Determinar a imagem de um ponto pela projetividade entre duas pontuais da mesma base

Sobre uma mesma base r, tomemos a projetividade entre as pontuais ABCD e A'B'C'D' em que A' é a imagem de A, B'de B, C' de C. Determine D' - imagem de D, pela projetividade definida por (ABC) →(A'B'C').

[A.A.M.]

• Como as pontuais ABC e A'B'C' que definem a projectividade estão numa só base r=r', temos de projectar uma delas, seja A'B'C', numa qualquer outra outra recta que designamos por r₁ (optámos por uma reta paralela a r), a partir de um ponto V (próprio ou impróprio), no caso da nossa construção optámos por um ponto próprio: VA'.r ={A₁}, VB'.r ={B₁} e VC'.r ={C₁}.
  
• Usamos a pontual A₁B₁C₁ em r₁ e determinamos o eixo projectivo de r e r₁ pelos pontos AB₁.B₁A={A''} e BC₁.C₁B={C''}: r''= A''C''.
  
• O homólogo do ponto D é obtido pela sucessão de intersecções DA₁ . r'' ={D''},   AD'' . r₁ = {D₁} e VD₁ . r = {D'}.

Projetividade entre duas pontuais com a mesma base

Consideremos as pontuais A,  B ,  C  e  A',  B',  C',tendo por base a mesma reta. Vamos determinar a projetividade A→A',  B→B',  C→C', usando feixes de retas e pontuais como secções de feixes.
Comecemos por tomar um ponto V em que não incide a reta dos pontos A,  B,  C,  A',  B',  C'. 
E consideremos o feixe VA',  VB',  VC'.
Tomamos a pontual A₁,  B₁,  C₁ secção do feixe centrado em V por  s (auxiliar). Obviamente que A', B' ,C'  e  A₁,  B₁,  C₁ são V-perspetivos.
Teremos agora de arranjar uma pontual A₂,  B₂ ,  C₂, que é secção comum aos feixes AA₁,  AB₁,  AC₁ (por A)  e A₁A,  A₁B,  A₁C (por A₁), seguindo um processo já antes usado.


Assim:
- pela perspetividade centrada em A₁,
A→A₂,   B→B₂ ,  C→C₂;
- pela perspetividade centrada em A,
A₂→A₁,    B₂→B₁,   C₂→C₁;
- pela perspetividade centrada em V,
A₁ →A', B₁→B', C₁→C'
Concluindo:
A→A',   B→B',   C→C'.

Outra forma de definir a projetividade entre duas pontuais

Nas últimas entradas, tratámos de determinar a projetividade entre duas pontuais ABC e DEF (ou entre dois feixes abc e def).
Para isso considerámos que A→D, B→E e C→F. Em seguida tomámos os feixes por A: AD, AE, AF e por D: DA,DB,DC. Traçámos a reta que incide nos pontos de interseção de AE com DB e AF com DC. Ficando assim definidas duas perpetividades entre as pontuais ABC e DEF para a secção comum dos feixes por A e por D.
A projetividade entre as pontuais ABC e DEF aparece como a composta das duas perspetividades. Note-se que essa projetividade não é uma perspetividade, já que AD,BE e CF não têm qualquer ponto em comum.
Na figura que se segue, não vamos tomar perspetividades centradas em A e D. Tomamos pontos quaisquer sobre BE (podia ser sobre AD ou sobre CF), a saber: O₁ e O₂ e os feixes O₁A, O₁B, O₁C e O₂D, O₂E, O₂F, definindo uma reta intermédia incidindo em I=O₁A∩ O₂D K=O₁C∩O₂F. Tomamos ainda J na interseção de O₁O₂ com a reta intermédia.
A projetividade fica definida A→I→D, B→J→E e C→K→F.
Obtivemos assim a projetividade como produto de duas perspetividades. Se mover os pontos O₁ ou O₂, verá que a projetividade se pode decompor em duas perspetividades de uma infinidade de modos.

Projetividade entre quaisquer dois feixes

Será que entre dois feixes a,b,c por R e d,e,f por S (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos uma reta que corte a,b,c em A,B,C e outra que corte d,e,f em D,E,F. Usando o processo da anterior entrada (a castanho na figura), determina-se a projetividade entre as pontuais A,B,C e D,E,F como composta de duas perspetividades.

Temos
abc→ABC →    DEF →de f
Para cada reta x do feixe por R, há uma só reta do feixe por S que é projetiva com x (para a projetividade construída). Na edição inicial ficava como exercício a sua determinação usando as ferramentas disponíveis pelo CaR e o computador reconhecia a solução. Nesta,em GeoGebra, apresentamos os passos da construção até à solução.



Fica assim provado que há uma projetividade que transforma o feixe abc noutro def. Ficará por provar que é única.
Será que há sempre uma projectividade entre dois feixes de 4 retas?

Projectividade entre quaisquer duas pontuais?

Será que entre duas pontuais A,B,C de r e D,E,F de s (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projectividade?
Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspectividades: uma que transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).
A o chamamos eixo da projectividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos
ABC → IGH → DEF
Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetividade assim definida, será o ponto X'' de incidência comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.

Fica assim provado que há sempre uma projectividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada como composta de duas perspectividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer sequência de perspectividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.
Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?