Por um ponto P passa uma reta que corta duas circunferências em cordas iguais

iniciativa de Mariana Sacchetti:
respondendo a Marco Antônio Manetta que comentou em "Resolver um problema de construção usando uma translação"
15/09/2014:
Como seria a resolução se, ao invés de uma reta paralela, fosse dado um ponto (externo às duas circunferências) por onde a reta deve passar e determinar cordas iguais nas duas circunferências
Sejam dadas duas circunferências e um ponto P exterior às duas.
Traçar por P uma reta que determine cordas de igual comprimento em ambas as circunferências.


Clicando passo a passo pode ir seguindo a construção acima
1. Traçar o eixo radical das duas circunferências:
- Traça-se uma circunferência auxiliar que intersete as duas circunferências.
- Traçam-se as retas definidas pelos pontos de interseção da circunferência auxiliar com cada uma das circunferências
- O eixo radical é a reta que passa pelo ponto de interseção das duas retas e é perpendicular à reta dos centros das circunferências
2. Seja $\;M\;$ o ponto médio de $\;[O_{1}O_{2}]\;$
3. Traçar a circunferência de diâmetro $\;[MP]\;$
4. A reta que define nas circunferências cordas com o mesmo comprimento é a reta que passa por $\;P\;$ e o ponto de interseção do eixo radical com a circunferência de diâmetro $\;[MP]\;$ $$\; \overline{𝑄𝑅} = \overline{𝑆𝑇}\;$$

Nota:.........Problema nº 227 proposto no Geometriagon (http://polarprof-001- site1.htempurl.com)

Problemas de Apolónio (continuada)

iniciativa de Mariana Sacchetti:
(3) Círculo tangente a dois pontos e uma reta (PPL)
3.1.) Os dois pontos pertencem à reta ou estão de lados diferentes da reta.
Em ambos as situações não existem soluções.
Uma circunferência que passe pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ ou $\;C\;$ e $\;D\;$ corta sempre a reta em dois pontos. Logo, não é tangente à reta.


3.2.) Um ponto pertence à reta e o outro não

Existe uma solução cujo centro é a interseção da perpendicular à reta em $\;A\;$ e a mediatriz do segmento de reta $\;[AB]\;$
3.3) Os pontos não pertencem à reta e estão do mesmo lado

3.3.1) Os pontos pertencem a uma perpendicular à reta dada.
Nesta situação há duas soluções:
Sendo $\;[AB]\;$ uma corda do círculo pretendido o seu centro situa-se na mediatriz de $\;[AB]\;$ e o seu raio é a distância da linha dos centros à reta dada $\;(𝑀𝐶)$.
Assim, traça-se a circunferência com centro no ponto $\;A\;$ ou no ponto $\;B\;$ e raio $\;𝑀𝐶\;$ que determina na linha dos centros os centros das duas soluções possíveis. Soluções $\;(O_1, MC)\;$ e $\;(O_2, MC)\;$

3.3.2) Os pontos pertencem a uma paralela à reta dada
Esta situação tem 1 solução.

A mediatriz de $\;[AB]\;$ determina na reta dada o ponto de tangência $\;(T)$. Trata-se, então, de desenhar o círculo que passa por 3 pontos

3.3.3) Os pontos estão alinhados numa secante à reta dada
Esta situação tem duas soluções



$\;AB\;$ secante à reta dada, interseta-a em $\;C.\;$ Como $\;T_1\; (T_2)\;$ pertence à reta e é o ponto de tangência da circunferência pretendida, sabemos que:
$\;𝐶𝐴. 𝐶𝐵\; = \;𝐶𝑇^{2} ⟺ 𝐶𝑇 = √{𝐶𝐴. 𝐶𝐵}\; , \;CT_1\;$ é a média geométrica de $\;CA\;$ e $\;CB\; (=CF)\;$. 11 Uma vez determinados os pontos de tangência, basta desenhar a circunferência que passa pelos três pontos $\;A, \;B\;$ e $\;T_1\;$ (ou $\;T_2$).