GEOMETRIA

20.12.15

Problema que precisa da invariância de ângulos por inversão para ser resolvido.

Construir uma circunferência que passe por dois pontos

$\;A, \; B\;$ dados e corte uma reta -

$\;r\;$ - dada segundo um dado ângulo

$\; \alpha .$

O ângulo de uma reta

$\;r\;$ com uma circunferência que a corte num ponto

$\;P\;$ é um ângulo de vértice

$P$ cujos lados são

$r$ e a tangente à circunferência em

$\;P.\;$ Há uma infinidade de circunferências que passsam por

$\;A\;$ e

$\;B\;$ . Precisamos de determinar alguma dessas que cortem

$\;r\;$ segundo o ângulo

$\;\alpha \;$ .

Fazendo variar o valor de

$\;n\;$ no seletor na direita alta da figura, acompanha passo a passo a resolução do problema. Também pode fazer variar a amplitude do ângulo dado deslocando o ponto visível a verde, como pode fazer variar

$\;r, \;A, \;B\;$ com consequências que vão até poder ver em que condições há uma ou nenhuma solução para o problema.… Depois de qualquer alteração, pode usar o botão (direita altíssima) para reiniciar.

$\;\fbox{n=1}\;\;\;\;$ A inversão relativa à circunferência de centro

$\;A\;$ e raio

$\;AB\;$

$\;\fbox{n=2}\;\;\;\;$ transforma a reta

$\;r\;$ numa circunferência

$\;r'\;$

$\;\fbox{n=3}\;\;\;\;$ que passa por

$\;A,\;$ centro da inversão aplicada a

$\;r\;$ .
Como a inversão preserva os ângulos, o problema reduz-se a determinar uma recta que passe por

$\;B\;$ e faça um ângulo

$\;\alpha\;$ com a circunferência

$\,r'\;$ .
As retas que fazem ângulos

$\;\alpha\;$ determinam-se facilmente: Toma-se um ponto

$\;I\;$ genérico de

$\;r'\;$ e a sua tangente nesse ponto

$\;\fbox{n=4}\;\;\;\;;$ A reta que faz um ângulo

$\; \alpha \;$ com cada tangente é uma das retas que procuramos e que no seu conjunto determinam (envolvem) uma circunferência concêntrica com

$\;r'\;$

$\;\fbox{n=5}\;\;\;\;$ lugar geométrico dos pontos médios das cordas determinadas pelas retas que que fazem ângulos

$\; \alpha\;$ com as tangentes em qualquer dos seus extremos.
De entre todas essas retas, interessam-nos aquelas que passam por

$\;B\;$ que são duas delas: as tangentes

$\;t_1, \; t_2\;$ à circunferência de centro

$\;O \;$ e raio

$\;OM\;$ tiradas por

$\;B\;$

$\;\fbox{n=6}\;\;\;\;$ Se aplicarmos a estas retas

$\;t_1, \; t_2\;$ a inversão de centro

$\;A\;$ e raio

$\;AB\;$ as suas transformadas são, respetivamente, as circunferências

$\;c_1, \; c_2\;$ que passam por

$\;A\;$ , centro da inversão, e também por

$\;B\;$ por este ser um ponto da circunferência de inversão (invariante por essa inversão)

$\;\fbox{n=7}\;\;\;\;\;$ A figura final

$\;\fbox{n=8}\;\;\;\;$ só serve para mostrar os dados e as soluções do problema sem mais.

^* Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946.
200. Construire un cercle passant par deux points donnés et coupant une droite donnée sous un angle donné

$\;\alpha$ .

15.12.15

Dobras de um canto com uma dada área são um problema?

Imagine que o primeiro quadrante do plano

$\;Oxy\;$ é um folha de papel gigante.Fixe uma constante

$\;k\;$ e imagine que o canto em

$\;(0,0)\;$ é dobrado para um ponto

$\;P \;$ da folha de tal modo que o triângulo da dobragem tem área

$\;k.\;$ Descreva o conjunto dos pontos que podem ocorrer como

$\;P.\;$

Clique no botão a que chamámos "auxiliares"
Chamamos

$\;Q\;$ e

$\;R\;$ aos dois outros vértices do triângulo da dobragem que leva

$\;O\;$ para

$\;P\;$ . E designamos por

$\;S\;$ o ponto de interseção de

$\;OP\;$ com

$\;RQ\;$ . Como os ângulos em

$\;O\;$ e em

$\;P\;$ são iguais e retos,

$\;RQ\;$ é o diâmetro da circunferência que passa por

$\;Q,\;P,\;R,\;O.\;$

$P$ obtém-se como imagem de

$O$ por uma meia volta em torno de

$\,QR,\;$ ou dito de outro modo, para cada

$\;Q\;$ e cada

$\;R\;$ , há um

$\;P\;$ imagem

$\;O\;$ por simetria de eixo

$\;QR.\;$

$\;OQ=QP, \;OS =SP, \; OR=RP.\;$

© geometrias, 8 dezembro 2015, Criado com GeoGebra

A área do triângulo

$PQR$ é dada por

$\; \displaystyle QR \times \frac{OP}{2}\;$ ou por

$\; \displaystyle \frac{QP\times PR}{2}$ .
Designemos por

$\;(x, y)\;$ as coordenadas cartesianas de

$\;P:\;\; x=OQ, \; y=OR\;$ e por

$\;(\rho, \; \theta\;)\;$ as coordenadas polares de

$\;P:\; \; \rho= OP =2\times SP, \; \theta=\angle Q\hat{O}P.\;$
No caso da nossa construção, atribuímos o valor

$\;3\;$ a

$\;k\;$ e a condição do problema que

$\;P\;$ deve satisfazer é, pelo que vimos,

$\;x\times y = 6.\;$
Como

$\;OS \perp QR \;$ , do triângulo

$\;OSQ\;$ retângulo em

$\;S\;$ , tiramos

$\;\displaystyle \frac{OS}{OQ} = {\rm cos}\; \theta \;$ ou

$\; \displaystyle \frac{\rho}{2}=x.{\rm cos}\; \theta. \;$
Também o triângulo

$\;RSO\;$ é retângulo em

$\;S\;$ e

$\;R\hat{O}S = \displaystyle {\pi \over 2} - \theta\;$ e

$\; \displaystyle \frac{\rho}{2}=y.{\rm cos}\; ({\pi \over 2}-\theta)\;$ ou

$\displaystyle\frac{\rho}{2}=y.{\rm sen}\; \theta . \;$
De

$\;\rho = 2x. {\rm cos} \theta\;$ e

$\;\rho=2.{\rm sen} \theta\;$ podemos concluir que

$\;\rho ^2 = 4xy.{\rm sen}(\theta).{\rm cos}\; \theta\;$ ou, por ser

$\; 2{\rm sen}(\theta).{\rm cos}(\theta) ={\rm sen}(2\theta),\;$ e

$\;xy=2k\;$ (no nosso caso

$\;6\;$ ), podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos

$\;P (\rho, \; \theta)\;$ tais que os triângulos

$\;QPR\;$ de dobragem têm área

$\;k\;$ constante satisfazem a seguinte equação

$\rho ^2 = 4k. {\rm sen}(2\theta)$ que é a equação de uma curva chamada lemniscata (meia lemniscata no nosso caso por serem

$\;x\geq 0 \wedge y\geq 0 \;$ restrições consideradas no enunciado do problema.)

Pode ver o lugar geométrico -- meia lemniscata -- clicando no botão "lugar geométrico dos P" ao fundo direito na figura. E pode deslocar

$\;Q\;$ para ver o ponto

$\;P\;$ descrever a curva desenhada a vermelho. É claro que\, considerado que

$\;P(x, y):\; xy=2k\;$ e deixando livre

$\;Q(x, 0)\;$ o ponto

$\;R (0, y)\;$ é dele dependente:

$\;y=\displaystyle \frac{2k}{x}\;$

$^1\;$ 7. Don't Cut Corners — Fold them Suppose the first quadrant of the x-y plane is a giant sheet of paper. Fix a constant K and imagne that the corner at (0;0) is folded over onto a point P on the sheet in such a way that the triangle folded over has area k. Describe the set of ponts that can occur as P.
Konhauser, J.D.E; Velleman, Dan; Wagon, Stan. Which way did the bicycle go? . and other intriguing mathematical mysteries. Dolciani mathemetical Expositions - o 18, Mathematical Association of America: 1996.