Problema: No interior de uma semicircunferência de diâmetro \;AB\; uma circunferência é tangente nos pontos médios do seu diâmetro e do arco da semicircunferência. Há dois círculos, coloridos na imagem, tangentes ás retas que unem A e B com os pontos de interseção da semicircunferência com as tangentes à circunferência, inscrita na semicircunferência, tiradas por \;A\; e por \;B.\; Determinar os raios dos círculos coloridos em função do diâmetro \;AB\; dado.
Clique no botão de mostrar e ocultar "Auxiliares" para tornar visiveis pontos e segmentos auxiliares e as designações que lhe foram atribuídas para acompanhar a descrição da construção e dos cálculos.
Na anterior entrada, vimos algumas relações entre os triângulos da figura e os elementos definidores. Com base na nossa figura, determinámos as posições dos pontos de tangência \;M, \; N\; e os centros \;J\; e de \;K\; . Há várias construções auxiliares que nos apareceram como necessárias às determinações de \;MJ\; e \;KN\; em função de \;AB.\; Não desistimos de tentar resolver esse problema com recurso exclusivo à nossa figura base e a resultados básicos. Mariana Sacchetti apresentou uma resolução, a seguir transcrita aqui.
© geometrias, 20 de Setembro de 2014, Criado com GeoGebra
Começa por lembrar os termos usados: \;AB=4r, \; AD=AM= 2r, \; OM=r\; e da semelhança de triângulos \;ADE \sim OME\; retângulos em \;D\; e \;M\; retira \frac{AE}{OE} =\frac{AD}{OM}≈\frac{DE}{ME} = 2,
por ser \;AD=2r\; e \;OM=r.\;.
E a partir destas proporções constantes, retira
\begin{matrix} DE=2ME & \mbox{ou} & r+OE=2ME&& OE=2ME-r & & \ldots& & OE = \frac{5}{3}r\\ &&&\Longleftrightarrow&&\Longleftrightarrow& &\Longleftrightarrow&\\ AE=2OE & \mbox{ou} & 2r+ME=2OE & & 2r+ME =4ME-2r& &3ME=4r&&ME=\frac{4}{3}r \\ \end{matrix}
Da semelhança \;OME \sim HMB\; ambos retângulos em \;M\; retira
\frac{HB}{OE}=\frac{HM}{OM}=\frac{MB}{ME} =\displaystyle\frac{3}{2},
por ser \;MB=2r\; e \; ME=\displaystyle \frac{4r}{3}\; (como vimos antes).
Assim sendo \; \displaystyle OE = \frac{5}{3}r,\; como vimos antes, e \; \displaystyle \frac{HB}{OE} = \frac{3}{2},\; então \; HB= \displaystyle \frac{3}{2} \times \frac{5}{3}r ,\;
HB= \frac{5r}{2}.
E, analogamente, por ser \;OM =r, \; e \;HM=\displaystyle \frac{3}{2}\times r, \;
HM= \frac{3r}{2}.
2.
A circunferência \;(J)\; do círculo amarelo está inscrita no triângulo \;ABH\; isósceles (\;AH=HB = \displaystyle \frac{5r}{2}\;) de perímetro 2p =AB+BH+HA=4r+ 2\frac{5r}{2}=9r, \; cuja área é, por um lado, \Delta ABH = \displaystyle\frac{AB\times HM}{2} =\frac{4r \times {3r}{2}}{2} =6r^2
e por outro, como produto do seu semiperímetro \;p = \displaystyle\frac{9r}{2}\; pelo raio da circunferência nele inscrita, no caso \;MJ\;
\Delta ABH = p\times MJ = \frac{9r}{2} MJ
de onde se retira, \;6r^2 =\displaystyle \frac{9r}{2} MJ
e, finalmente
MJ= \frac{2r}{3} \;\;\; \mbox{ou}\;\;\; MJ= \frac{AB}{6}.
3.
A relação entre os valores de \;NK\; e \;AB\;, obtém-se rapidamente da relação anterior e de outra \;NK = \frac{MJ}{3}\; já estabelecida na entrada anterior: NK = \frac{MJ}{3}= \frac{\displaystyle\frac{2r}{3}}{3} =\frac{2r}{9} \; \;\; \mbox{ou} \,\;\; NK =\frac{AB}{18} \;\;\; \;\square
