relativamente à circunferência de centro K de que a elipse será homológica.

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Nesta construção, A'B' e C'D' são, além de diâmetros conjugados, eixos de simetria da elipse.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980

Circunferências ortogonais: notas marginais para poder continuar

Considere-se a construção que se segue (parte esquerda) em que se têm duas circunferências, c₁ (verde) de centro O₁ e c₂ (cinza) de centro O₂. A polar ST (vermelha) de O₁ pela polaridade induzida por c₂ é a polar de O₂ pela polaridade induzida por c₁. Sempre que se verificam estas relações entre duas circunferências, dizemos que elas se cortam ortogonalmente ou são ortogonais.

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Na parte esquerda da construção, temos as duas circunferências e temos desenhadas as tangentes a c₂ tiradas por O₁ e as tangentes a c₁ tiradas por O₂. Lembremos noções, propriedades e resultados estudados na geometria elementar euclidiana:

1. Da circunferência c₁, O₁T=O₁S=r₁, O₁ST é isósceles. Do mesmo modo, O₂ST é isósceles. O₁O₂ e ST, diagonais do papagaio (deltóide), são mediatrizes uma da outra. O₁O₂ e ST são perpendiculares (ortogonais, normais)
2. Cada tangente à circunferência é perpendicular ao raio (reta que passa pelo centro da circunferência e pelo seu ponto de tangência). E, em consequência: O₁TO₂ = O₂TO₁ é um reto. Fica assim esclarecido a designação de ortogonais para as circunferências: O₁T O₂T é normal a O₁T.
3. Na construção acima, ainda fica ilustrado o facto de o diâmetro de uma de duas circunferências ortogonais ser cortado pelas duas circunferências em pares de pontos separados harmonicamente: o diâmetro CD de c₂ corta c₁ em {Å, B}: (A,B;C, D)=-1 (confirmado pelo quadrilátero, cor violeta na construção). Reciprocamente, se uma circunferência passa pelos pontos A, B conjugados harmónicos de outros C, D, então ela é ortogonal à circunferência de diâmetro CD.
   

Na parte direita da construção temos uma circunferência de centro O e P e Q conjugados relativamente a ela. Tendo em atenção as anteriores propriedades, poderá verificar que:

1. Se P e Q são conjugados relativamente a uma circunferência de centro O, a circunferência de diâmetro PQ (centro O') é ortogonal à circunferência de centro O.
   Se Q é conjugado de P pela polaridade induzida pela circunferência de centro O, então Q está sobre a polar p de P. Como PO é uma reta que contém um diâmetro da circunferência de centro O é perpendicular à polar p de P. Se chamarmos A à interseção de p com PO, a circunferência de diâmetro PQ passa por A. Chamando B e C às interseções de PO com a circunferência de centro em O, sabemos que P e A separam harmonicamente os pontos B e C, por A estar sobre a polar de P e a circunferência de centro O' (diâmetro PQ) é ortogonal à circunferência de centro O.
2. E, reciprocamente, Se duas circunferências (de centros O e O') são ortogonais, pontos P e Q diametralmente opostos de uma delas são conjugados relativamente à polaridade induzida pela outra.
   Tracemos um diâmetro PQ da circunferência de centro O' e unamos P com O, centro da outra. Por serem ortogonais, o quaterno (PABC) é harmónico e, em consequência, A pertence à polar p de P relativamente à circunferência de centro O e como PAQ é retângulo em A (já que PQ é um diâmetro), QA é perpendicular a PO e passa por A, logo p=AQ é a polar de P e, por isso, Q é conjugado de P relativamente à polaridade induzida pela circunferência de centro O.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980

Circunferência e elipse homológica: outra construção

Tomemos uma circunferência de centro K e consideramos uma homologia de que damos o centro O, o eixo e, a reta limite l, elementos bastantes para a definir. Tomamos um ponto da reta limite, L₁, de tal modo que a reta L₁K interseta a circunferência em pontos A e B tais que AB é a polar de L_∞. A polar de L₁ é a reta CD ou as tangentes dà circunferência tiradas por L₁ têm C e D por pontos de tangência ou o ponto C é o polo de L₁C e o ponto D é o polo de L₁C (C é um ponto autoconjugado, pertence à sua polar L₁C). O outro ponto sobre l que nos interessa é o ponto CD.l que designamos por L_∞ (CD//l) e que tem por polar a reta CD. O ponto P obtido como interseção de AB com CD é assim o polo de l=L₁L_∞. Podemos dizer que o triângulo auto-polar é L₁L_∞P:
L₁L_∞ de polo P, PL₁ de polo L_∞ e PL_∞ de polo L₁
A construção serve ainda para ver que como as diagonais do trapézio circunscrito à circunferência se intersetam em P, as suas homólogas intersetam-se em P' (no caso, centro da elipse), etc

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O trapézio tem dois lados paralelos a l (e ao eixo e) e o paralelogramo homólogo também...

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Circunferência e elipse homológica: polaridade; centros, diâmetros.

Lembramos a definição de cónica como figura auto-dual dada na entrada [8.9.12]:Uma polaridade, uma cónica :     Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas.
Tomemos uma circunferência e uma homologia de que damos o centro O, o eixo e, a reta limite l. Tomamos um ponto da reta limite L₁. A polar de L₁ é a reta AB ou as tangentes à circunferência tiradas por L₁ têm A e B por pontos de tangência ou o ponto A é o polo de L₁A e o ponto B é o polo de L₁B (A é um ponto autoconjugado, pertence à sua polar L₁A). Outro ponto sobre l que nos interessa é o ponto AB.l que designamos por L₂ e que tem por polar a reta CD. O ponto P obtido como interseção de AB com CD é assim o polo de l=L₁L₂, L₂P=AB é polar de L₁ e L₁P=CD é a polar de L₂. Temos assim um triângulo L₁PL₂ autopolar (em que cada vértice é polo do lado oposto) associada à circunferência.
Claro que sendo P o polo da reta limite da homologia, o seu homólogo P' é o polo da reta imprópria da elipse homológica da circunferência. Na construção, isso está ilustrado: o quadrilátero das tangentes que circunscreve a circunferência é transformado num paralelogramo - a cada par de tangentes à circunferência que se interseta num ponto da reta limite da homologia corresponde um par de tangentes da elipse que se intersetam num ponto do infinito. A'B' é paralela às tangentes em C' e em D' e polar do seu ponto impróprio, C'D' é paralela às tangentes em A' e em B' e polar do seu ponto impróprio: A'B'.C'D'={P'}
Aos pontos autoconjugados da polaridade associada à circunferência correspondem pontos autoconjugados da polaridade associada à sua homológica elipse.
Aos pontos M e N de tangência das tangentes à circunferência tiradas por O correspondem os pontos M' e N' à elipse das tangentes tiradas por O, como está ilustrado na constução.

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Repare que na circunferência P≠K em que P é o polo da reta limite e K é o que chamamos centro da circunferência (sendo este o polo da reta do infinito; basta lembrar que K é o ponto de interseção das retas, diâmetros, que intersetam a circunferência em pontos de tangência de tangentes paralelas). P' é o centro da elipse, interseção de A'B' com C'D', sendo paralelas as tangentes em A' e em B' e sendo igualmente paralelas as tangentes à elipse em C' e em D'. (P' é também o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo circunscrito à elipse). A'B' e C'D' são diâmetros da elipse, assim chamados por Izquierdo e AAF:-).

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
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C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

A circunferência homológica da elipse, parábola ou hipérbole

Nas últimas entradas recorremos sempre a homologias definidas por um ponto (centro O da homologia) e por duas retas (reta e, eixo de homologia, e reta l, reta limite). Fomos, ao mesmo tempo, confirmando que a homologia preserva as propriedades de incidência, de interseção, de tangência, transformando pontos em pontos, retas em retas, cónicas em cónicas, etc. Já vimos que a homológica de uma cónica é outra cónica e que sua natureza depende da posições relativas da cónica original e da reta limite.
Com a construção desta entrada, pretendemos ilustrar, em síntese, como a circunferência é homológica da elipse, da parábola ou da hipérbole conforme a reta limite é exterior, tangente ou secante à circunferência que é o mesmo que dizer que a cónica homológica tem 0, 1 ou 2 pontos impróprios (respetivamente)
Na construção, tomamos uma circunferência e sobre ela cinco pontos {A_i: i= 1, 2, ..., 5} dos quais determinámos as imagens por uma homologia definida por um centro O, um eixo e, uma reta limite l. Por exemplo, {A'1} = (A₁I.e)I'_∞.OA₁ que é o mesmo que dizer que A'1 é a interseção de OA₁ com a paralela a OI tirada pelo ponto A₁I.e; ... e que conhecidos A₁, A'₁ e A₂, o homólogo deste é A'₂ que se obtém por sabermos que A'₂ está sobre a reta OA₂ e A₁A₂ . A'₁A'₂ é um ponto do eixo e.
Pode fazer variar a homologia, deslocando qualquer dos definidores (O, e, l). Se deslocar l, usando o ponto L, pode ver o que acontece quando l é secante, tangente ou exterior à circunferência.
Provisoriamente não pode fazer variar a homologia (construção em restauração)

Nas próximas entradas vamos tratar da preservação de outras propriedades por uma homologia, particularmente as propriedades polares entre elementos homológos. Claro que já vimos na construção da entrada anterior que a tangente a uma cónica tem por homóloga uma reta tangente à sua homológica.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
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