Problemas de Apolónio (continuada)

iniciativa de Mariana Sacchetti:
(3) Círculo tangente a dois pontos e uma reta (PPL)
3.1.) Os dois pontos pertencem à reta ou estão de lados diferentes da reta.
Em ambos as situações não existem soluções.
Uma circunferência que passe pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ ou $\;C\;$ e $\;D\;$ corta sempre a reta em dois pontos. Logo, não é tangente à reta.


3.2.) Um ponto pertence à reta e o outro não

Existe uma solução cujo centro é a interseção da perpendicular à reta em $\;A\;$ e a mediatriz do segmento de reta $\;[AB]\;$
3.3) Os pontos não pertencem à reta e estão do mesmo lado

3.3.1) Os pontos pertencem a uma perpendicular à reta dada.
Nesta situação há duas soluções:
Sendo $\;[AB]\;$ uma corda do círculo pretendido o seu centro situa-se na mediatriz de $\;[AB]\;$ e o seu raio é a distância da linha dos centros à reta dada $\;(𝑀𝐶)$.
Assim, traça-se a circunferência com centro no ponto $\;A\;$ ou no ponto $\;B\;$ e raio $\;𝑀𝐶\;$ que determina na linha dos centros os centros das duas soluções possíveis. Soluções $\;(O_1, MC)\;$ e $\;(O_2, MC)\;$

3.3.2) Os pontos pertencem a uma paralela à reta dada
Esta situação tem 1 solução.

A mediatriz de $\;[AB]\;$ determina na reta dada o ponto de tangência $\;(T)$. Trata-se, então, de desenhar o círculo que passa por 3 pontos

3.3.3) Os pontos estão alinhados numa secante à reta dada
Esta situação tem duas soluções



$\;AB\;$ secante à reta dada, interseta-a em $\;C.\;$ Como $\;T_1\; (T_2)\;$ pertence à reta e é o ponto de tangência da circunferência pretendida, sabemos que:
$\;𝐶𝐴. 𝐶𝐵\; = \;𝐶𝑇^{2} ⟺ 𝐶𝑇 = √{𝐶𝐴. 𝐶𝐵}\; , \;CT_1\;$ é a média geométrica de $\;CA\;$ e $\;CB\; (=CF)\;$. 11 Uma vez determinados os pontos de tangência, basta desenhar a circunferência que passa pelos três pontos $\;A, \;B\;$ e $\;T_1\;$ (ou $\;T_2$).

Problemas de Apolónio

iniciativa Mariana Sacchetti:
Dadas três coisas, cada uma delas pode ser um ponto, uma reta ou um círculo, traçar um círculo que é tangente a cada uma das três coisas.
Nota: Ser tangente a um ponto significa conter o ponto
Teremos ao todo 10 situações:
(1) 3 pontos (PPP)
(2) 3 retas (LLL)
(3) 2 pontos e1reta (PPL)
(4) 2 retas e 1 ponto (LLP)
(5) 2 pontos e 1 círculo (PPC)
(6) 2 círculos e 1 ponto (CCP)
(7) 2 retas e 1 círculo (LLC)
(8) 2 círculos e 1reta (CCL)
(9) 1 ponto, 1 reta e 1 círculo (PLC)
(10) 3 círculos (CCC)



(1) Círculo tangente a 3 pontos (PPP) (vulgarmente: círculo que passa por 3 pontos)
Este problema não tem solução se os três pontos forem colineares. Caso contrário tem sempre uma única solução

(2) Círculo tangente a três retas (LLL)

1.1. As 3 retas são paralelas ou as três retas são concorrentes no mesmo ponto

Ambas as situações não têm solução


2.2 Duas das retas são paralelas e a terceira é concorrente

Neste caso há duas soluções
Ambas as soluções têm centro na linha média entre as paralelas, interseção com as bissetrizes $\;b_1\;$ e $\;b_2\;$

2.3. As retas são concorrentes duas a duas
Nesta situação há 4 soluções: a circunferência inscrita e as circunferências ex-inscritas ao triângulo que as três retas formam.