Dualidade na geometria projetiva plana.

Com o Princípio da Dualidade afirmamos que, na geometria projetiva do plano, qualquer definição se mantém com significado e cada teorema continua a ser verdadeiro, quando trocamos as palavras ponto por reta e reta por ponto (e consequentemente também certos pares de palavras tais como intersetam-se em e passam por, colinear e concorrente, vértice e lado, etc. Por exemplo, o dual do ponto AB.CD é a reta (a.b)(c.d) que explicita que simbolicamente não só trocamos maiúsculas por minúsculas como temos de remover pontos (com o significado de interseção) onde estão presentes ou de os inserir onde estão ausentes.

Já várias vezes referimos e utilizámos o princípio da dualidade quando, por exemplo, definimos

1. triângulo como conjunto de 3 pontos A,B,C e de 3 retas AB, AC,BC e, dualmente, como conjunto de 3 retas a, b, c e dos 3 pontos a.b, a.c, b.c (figura autodual)



2. quadrilátero completo como conjunto de 4 pontos A,B,C,D e de 6 retas AB,AC,AD,BC,BD,CD (com três pontos diagonais) e, dualmente, como conjunto de 4 retas a,b,c,d e 6 pontos a.b, a.c, a.d, b.c, b.d, c.d (com 3 retas diagonais).
   
   
3. teorema de Desargues e seu recíproco (ou dual?)

Claro que todos os axiomas para o plano projetivo implicam os seus duais. Depois de usar os axiomas e as suas consequências para provar um determinado teorema, podemos imediatamente afirmar o teorema dual.
Uma demonstração do teorema dual pode ser escrita automaticamente dualizando cada passo da demonstração do teorema original. No plano. (Há teoremas cuja demonstração não pode ser feita assim. A demonstração do recíproco do teorema de Desargues é um caso desses por ser tridimensional. Para evitar isso é que tomámos o Teorema de Desargues como axioma e deduzimos o seu recíproco no plano e sem apelar ao princípio da dualidade).
Este princípio da dualidade torna muito atrativa a Geometria Projetiva, pela simetria e, principalmente, pela economia. Ter demonstrado 10 teoremas significa afinal ter demonstrado 20

Nota marginal sobre a palavra harmónico em uso

Coxeter recomendou que nos detivéssemos na geometria euclidiana por mais uns momentos e que tomássemos uma corda esticada OC e G, E de tal modo que 3.OG=2.OC e 5.GE=2.GC. Assim fizemos. Diz ele que se afinarmos a corda OC para a nota C (Dó), a corda OG ficaria afinada para dar a nota G (Sol) e a corda OE ficaria afinada para a nota E (Mi). Dó, Sol, Mi são as três notas do acorde da terceira maior: o intervalo entre a nota produzida por OC e a nota produzida por OG é uma quinta perfeita e o intervalo entre a nota produzida por OC e a produzida por OE é uma terceira maior.



Desenhámos em seguida um quadrilátero completo PQRS de tal modo que O=RQ.PS, E=RP.QS e G em RS. Verificámos que QP passa por C, o que significa que (OO)(EE)(GC) é um conjunto harmónico.
Deslocando o ponto R, pode verificar a relação H(OE,CG).
Fica-se a saber que a designação de harmónica que aplicamos a essa relação tem origem na harmonia da terminologia musical.

Conjugado harmónico de um ponto no infinito?

Notas
1. Referência a novos Axiomas: Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que não são colineares. Acrescentamos este resultado como axioma: Num quadrilátero completo, os três pontos diagonais nunca são colineares. Também é axioma a seguinte afirmação: Se quatro pontos distintos A, B, C, D forem tais que AB interseta BC, então AC interseta BD.
2. Na entrada anterior, introduzimos a noção de conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), secção do quadrilátero completo por uma reta definida por dois pontos diagonais AB, no caso. À definição desse conjunto corresponde uma relação entre os pontos A,B,C,F que consiste em garantir que A e B são pontos diagonais de um quadrilátero completo e C e F serem os pontos em que os lados que passam pelo terceiro ponto diagonal incidem sobre a reta AB. Indistintamente escrevemos H(AB,CF) para nos referirmos ao conjunto harmónico ou à relação correspondente. Na altura, concluímmos também que, num conjunto harmónico (AA)(BB)(CF), F é determinado unívocamente por A,B,C no rasto do que tínhamos visto para a secção do quadrilátero completo por uma reta que não incidisse em pontos diagonais ou vértices do quadrilátero.
3. Na construção seguinte, apresentamos um quadrilátero completo PQRS em que A=PS.QR, B=PR.QS C=RS.AB e PQ.AB=F_∞. De facto, começámos por construir A, B, R e PQ a intersetar AB num ponto do infinito. Movimentando R e a reta PQ poderá observar que o conjugado harmónico de F_∞ é invariante, tal como se esperava ABF_∞ define univocamente C do conjunto harmónico (AA) (BB)(F_∞C). Será que pode conjeturar qual é a posição ou localização de C relativamente a A e B? (Pode deslocar A e B para ver se essa posição relativa se mantém invariante). Poderia provar a sua conjetura considerando os instrumentos da geometrias euclideana? Em termos de geometria projetiva, o que podemos fazer?

Dois novos axiomas: causas e consequências

Acrescentaremos novos axiomas à medida que for sendo necessário.
E é altura de introduzirmos dois novos axiomas. A saber:
1. Se quatro pontos distintos A, B, D, E forem tais que AB interseta DE, então AD interseta BE. Segue-se a figura dinâmica em que pode deslocar pontos e retas:

Este axioma aparecia como necessário para provar o Teorema de Desargues (caso não o tivessemos então considerado axioma).

2. Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que os três pontos diagonais de um quadrilátro completo nunca são colineares. Acrescentamos esse resultado sublinhado como axioma.
Decorre deste axioma que os conjugados harmónicos C e F são distintos, excepto no caso degenerado em que ambos coincidem com A ou coincidem com B.
Dito de outro modo: Se A, B, C são distintos, a relação H(AB, CF) implica que F é distinto de C.


Desloque C sobre AB, para verificar que F só coincide com C quando C coincide com A ou com B (o que só acontece com G em A ou B)

E assim, em consequência desse axioma, há pelo menos quatro pontos em cada reta, já que os três pontos diagonais não são colineares o que garante que F e C são distintos entre si e distintos de A e B.

Conjunto Harmónico

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Seccionámos quadriláteros completos por uma reta que não passa pelos vértices nem por pontos diagonais.
Vamos agora cortar um quadrilátero completo por uma reta definida por dois pontos diagonais. A este caso especial de conjunto quadrangular chamamos conjunto harmónico, descrevendo a relação do seguinte modo (AA)(BB)(CF) ou abreviadamente H(AB,CF) que terá o mesmo significado que H(BA,CF), H(AB,FC) ou H(BA,FC), em que A e B são dois pontos diagonais e C e F estão sobre os dois lados que passam pelo terceiro ponto diagonal.

[A.A.M.] Dizemos que F é conjugado harmónico de C relativamene a A e B e, claro que também C é conjugado harmónico de F. Lembramos ainda que, de acordo com a entrada anterior, o ponto F é determinado univocamente por A,B e C [(AA)(BB)(CF)].

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Coxeter, H. Projective Geometry, Springer-Verlago. NY:1994