Problema: Dada uma reta \;a\; construir três circunferências tangentes à reta dada e tangentes duas a duas de que se conhecem os raios \;r_1, \;r_2\; de duas delas.
Os passos da construção podem ser vistos, fazendo variar os valores \;n\; no cursor \; \fbox{n=1, 2, …, 6}
- \fbox{n=1}:\; Apresenta-se a reta \;a\; e segmentos \;r_1, \;r_2\; de comprimentos iguais aos raios de duas circunferências \;(O_1, \;r_1), \;(O_2, \;r_2).\;
- \fbox{n=2}:\; Tomamos a circunferência inscrita em \;(O_1, \;r_1)\; para a qual \;T_1\; é um ponto de \;a :\; O_1T_1 \;\perp\; a \;\wedge\; O_1T_1 =r_1.\;
- \fbox{n=3}:\; Para construir \;(O_2, \;r_2)\; nas condições requeridas temos de determinar os pontos \;O_2, \; T_2\; tais que \;T_2 \in a, T_2O_2\; \perp \;a, \; T_2O_2=r_2, \;O_1O_2=r_1+r_2\;
Analisando o problema resolvido, a posição de \;T_2\; sobre \;a\; relativamente a \;T_1\; é dada por \;T_1T_2 = 2 \sqrt{r_1r_2}\;
Nota: \;\sqrt{r_1r_2}\; é determinado como altura de triângulo retângulo inscrito numa semicircunferência de diâmetro \;r_1+r_2\; por ela dividido nos comprimentos - parcelas). - \fbox{n=4}:\; Esse resultado está bem ilustrado na figura.
Recorrendo a um triângulo \;O_1PO_2\; retângulo em \;P\;, para o qual um dos catetos é \;O_1P = |r_1-r_2|\; e a hipotenusa é \;O_1O_2 = r_1+r_2\;, o outro cateto é \;O_2P = T_1T_2.\;
E assim, pelo Teorema de Pitágoras aplicado a \;O_1PO_2\;, \;T_1T_2 ^2 = (r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2= 4r_1r_2\;, e finalmente \;T_1T_2 =2\times \displaystyle \sqrt{r_1r_2}.\;Fica assim determinada a posição da circunferência \;(O_2, \;r_2)\; tangente a \;a\; e a \;(O_1, \;r_1).\; - \fbox{n=5}:\;\; Para determinar a posição do ponto de tangência a \;a\; - \;T_3\; e raio \;r_3\; de uma circunferência \;( O_3, \;r_3),\;, usamos os resultados anteriores agora aplicados aos pares de circunferências \;\left(( O_1, \;r_1), \;( O_3, \;r_3)\right)\; e \;\left(( O_2, \;r_2), \;( O_3, \;r_3)\right)\;:
\;T_1T_3 = 2\sqrt{r_1r_3}, \;T_2T_3 = 2\sqrt{r_2r_3}.\;
Como terá de ser \;T_1T_2 = T_1T_3 + T_3T_2,\; \;2\sqrt{r_1r_2}=2\sqrt{r_1r_3} + 2\sqrt{r_2r_3}, equivalente a \;\sqrt{r_1r_2}=\sqrt{r_3}(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}), por sua vez equivalente a \frac{1}{\sqrt{r_3}} =\frac{1}{\sqrt{r_1}} + \frac{1}{\sqrt{r_2}}que nos permitem a determinação de segmento de comprimento \;\sqrt{r_3} \;.
Na nossa construção, usamos a construção de \;\sqrt{r}\; como altura do triângulo retângulo de hipotenusa \;r+1\; por ela dividida nestas suas parcelas, e recorremos à inversão (já muitas vezes aplicada na resolução de problemas de construção neste "lugar geométrico")
Nota: O que fazemos para obter \;r_3\; após termos obtido \;\sqrt{r_3}\;? Tomamos um segmento de comprimento 1 sobre uma reta à distância \;\sqrt{r_3}\;. Tiramos por um dos extremos do segmento unitário uma perpendicular a este e marcamos a interseção com a paralela. Tomamos para cateto de um triângulo retângulo o segmento que une esta interseção com o outro extremo do segmento unitário. A reta perpendicular a este cateto vai intersetar a reta do segmento unitário num ponto à distância \;r_3\; do extremo da altura do triângulo de hipotenusa \;1+\sqrt{r_3}\; - \fbox{n=6}:\;\; O centro \;O_3\;pode ser obtido como interseção das circunferências \;(O_1, \;r_1+r_3)\; e\;(O_2, \;r_2+r_3)\;. E a terceira circunferência da solução do problema inicial está bem determinado (com régua e compasso)
© geometrias, 29 de Agosto de 2014, Criado com GeoGebra
