Resolver problema de construção usando a reflexão

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Problema:    Determinar um quadrado tendo dois vértices opostos sobre uma reta dada e os outros dois em duas circunferências dadas

A construção a seguir ilustra a resolução do problema que utiliza o método da anterior entrada.

© geometrias, 3 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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Deslocando o cursor $\;\fbox{n=1, ..., 4}\;$ ao fundo à direita, pode seguir os passos da construção.

1. São dadas uma reta $\;a\;$ e duas circunferências $\;(O_1)\;$ e $\;(O_2)\;$.
2. Um quadrado tem diagonais iguais e perpendiculares que se bissetam mutuamente. Pelas condições do problema, dois vértices opostos estão sobre $\;a\;$ e dos outros dois, um estará sobre $\;(O_1)\;$ e outro sobre $\;(O_2)\;$. Estes últimos estarão sobre uma perpendicular a $\;a\;$ e equidistantes do pé da perpendicular em $\;a\;$ que será o centro do quadrado.
   O método para resolver este problema de determinar dois pontos sobre uma perpendicular a $\;a\;$ equidistantes do pé da perpendicular foi apresentado na entrada anterior. Assim:
   • No caso da nossa figura, refletimos $\;(O_1)\;$ relativamente á reta $\;a\;$. $$\begin{matrix} & {\cal{E}}_a & &\\ (O_1) & \longrightarrow & (O'_1) & \\ A & \longleftarrow & C \in (O_1).(O_2) & \;\;\;\;\; AC \perp a\\ G &\longleftrightarrow &G \in a.AC & \;\;\;\;\; AG =GC\\ \end{matrix} $$
3. Como as diagonais do quadrado são iguais os dois vértices opostos que incidem em $\;a\,$ podem obter-se como interseção de uma circunferência de centro $\;G\;$ que passe por $\;A\;$ com a reta $\;a\;$: $\;B, \;D$
   O quadrado $\;ABCD\;$ é solução do problema.

Resolver um problema de construção usando uma reflexão

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Problema:    Desenhar a perpendicular a uma dada reta que corte duas curvas dadas em pontos equidistantes do pé da perpendicular na reta dada

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 2 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando no botão Resolução ao fundo à direita, pode ver a construção da solução.

1. São dadas uma reta $\;a\;$ e duas curvas  -   uma elipse $\;e\;$ e uma parábola $\;p\;$.
2. O método para resolver este tipo de problemas consiste em refletir uma das curvas relativamente à reta dada. No nosso caso, optámos por refletir $\;e\;$ relativamente á reta $\;a\;$.
   E, no caso da nossa figura, $$\begin{matrix} & {\cal{E}}_a & &\\ e & \longrightarrow & e' & \\ K & \longleftarrow & I \in e'.p & \;\;\;\;\; IK \perp a\\ I_0 &\longleftrightarrow & I_0 \in a.IK & \;\;\;\;\; II_0 =I_0K\\ L & \longleftarrow & J \in e'.p & \;\;\;\;\; JL \perp a \\ J_0 & \longleftrightarrow & J_0 \in a.JL & \;\;\;\;\; JJ_0 =J_0L\\ \end{matrix} $$
3. Determinámos assim os pontos $\;I \in p,\;\; K \in e\;$ sobre uma perpendicular a $\;a\;$ que, sendo correspondentes pela reflexão de eixo $\;a\;$, estão a igual distância do pé $\;I_0\;$ da perpendicular $\;I K\;$ em $\;a$:    a recta $\;IK\;$ é solução do problema.
   No caso da nossa construção, também a reta $\;JL\;$ é solução do problema.