Construir um quadrilátero convexo dados os lados e o ângulo de dois lados opostos

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Problema:
São dados quatro segmentos $\;a, \;b,\;c,\;d\;$ e um ângulo $\;\alpha .\;$
Construir um quadrilátero convexo $\;ABCD\;$ tal que $\;AB=a,\;BC=b, \; CD=c, \; DA=d\;$ e $\; \angle \widehat{(AB, CD)} =\alpha.$

Este é um dos problemas para o qual os passos da construção se encontram por análise da figura do problema já resolvido. Se conhecemos o ângulo $\; \angle \widehat{(AB, CD)} =\alpha,$ ao tomarmos um ângulo de vértice num dos pontos $\;A\;$ (ou $\;D\;$) sendo um dos lados do ângulo a reta $\;AB,\;$ (ou $\;DC\;$) o outro lado será uma reta paralela a $\;DC\;$ (ou $\;AB\;$)
Pode seguir os passos da construção, fazendo variar o valor de $\;n\;$ no seletor centrado ao fundo da janela.

©geometrias. 1 março 2016, criado com GeoGebra

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Tomamos um ponto $\;D\;$ qualquer e duas concorrrentes em $\;D\;$ fazendo um ângulo de amplitude $\; \alpha .\;$ Sobre uma dessas retas, tomamos $\;C\;$ na intersecção dela com a circunferência $\;(D, \;c).\;$ Na outra reta podemos tomar $\;F\;$ na sua intersecção com a circunferência $\;(D, a).\;$ Por ser $\; \angle \widehat{(DC, AB)} = \alpha = C\hat{D} F,\; \; \; AB \parallel DF.\;$
$\;B\;$ fica determinado como intersecção das circunferências $\;(F, \;d)\;$ e $\;(C, b)\;$
E $\;A\;$ fica determinado sobre a paralela a $\;DF\;$ tirada por $\;B\;$ à distância $\,a\;$ de $\,B.\;\;\;\;\; \;$ □

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204. Construire un quadrilatère convexe connaissant les quatre côtés et l'angle formé par deux côtés non consécutifs..l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947

Construir circunferências centradas nos vértices de um triângulo e tangentes duas a duas.

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Problema:
É dado um triângulo $\;ABC.\;$ Determinar as 3 circunferências $\;(A,\; r_A), \; (B,\: r_B), \; (C,\; r_C)\;$ tangentes exterioremnte duas a duas.

A figura dinâmica que se apresenta a seguir ilustra o raciocínio (de análise) que suporta a construção e a construção ela mesma.Faça variar o valor de $\;n\;$ no seletor ao fundo da janela de construção.
Começamos por construir o triângulo de vértices $\;A,\;B,\;C\;$ e de lados $\;a=BC, \;b= AC, \; c=AB\;$. Circunferências centradas em $\;A\;$ e $\;B\;$ que sejam tangentes exteriormente têm raios $\;r_A,\;r_B\;$ tais que $\; r_A + r_B = AB = c.\;$ Pelas mesmas razões terá de ser $\; r_A + r_C = AC = b\;$ e $\; r_B + r_C = BC = a.\;$ Por isso, $\; 2r_A + 2r_B + 2r_C =a+b+c.\;$
Tomando um segmento $\;B'B''\;$ de comprimento igual ao perímetro $\;a+b+c\;$ do triângulo e o ponto $\;M\;$ médio de $\;B'B''\;$, sabemos agora que $\;B'M= r_A + r_B + r_C\;$ e, como $\;r_B + r_C = a, \; \; C'M = B'M-a = r_A.$
Conhecido $\;r_A\;$, podemos traçar $\;(A, \; r_A).\;$ que intersecta $\;AB \;$ e $\;AC\;$ nos seus pontos de tangência com as outras duas circunferências □

© geometrias: 3 março 2016, Criado com GeoGebra

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159. Des sommets d'un triangle ABC comme centres, décrire trois circunféences tangentes deux à deux éxterieurement.l
Th. Caronnet. Éxércices de Géométrie. Deuxièmes Livre: La circonférence 5ème édition. Librairie Vuibert. Paris:1947