Problema:
Sobre os lados de um triângulo
[ABC] rectângulo em
Â, cujos lados do ângulo recto são
b= (AC) e
c=(AB), construímos, exteriormente ao nosso triângulo
[ABC], os quadrados
[ABNM],
[BCQP],
[ACRS].
Calcule a área do hexágono [MNPQRS] (em função de
c e
a)
A seguir, uma construção (ou ilustração):
@geometrias, 28 de Outubro de 2021, Criado com GeoGebra
E aqui fica a resolução de Mariana Sacchetti:
Interessante neste problema é verificar, tal como no problema anterior (em que o triângulo de partida é equilátero), que os triângulos da figura têm todos a mesma área.
Seja $\angle \alpha = A\hat{B}C \;$
Área de Δ $\;[ABC]\;$ = Área de Δ$\;[ASM]\;$ = $ \displaystyle \frac{b.c}{2} \; $
Área de Δ $\;[NBP]\;$= $\displaystyle\frac{a.c.sen(180° - \alpha)}{2} = $
$=\displaystyle\frac{a.c.sen(\alpha)}{2} = \displaystyle\frac{a.c.\displaystyle\frac{b}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Área de Δ $\;[CQR]\;$= $\displaystyle\frac{a.b.sen(90° + \alpha)}{2} = \displaystyle \frac{a.b.cos(\alpha)}{2} =\displaystyle\frac{a.b.\displaystyle\frac{c}{a}}{2} = \displaystyle\frac{b.c}{2}$
Assim, a área do hexágono [MNPQRS] é:
Área de $\;[MNPQRS] = 4 \times\frac{bc}{2} + a^2 +b^2 + c^2= 2bc+2a^2=2(bc+a^2)$
Como o enunciado pede, em função de
c e
a, aplicando o Teorema de Pitágoras
Área de $\;[MNPQRS] = 2(\sqrt{a^2-c^2} \times c + a^2)$
Cluzel & Robert. La Géometrie et ses applications. Enseignement Technique ;Librairie Delagrave. Paris:1964
