Steiner: a outra definição de cónica

Numa entrada Definição projetiva de cónicas, de Setembro de 2012, já abordámos a definição de uma cónica como lugar geométrico dos pontos de interseção das retas correspondentes em dois feixes projetivos, mas não perspetivos. Nas entradas posteriores, definimos cada cónica como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou retas auto-conjugadas) numa dada polaridade (seguindo Von Staudt, escreve Coxeter)
O enunciado do provado Teorema de Steiner garante que
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas que é o mesmo que dizer que,
se para uma dada polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é o triângulo auto-polar diagonal de quadrângulo de que se conhecem três vértices P, Q, R auto-conjugados (da cónica) os feixes das retas x=PR e y=QR (R variável) são projetivos.
O procedimento alternativo à definição de cónica como polaridade hiperbólica (com pontos auto-conjugados) é: Sejam os feixes de retas variáveis x e y passando por P e Q (fixos) projetivos mas não perspetivos. O lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica que passa por P e por Q.
Se pela projetividade entre os feixes for pdx →dqy, em que d=PQ, então p e q são as tangentes em P e Q.

Se a projetividade x→y não é uma perspetividade, a reta d=PQ não é transformada em si mesma. Por isso, há obrigatoriamente duas retas p e q que a projetividade relaciona com d, assim: p→d e d→q. Como sabemos há uma única cónica a passar por PQ e x.y=R e tal que p e q são tangentes.

Novos pontos sobre a cónica de que se dão três pontos e as tangentes em dois deles

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Retomamos nesta entrada a construção feita na entrada anterior, mas tomamos agora um ponto C de PQ diferente de RD.PQ
A polar c de C∈ PQ passará forçosamente por D, polo de PQ=d e pelo conjugado harmónico de C relativamente a P e Q, C₁ determinado sobre PQ: c=C₁D. Essa cónica é a mesma cónica associada à polaridade determinada pelo quadrângulo PQRS autoconjugados que admite ABC como triângulo diagonal auto-polar: A=RQ.c, B=RQ.c e S=AP.BQ ou seja (ABC)(Pp)
Fixado C sobre PQ, c é agora uma polar de C comum a todas as cónicas do "feixe" de cónicas que se tocam em P e Q. Pode verificar isso, fazendo variar unicamente R.
Sendo C₂= RC.c, RS é um par da involução (CC)(C₂C₂) sobre h=RC.
Concluímos assim que:
De todas as cónicas tangentes a duas retas em pontos dados, aquelas que encontram uma terceira reta (que não passe por quaisquer dos outros pontos) fazem-no em pares de pontos de uma involução.

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Repare que pode tomar qualquer ponto C sobre a reta d=PQ e, a cada posição de C corresponderá um ponto S de tal modo que RS é um par da involução (CC)(C₂C₂). Este resultado aponta o processo para determinar pontos da cónica definida por (ABC)(Pp).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

"Feixe" de cónicas

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Na construção dinâmica desta entrada, a cónica fica determinada por (PQR)(Dp), em que p=DP. p=DP é a polar de P (ou tangente à cónica em P) e q=DQ é a polar de Q (ou tangente à cónica em Q) D=DP.DQ=p.q é polo de PQ. Sobre a reta PQ tomamos C=PQ.RD e, depois o seu conjugado harmónico C₁. Sobre a reta c=C₁D, tomamos A=c.RQ e B=c.RP. O ponto S=AQ.BP quarto vértice do quadrângulo PQRS que admite ABC como triângulo diagonal (auto-polar).

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Nas condições da construção, para cada (P,Q, R, D) há uma cónica a passar por P, Q e R da qual PD e QD são tangentes.
Faça variar unicamente R (deslocando na construção) e verifique que cada diferente posição de R corresponde uma única cónica e uma diferente reta c a passar por D.
As cónicas correspondentes às diferentes posições de R constituem um feixe de cónicas duplamente tangentes (em P e Q sendo as tangentes comuns DP e DQ). Este feixe de cónicas tem dois centros, no sentido de que todas as suas cónicas têm dois pontos em comum. As retas c formam um feixe centrado num só ponto D, no sentido de que que todas essas retas tem um só ponto em comum.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Cónica de que se conhecem 3 pontos e as tangentes em dois deles

Na última entrada, ao fazer a demonstração do Teorema de Steiner, tomámos 3 pontos sobre uma cónica - dois fixos P e Q e um outro variável R. E tomámos uma reta c a passar por D polo de uma reta PQ para polaridade associada à cónica da qual P e Q são pontos (auto-conjugados, portanto): Para uma dada posição de R, tomamos C=RD.PQ e a reta c=AB,em que A=RQ.c e B=RP.c e de tal modo que ABC seja o triângulo diagonal de um quadrângulo PQRS, ou seja, em que S=AP.BQ, convenientemente.
O ponto C₁=c.PQ é o polo da reta CD, e é o conjugado harmónico de C relativamente a P e Q.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Se não tivéssemos dado a cónica, mas, só os pontos P,Q, R e D, podíamos ter construído C=PQ.RD e o seu conjugado harmónico C₁. A reta c ficaria determinada como c=C₁ que nos daria A=c.RQ e B=c.RP e ficaria assim determinada uma cónica que pode ser descrita como ser descrita como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou a envolvente das retas autoconjugadas) na polaridade (ABC)(Pp) em que p=PD (ou (ABC)(Qq) em que q=QD)
E podemos assim concluir: Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos e pelas tangentes em dois deles.

Relação entre pontos conjugados e retas conjugadas por polaridade associada a cónica

Se um triângulo PQR está inscrito numa cónica, qualquer reta conjugada comum dos seus lados encontra os outros em pontos conjugados. (Teorema de Seydewitz)
De facto, uma reta conjugada com PQ é a polar de algum ponto C de PQ. Seja S o ponto de intersecção da reta RC com a cónica. Os pontos diagonais de o quadrângulo PQRS formam um triângulo auto-polar cujo lado c incide nos pontos A e B, conjugados, A incidente em QR e B inicidente em PR.

( Dualmente: De um triângulo circunscrito a uma cónica, qualquer ponto conjugado com um dos seus vértices liga-se aos outros dois vértices por retas conjugadas)

Na construção, consideramos R um ponto variável sobre a cónica e P e Q pontos fixos sobre a cónica e chamámos x a PR e y a PQ. Podemos deslocar R sobre a cónica e verificar que quando R coincide com P (ou com Q) x=y=d=PQ.
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas. (Teorema de Steiner)
Já sabemos que as tangentes p (em P) e q (em Q) se encontram em D=p.q que é o polo de PQ. Seja uma reta c que passe por D, mas não passe por P nem por Q.
Como x.c=B e y.c=A, AB é um par em involução de pontos conjugados em c. Fazendo variar R=x.y sobre a cónica verá que x→B→A→y x e y são projetivos, ficando concluida assim a demonstração do teorema de Steiner.

Sendo d=PQ e C₁=c.d, P e Q são posições possíveis para R. Quando R=P, y=d, A=C₁, B é ponto conjugado de D, e x=p. Do mesmo modo, quando R=Q, x=d, B=C₁, A=D e y=q. Quando y é d, x é p quando x é d, y é q
( Dualmente: Considere-se uma tangente a uma cónica, variável, que interseta duas outras tangentes à mesma cónica, fixas, em dois pontos X e Y. X e Y são projetivos)

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Coxeter. Introduction to Geometry, Wiley & Sons. NY:1969
Coxeter. Projective Geometry. Springer. NY:1994 " width="700">