Básico - Construção de Triângulos (I)

No ensino básico, aprendem-se muitas coisas sobre ângulos e triângulos. Devia ser tudo acompanhado de muito desenho e raciocínios geométricos apoiados em instrumentos de desenho. Infelizmente, a utilização de instrumentos de desenho está a ser cada vez menos frequente e começamos a aceitar que os estudantes não tragam consigo as ferramentas próprias do trabalho - régua, esquadro, compasso, transferidor. Do ponto de vista formativo (e ao contrário do que se pensa muitas vezes) desenhar ilustrações de pensamentos sem preocupações de rigor não ajuda à abstracção. Ainda menos ajuda se os estudantes não verbalizarem os pensamentos e os não escreverem completamente na língua em que pensam. Parte das falhas podem ser colmatadas pelo uso de programas informáticos (como o que aqui usamos) já que os estudantes terão de escolher ferramentas de desenho para cada construção e simulam completamente a actividade que deviam desenvolver e já não desenvolvem no ambiente de lápis e papel.


Na sala de aula, os estudantes devem fazer algumas construções com cuidado e devem ser chamados a fazer raciocínios geométricos que as apoiam.
Aqui deixamos uma construção do triângulo dados os seus lados. O desenho final no quadro seria assim:

Construção dinâmica de um triângulo dados os seus lados

Em primeiro lugar, a construção a branco sobre o fundo negro do quadro é bonita. E resulta de trabalho pensado. Vamos construir, a partir de um ponto A do quadro, um triângulo [ABC] de lados previamente estabelecidos - a, b e c - em que a é o lado oposto ao vértice A, b o lado oposto ao vértice B e c o lado oposto ao vértice C.
Assim, B deve estar à distância c de A, isto é, deve estar sobre uma circunferência de centro em A e raio igual a c. Com o compasso, posso transportar o comprimento c. (Cada ponta do compasso sobre um extremo de c e leva-se o compasso até A mantendo a abertura do compasso. Com a ponta seca sobre A, desenha-se a circunferência que queremos). B pode ser um ponto qualquer desta circunferência. Se quero que C esteja à distãncia b de A, basta desenhar a circunferência de centro em A e raio b. C deverá estar sobre essa circunferência. Mas onde? Bem, tem de estar nessa circunferência mas ao mesmo tempo na circunferência de centro em B e raio a. Não é? Façamos os transportes todos.

Bem. Isso é o que deve fazer para construir o triângulo.

Agora pode clicar sobre o nosso desenho final (branco sobre o negro do quadro) para ter acesso à nossa construção dinâmica. E, como pode manipular a figura deslocando os pontos a verde, deve poder verificar se há sempre triângulos quaisquer que sejam a, b e c. E se não há, quando é que isso acontece? E quando há... qual é a relação entre os lados a, b e c?
Está a ver a utilidade da geometria dinâmica? Gosto muito de quadros negros e de instrumentos de desenho, mas isto é muito potente, não é?

Ponto de Miquel

No artigo anterior sobre a recta de Droz-Farny, refere-se Jean-Louis Ayme e a sua demonstração sintética do Teorema de Droz-Farny, publicada no Forum Geometricorum. Nesta demonstração, J-L Ayme recorre a um Teorema de Miquel* que enuncia assim: Se marcarmos um ponto sobre cada um dos lados de um triângulo e tormarmos a circunferência que passa por cada vértice e pelos dois pontos marcados nos lados adjacentes, obtemos três circunferências que se intersectam num ponto. Diz ainda J-L Ayme, na pequena nota, que muito poucos geómetras contemporâneos de Miquel tiveram consciência de que o resultado de Miquel daria origem a um sem número de teoremas. Há referências a resultados atribuídos a Miquel, mas não encontramos notas biográficas. Por exemplo na enciclopédia mathworld - letra M , podemos encontrar sete entradas com o nome de Miquel - Miquel Circles, Miquel Equation, Miquel Five Circles Theorem, *Miquel's Pivot Theorem, Miquel Point, Miquel'Theorem e Miquel Triangle.

Esta referência lembrou-nos que já tínhamos feito uma construção sobre o ponto de Miquel, sugerida pelo Dicionário de Geometria Curiosa de David Wells que foi editado em Portugal pela Gradiva.

Tomemos quatro rectas a, b, c e d concorrentes duas a duas. Ficam definidos quatro triângulos cujas circunferências circunscritas se interesectam num ponto M, a que chamamos ponto de Miquel. Melhor ainda: Há uma circunferência que passa pelos quatro circuncentros e, por onde?, pelo ponto de Miquel.

Figura de J-L Ayme

Se clicar sobre a figura, tem acesso à nossa construção. Pode movimentar as rectas na figura. Pode tentar demonstrar o resultado, para além de fazer a sua própria construção com o Cinderella.

Nota:
Auguste Miquel; Mémoire de Géométrie, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville 1 (1838) 485-487.
E desafiamos o leitor a procurar a biografia de A. Miquel, bem como referências a Miquel. Bem merece ser conhecido - diz o companheiro Aurélio - embora acrescente que há outras coisas divertidas para fazer na vida.

Recta de Droz-Farny

No artigo anterior, apresentámos construções dinâmicas (animações, mesmo em alguns casos) relativas aos pontos e rectas notáveis de um triângulo. Os casos espantosos das rectas de Euler (colinearidade dos baricentro, ortocentro e circuncentro de um triângulo) e de Simson (colinearidade dos pés das perpendiculares aos lados de um triângulo tiradas de um ponto da circunferência circunscrita) foram apresentados então. Com o Cinderella estes resultados adquirem um novo interesse. Ao trabalhar com o Cinderella, pode acompanhar por coordenadas e equações respectivas (a um referencial sempre presente) cada passo da construção (Vistas - Texto da Construção) e, se tiver feito a construção com todo o cuidado, pode obter a confirmação de que um dos pontos pertence à recta que passa por dois dos pontos notáveis que a definiu (Vistas - Janela de Informações). Não se trata, nestes casos, de simples constatação visual ou informação para apoiar uma conjectura.
No volume 4(2004) do Forum Geometricorum foram publicados recentemente dois artigos sobre o Teorema de Droz-Farny, a saber:
A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem, de Jean-Louis Ayme e A Projective Generalization of the Droz-Farny Line Theorem, de Jean-Pierre Ehrmann e Floor van Lamoen que me chamaram a atenção para um certo número de resultados que podem ser confirmados através de construções com o Cinderella. Já depois de ter feito algumas construções, e, quando me preparava para publicar as primeiras, encontrei várias construções e animações (applets) com Geometer's SketchPad, Cabri Géomètre e outras aplicações que não reconheço. Há muitos materiais úteis para a sala de aula feitos com essas aplicações (em português também) e delas iremos dando conhecimento por aqui. Aliás, os meus alunos do 11º ano trabalham com o GSP em ambiente de sala de aula, uma vez por semana.

Em 1899, o suiço Arnold Droz-Farny publicou, sem demonstrar, o teorema de que apresentamos o seguinte enunciado apoiado em figura:

Duas rectas perpendiculares que passem pelo ortocentro de um triângulo [ABC], cortam as rectas dos lados em X e X', Y e Y', Z e Z' (como mostra a figura abaixo). Nestas condições, os pontos médios M de [XX'], N de [YY'] e P de [ZZ']são colineares.


[A.A.F.]

Se clicar sobre a figura, tem acesso a uma construção que pode manipular (quer movendo os pontos A,B e C quer movendo Y'X'. Se puder fazer a construção com o seu Cinderella, no seu computador, não se esqueça de abrir desde início o texto da construção e a janela de informações. Quando, ao fim da construção mandar passar uma recta por M e N (por exemplo), a janela de informações confirmará que o ponto P também está sobre MN, isto é, confirmará que M, N e P são colineares.

O artigo do Forum Geometricorum aqui citado em primeiro lugar contempla, para além da demonstração sintética do teorema, uma pequena resenha biográfica de Arnold Droz-Farny. Esperamos também ter chamado a atenção para o Forum Geometricorum. Com uma simples inscrição pode receber gratuitamente informação sobre o que lá vai sendo publicado e pode também gratuitamente carregar os artigos (em.pdf ou .ps)

Forum Geometricorum

Pontos e rectas notáveis de um triângulo

Seguimos uma lição de Puig Adam e fizemos um certo número de construções dinâmicas com o Cinderella.

Veja a lição e faça os exercícios propostos.

Circunferência circunscrita. Circuncentro.
Ortocentro. Um lugar geométrico interessante (ortocentro)
Um resultado de invariância de áreas de triângulos
Circunferência inscrita. Incentro.
Circunferências exinscritas.Exincentros.
Triângulo órtico
Seis pontos notáveis da circunferância circunscrita.
Circunferência dos nove pontos ( de Feuerbach ou de Euler)
Baricentro de um triângulo. Um lugar geométrico (para o baricentro).
Recta de Euler. Recta de Simson.

Da lição de Puig Adam, escolhemos 8 exercícios para propor aos leitores. São eles:

1. Demonstrar que as paralelas a dois lados de um triângulo que passem pelo baricentro dividem o terceiro lado em três partes iguais.
2.Demonstrar que a recta que une o vértice A de um triângulo [ABC] com o incentro I corta a circunferência circunscrita num ponto P equidistante de B, de I e de C.
3. Em que circunstâncias é que os quatro lados de um quadrilátero determinam dois a dois quatro triângulos dos quais as circunferências circunscritas passam por um mesmo ponto M? Enunciar e demonstrar o resultado.
4. Demonstrar que os circuncentros dos quatro triângulos em que um quadrilátero convexo fica dividido pelas suas diagonais são vértices de um paralelogramo.
5. Construir um triângulo de que se conhece um lado e duas medianas
6. Demonstrar que o triângulo dos exincentros é sempre acutângulo.
7. Demonstrar que a recta de Simson relativa ao ponto P está a igual distância de P e do ortocentro H.
8. Construir um triângulo de que se conhecem os pontos médios dos seus lados. E um pentágono? E um heptágono? O que se passa se o polígono tiver um número par de lados?

O que é espantoso é que, apesar de ser um texto muito escondido e perdido, mais de um ano sobre a primeira publicação, Andreia Figueiredo leu-o até ao fim e enviou-nos a resolução de uma parte do oitavo exercício proposto. Até nós o tínhamos esquecido.

Básico - Comparação de áreas

Primeiro.
Construímos um rectângulo [ABCD] e tomámos um ponto E sobre [CD] de modo que o triângulo [AEB] é rectângulo em E.



A figura é feita como uma construção dinâmica que nos permite conjecturar que a área de [AEB] é metade da área de [ABCD]. Podemos mover B ou C sobre a construção para modificar o rectângulo segundo cada uma das dimensões.

É verdade? Sempre? Porquê?

Segundo.
Construímos um rectângulo [ABCD] e tomámos um ponto E do seu interior e de tal modo que o triângulo [AEB] é rectângulo em E.


A figura é feita como construção dinâmica que nos permite conjecturar que a soma das áreas de [AEB] e [CDE] é metade da área de [ABCD]. Podemos mover E sobre a semicircunferência de diâmetro[AB]. E também podemos mover B ou C sobre a construção para modificar o rectângulo segundo cada uma das suas dimensões.

Como exercício simples, propomos que estude e explique as construções geométricas e demonstre a validade da conjectura.

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Os desenhos originais a partir da construção com recurso à Cinderella: