Resolver problema de construção usando o problema contrário (2)

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Enquanto íamos resolvendo problemas de construção como ilustrações de métodos de demonstração de teoremas de existência na geometria euclidiana, a partir de referências várias (Birkhoff, Eves, Cluzel, Vissio, Puig Adam, etc) António Aurélio foi sempre referindo manuais escolares do seu tempo de escola. Mais recentemente, referia a existência de um título - Métodos Geométricos - e um autor A. Nicodemos. O livro (ou livros) de Nicodemos devem estar guardados na biblioteca da Escola José Estêvão. Mas depois de verificarmos a sua existência no catálogo da Biblioteca Nacional, procurámos, encontrámos e apalpámos dois dos livros das memórias de Aurélio, disponíveis na Biblioteca do Departamento de Matemática da FCT da Universidade de Coimbra, para o que contámos com a ajuda de Jaime Carvalho e Silva.
Um deles é o Compêndio de Geometria de A. Nicodemos, J. Calado, referido na vinheta anterior (de 13/07/2014). O outro resolve o problema do título em memória. Chama-se Métodos Geométricos - Resumo e exercícios resolvidos de António Lôbo Vilela, publicado em 1939, e depósito na Livraria Sá da Costa. Lisboa. Ficamos a saber que Antónoio Lôbo Vilela publicara, antes deste, um volume sobre Métodos da Matemática. Da nota prévia a este volume, retirámos:

"Com a publicação do nosso volume sobre Métodos de Matemática com o intuito de apontar a orientação que nos parece mais conveniente ao ensino da matemática, por ser a única que a pode tornar compreensiva e lhe permite exercer a sua ação educativa. Pretendemos ainda mostrar que a lógica devia ser integrada nos programas de matemática, separando-a da filosofia a que arbitrariamente anda ligada e a deixa murchar, por falta de aplicação e de seiva. A amplitude e o objectivo desse trabalho não nos permitiram descer a certas minúcias de aplicação da metodologia da matemática que têm particular valor didáctico. Por isso nos decidimos agora a publicar este pequeno volume de iniciação,limitando o assunto aos Métodos Geométricos, única parte da metodologia da matemática que os actuais programas exigem, e dando-lhe um cunho mais acentuadamente prático(…)"

Deste manual escolar de António Lôbo Vilela, a propósito do método do problema inverso, citamos

Assim, quando se pretende construir uma figura que satisfaça a certas condições, entre elas a de ser inscrita, por exemplo, numa figura dada, é possível, em geral, desprezando esta condição de inscritibilidade, construir uma figura que satisfaça às restantes condições. Se for mais simples circunscrever a esta figura a figura dada ou uma figura semelhante a ela, há conveniência em empregar o método do problema inverso.

e escolhemos o primeiro dos exemplos que ALV escolheu para ilustrar o recurso ao método do problema inverso:

Problema:

Inscrever, numa circunferência de raio dado, um triângulo isósceles cuja base seja igual à altura

1. No caso é mais fácil resolver o problema contrário do problema proposto. Assim, começamos por desenhar um qualquer triângulo isósceles de altura igual à base e determinar a circunferência a ele circunscrita (que é o mesmo que dizer em que o triângulo está inscrito)
2. Para isso, tomamos um segmento qualquer $\;DE\;$ para base do triângulo isósceles.
3. Para ser isósceles, a reta da altura é a mediatriz da base $\;DE\;$ . Assim se determina o terceiro vértice do triângulos isósceles - circunferência de centro no ponto médio de $\;DE\;$ e raio $\;DE\;$ interseta a mediatriz em dois pontos, qualquer dos dois pode ser $\;F\;$
4. O circuncentro $\;O\;$ de $\;[DEF]\;$ é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados do triângulo e a circunferência a ele circunscrita tem centro $\;O\;$ e raio $\;OD\;$



© geometrias, 16 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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5. Esta circunferência de centro $\;O\;$ e a passar por $\;D,\;E,\;F\;$ é homotética de qualquer outra circunferência. Desenhemos a circunferência $\;(O,\;r)\;$
6. Há uma homotetia de centro $\;O\;$ e razão $\;\displaystyle k=\frac{r}{OD}\;$ que relaciona as duas circunferências e para a qual
   $$\begin{matrix} &\;{\cal{H}}(O, k)\;&&\\ (O,\; OD) & \longrightarrow & (O, \; r)&\\ D & \longmapsto & A:& \;\;\;OA=r=k.OD\\ E & \longmapsto & B.& \;\;\;OB=r=k.OE\\ F & \longmapsto & C:& \;\;\;OC=r=k.OF\\ DE & \longrightarrow & AB :&\;\;\; AB=k.DE\\ EF & \longrightarrow & BC :&\;\;\; BC=k.EF\\ DF & \longrightarrow & AC : &\;\;\; AC=k.DF \\ \end{matrix} $$ de onde se conclui que, por ser $\;DEF\;$ um triângulo isósceles de base igual à altura a ela relativa, $\;ABC\;$ é um triângulo isósceles de base igual à altura a ela relativa inscrito na circunferência $\;(O, \;r)\;$ satisfazendo as condições do problema proposto.

Resolver problemas de construção usando o método do problema contrário

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Em todas as vinhetas publicadas nos últimos meses, apresentamos exemplos de resolução de problemas de construção também como ilustrações de formas de raciocínio e demonstração, métodos muito usados em livros de geometria euclidiana. Em Portugal, raros são os livros escolares que se referem às demonstrações e aos métodos de demonstração com o detalhe das apresentações do passado em que se definiam e classificavam métodos, cada um acompanhado de exemplo e descrição passo a passo o processo de decisão e construção. Pode ser útil a professores e estudantes esta lembrança de apresentação de métodos (?) ilustrados por resoluções de problemas de construção geométrica. Dos livros portugueses do século passado, referimos o Compêndio de Geometria de A. Nicodemos, J. Calado, terceira edição de 1944 pela Livraria Popular Francisco Franco de Lisboa. Começamos pela transcrição do "PROGRAMA OFICIAL (Decreto nº 27:085)" da época.

Breves noções dos métodos geométricos:

• métodos gerais - método analítico, método sintético e de redução ao absurdo;
• métodos particulares - método dos lugares geométricos e método de transformação

que é elucidativa. De qualquer modo, citando o livro escolhido, sabemos que "a natureza do problema indicará qual o método que mais convém à sua resolução", sendo que pode ser necessário o recurso a mais que um método para a resolução de um problema de construção.
Nesse livro introduz-se um "Método do problema contrário", definindo "problema contrário ou inverso de um dado problema" como "aquele que é estabelecido tomando os dados do problema proposto para incógnitas e as incógnitas para dados." E exemplifica com os seguintes exemplos

O problema contrário do problema:

Inscrever um quadrilátero, semelhante a um quadrilátero dado, numa semicircunferência, e de modo que dois dos vértices do quadrilátero existam no diâmetro da semicircunferência.

é

Circunscrever a um quadrilátero dado uma semicircunferência de modo que o diâmetro desta semicircunferência contenha um dos lados do quadrilátero.

(…) Em vez de resolver directamente o problema proposto convém, muitas vezes, resolver primeiro o seu problema contrário, pois a solução deste problema permite determinar a do problema proposto.

Claro que já usámos este método sem lhe fazermos qualquer referência. Por exemplo, a entrada
Resolver um problema de construção usando uma rotação e uma homotetia ,  de 10.5.14, refere-se ao problema
Inscrever um quadrilátero com determinada forma num semicírculo dado, em que um lado específico do quadrilátero inscrito esteja no diâmetro do semicírculo,
como ilustração do método das transformações. No entanto bastará olhar para a resolução para reconhecer que, para inscrevermos o quadrilátero semelhante a um dado no semicírculo dado, começámos por circunscrever o quadrilátero dado numa semicircunferência, antes de usarmos o método das transformações.

O problema que apresentam no livro escolar como ilustração do método do problema contrário é em tudo análogo ao já publicado. Transcrevemos e ilustramos de tal modo que pode resolver, usando a janela de comandos [input], ou pode ver a resolução, passo a passo, fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 6}.\;$

Problema:

Inscrever numa semicircunferência dada um losango semelhante a um losango dado e de modo que dois dos seus vértices consecutivos estejam sobre o diâmetro da circunferência.

Em vez de resolvermos este problema, resolvamos o problema seguinte:

Circunscrever a um losango, semelhante a um losango dado, uma semicircunferência de modo que o seu diâmetro contenha um dos lados do losango.

O problema que acabamos de formular é o problema contrário do problema proposto.
Resolução (problema contrário):

Seja $\;[ABCD]\;$ o losango e $\;AB\;$ o lado existente sobre o diâmetro
Como a semicircunferência deverá passar pelos vértices $\;C, \;D\;$, o seu centro existirá sobre a mediatriz de $\;\overline{CD}.\;$ Por outro lado, como $\;\overline{AB}\;$ está localizado sobre o diâmetro, o centro da circunferência existirá sobre a recta a que pertence $\;\overline{AB}.\;$ Logo o centro da semicircunferência é o ponto $\;O\;$ - intersecção das duas rectas referidas.

© geometrias, 12 de Julho de 2014, Criado com GeoGebra

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Resolução (problema proposto):

Para obtermos agora a solução do problema proposto, bastará tomar o ponto $\;O\;$ como centro de homotetia e transformar homoteticamente a figura obtida, tomando para razão de homotetia $\;\displaystyle \frac{r}{r'},\;$ sendo $\;r\;$ o raio da circunferência dada e $\;r'\;$ o raio da circunferência a que se refere o problema contrário.
Descrevamos então com centro em $\;O\;$ a circunferência de raio dado e determinemos sobre ela os pontos $\;A',\;B',\;C',\;D', \;$ que são homotéticos, respectivamente, de $\;A,\;B,\;C, \;D\;$ relativamente ao ponto $\;O\;$ (duas circunferências concêntricas são homotéticas relativamente ao seu centro).
O quadrilátero $\;[A'B'C'D']\;$ é a solução do problema proposto.