Resolver um problema de construção usando uma meia volta

Problema: Determinar a reta que, passando por um dos pontos de interseção de duas circunferências dadas, nestas determina duas cordas iguais.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 27 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando sobre o botão Resolução (direita ao fundo) pode ver a resolução.

1. As duas circunferências dadas, $(A)$ e $(B)$, intersetam-se em dois pontos, correspondendo às condições da hipótese do problema.
2. Escolhemos um pontos de interseção $I$, no caso da nossa resolução e a transformação de meia volta nele centrada. A transformada de uma das circunferências dadas, $(A)$ na nossa resolução, é uma circunferência $(A')$ que interseta a circunferência no ponto $I$, centro da meia volta e fixo para ela, e num outro ponto $J$.
3. A reta $IJ$ é solução do problema

Há outras soluções, claro. Podíamos ter tomado para centro da meia volta o outro ponto de interseção das circunferências dadas. A mais óbvia e imediata solução seria a reta que passa pelos pontos de interseção das circunferências dadas.

Resolver um problema de construção usando uma translação

Problema:
Determinar uma reta de direção dada que determina cordas iguais em duas circunferências $(O_1)$ e $(O_2)$ dadas.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.

© geometrias, 23 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando sobre o botão Resolução (direita ao fundo) pode ver a resolução:

1. A translação transforma uma circunferência numa outra circunferência congruente à primeira, sendo que cada corda da primeira é transformada em corda da segunda, de igual comprimento.
2. Para resolver o problema apresentado, bastará efetuar a translação de uma das circunferências segundo um vetor com a direção dada:
   • Tirem-se por $\;O_1\;$ e $\;O_2\;$ perpendiculares à direção dada e logo uma paralela por $\;O_1\;$ (podia ser por $\;O_2\;$) que interseta a perpendicular que passa por $\;O_2\;$ em $\;E\;$. E tome-se o vetor $\;\;\overrightarrow{O_1E}\;$ para vetor da translação.
   • A circunferência $\;(E)\;$ é a imagem de $\;(O_1)\;$ pela translação $\;\;\displaystyle \cal{T}_{\overrightarrow{O_1E}}\;$ , no caso da nossa figura
3. Podia não haver solução, mas na direção dada e n o caso da nossa figura, $\;(E).(O_2) ={F,G}\;$ sendo $\;FG\;$ uma corda comum às duas circunferências $\;(E), (O_2)$. $\;\;FG$ é imagem de uma corda $\;F'G'\;$ de $\;O_1\;$ por $\;\displaystyle \cal{T}_{\overrightarrow{O_1E}}$

Claro que pode não haver solução. Pode deslocar os dados azuis, direção e circunferências, para ver o que se passa em diversas situações.