GEOMETRIA

29.9.14

Seis círculos gémeos num retângulo

Problema: Na figura abaixo, cada um de seis círculos é tangente a três outros e quatro deles são também tangentes a um ou dois lados do retângulo que os contém. Determinar as relações entre o raio dos círculos iguais e as dimensões do retângulo.

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Sejam $\;a=MN\;$ e $\;b=NO\;$ as dimensões do retângulo $\;[MNOP]\;$ e tomemos para unidade o diâmetro dos círculos amarelos.
Por simples observação da figura, temos $$\;AB=3, \;AD=1, \; AC=b-1, \;BC= a-1, \; AF=AD=DF=1 \;BE= \displaystyle \frac{5}{2}$$

Como $\;AFD\;$ é equilátero, $\;DE\;$ é a sua altura e, aplicando o Teorema de Pitágoras a $\;ADE,\;$ temos $\;DE^2= AD^2-AE^2,\; BE=\displaystyle \frac{5}{2} \;$ ou seja, $\;DE^2 =1 -(\displaystyle \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} :\; DE=\frac{\sqrt{3}}{2}\;$
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo $\;BED\;$, obtém-se $\;BD^2 = BE^2 + ED^2\;$ ou $\;BD^2= \displaystyle \frac{25}{4}+\frac{3}{4} =\frac{28}{4}: \; BD=\sqrt{7},\;$ e, como $\;BC= BD+DC, \;$ ou $a-1 = \sqrt{7}r+DC, \;$ então $\;DC= a-1-\sqrt{7}$
Aplicando agora o Teorema de Pitágoras aos triângulos $\;ABC\;$ e $\;ACD,\;$ obtemos $$\begin{matrix} (a-1)^2 + (b-1)^2 =9 &\; \wedge \; &\left(a-1-\sqrt{7}\right)^2 +(b-1)^2 =1\\ (a-1)^2 -(a-1-\sqrt{7})^2 =8 &\;\wedge \; & \ldots \\ (a-1)^2 -(a-1)^2 -7 +2(a-1)\sqrt{7}=8 &\; \wedge \;& \ldots \\ 2(a-1)\sqrt{7}=15 &\; \wedge \;&\left(\frac{15\sqrt{7}}{14} -\sqrt{7}\right)^2 +(b-1)^2 =1 \\ a= 1+\frac{15}{2\sqrt{7}} &\;\wedge \; &\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right)^2 +(b-1)^2 =1 \\ \ldots & \; \wedge \; & (b-1)^2 = 1- \frac{1}{28}\\ \ldots & \;\wedge \;& b-1 =\sqrt{\frac{27}{28}}\\ a= 1+\frac{15}{2\sqrt{7}} &\;\wedge \; & b = 1+ \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \;\;\; \; \square \end{matrix} $$ tomando para unidade o diâmetro dos círculos iguais.

em Garcia Capitán, F. J. Resolución de problemas bonitos de Geometría con métodos elementales Priego de Córdoba, 2003 sugerido por António Aurélio Fernandes

24.9.14

Semicircunferência, círculos, triângulos e tangências (II)

Problema: No interior de uma semicircunferência de diâmetro $\;AB\;$ uma circunferência é tangente nos pontos médios do seu diâmetro e do arco da semicircunferência. Há dois círculos, coloridos na imagem, tangentes ás retas que unem A e B com os pontos de interseção da semicircunferência com as tangentes à circunferência, inscrita na semicircunferência, tiradas por $\;A\;$ e por $\;B.\;$ Determinar os raios dos círculos coloridos em função do diâmetro $\;AB\;$ dado.

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Na anterior entrada, vimos algumas relações entre os triângulos da figura e os elementos definidores. Com base na nossa figura, determinámos as posições dos pontos de tangência $\;M, \; N\;$ e os centros $\;J\;$ e de $\;K\;$ . Há várias construções auxiliares que nos apareceram como necessárias às determinações de $\;MJ\;$ e $\;KN\;$ em função de $\;AB.\;$ Não desistimos de tentar resolver esse problema com recurso exclusivo à nossa figura base e a resultados básicos. Mariana Sacchetti apresentou uma resolução, a seguir transcrita aqui.

1.
Começa por lembrar os termos usados: $\;AB=4r, \; AD=AM= 2r, \; OM=r\;$ e da semelhança de triângulos $\;ADE \sim OME\;$ retângulos em $\;D\;$ e $\;M\;$ retira $$\frac{AE}{OE} =\frac{AD}{OM}≈\frac{DE}{ME} = 2,$$ por ser $\;AD=2r\;$ e $\;OM=r.\;$. E a partir destas proporções constantes, retira
$$ \begin{matrix} DE=2ME & \mbox{ou} & r+OE=2ME&& OE=2ME-r & & \ldots& & OE = \frac{5}{3}r\\ &&&\Longleftrightarrow&&\Longleftrightarrow& &\Longleftrightarrow&\\ AE=2OE & \mbox{ou} & 2r+ME=2OE & & 2r+ME =4ME-2r& &3ME=4r&&ME=\frac{4}{3}r \\ \end{matrix} $$ Da semelhança $\;OME \sim HMB\;$ ambos retângulos em $\;M\;$ retira $$\frac{HB}{OE}=\frac{HM}{OM}=\frac{MB}{ME} =\displaystyle\frac{3}{2},$$ por ser $\;MB=2r\;$ e $\; ME=\displaystyle \frac{4r}{3}\;$ (como vimos antes). Assim sendo $\; \displaystyle OE = \frac{5}{3}r,\;$ como vimos antes, e $\; \displaystyle \frac{HB}{OE} = \frac{3}{2},\;$ então $\; HB= \displaystyle \frac{3}{2} \times \frac{5}{3}r ,\;$ $$ HB= \frac{5r}{2}.$$ E, analogamente, por ser $\;OM =r, \;$ e $\;HM=\displaystyle \frac{3}{2}\times r, \;$ $$HM= \frac{3r}{2}.$$
2.
A circunferência $\;(J)\;$ do círculo amarelo está inscrita no triângulo $\;ABH\;$ isósceles ($\;AH=HB = \displaystyle \frac{5r}{2}\;$) de perímetro $2p =AB+BH+HA=4r+ 2\frac{5r}{2}=9r, \;$ cuja área é, por um lado, $$\Delta ABH = \displaystyle\frac{AB\times HM}{2} =\frac{4r \times {3r}{2}}{2} =6r^2$$ e por outro, como produto do seu semiperímetro $\;p = \displaystyle\frac{9r}{2}\;$ pelo raio da circunferência nele inscrita, no caso $\;MJ\;$ $$\Delta ABH = p\times MJ = \frac{9r}{2} MJ$$ de onde se retira, $\;6r^2 =\displaystyle \frac{9r}{2} MJ$ e, finalmente $$MJ= \frac{2r}{3} \;\;\; \mbox{ou}\;\;\; MJ= \frac{AB}{6}. $$
3.
A relação entre os valores de $\;NK\;$ e $\;AB\;$, obtém-se rapidamente da relação anterior e de outra $\;NK = \frac{MJ}{3}\;$ já estabelecida na entrada anterior: $$NK = \frac{MJ}{3}= \frac{\displaystyle\frac{2r}{3}}{3} =\frac{2r}{9} \; \;\; \mbox{ou} \,\;\; NK =\frac{AB}{18} \;\;\; \;\square$$