Notas sobre configurações e dualidade

No plano, consideramos pontos e retas, sendo as retas conjuntos de pontos. Claro que já tratámos de conjuntos de pontos e retas. Para cada um desses conjuntos terá interesse saber 4 números: o número de pontos e o número de retas, o número de retas que passa por cada um dos pontos e o número de pontos que pertencem a cada uma das retas.
Por exemplo, um quadrilátero pode ser um conjunto de 4 pontos e 6 retas, sendo que por cada um dos 4 pontos passam 3 retas e cada uma das 6 retas passa por 2 pontos. Descrevemos o quadrilátero completo como sendo uma configuração (4₃, 6₂). Claro que um quadrilátero completo também pode ser definido com uma configuração (6₂, 4₃), 6 pontos com 2 retas a passar por cada um deles e 4 retas com 3 pontos a incidir em cada uma delas. Estas duas configurações são duais.
Numa configuração auto-dual o número de retas é igual ao número de pontos e o número de pontos de cada uma das retas é igual ao número de retas a incidir em cada ponto. Por exemplo o triângulo tem a seguinte configuração (3₂, 3₂) nas duas definições duais.
A configuração de Desargues também é autodual, exatamente (10₃, 10₃), como se pode ver:
A,B,C, A',B',C', O(=AA'.BB'=AA'.CC'=BB'.CC'), I(=AB.A'B'),J(=AC.A'C'),K(=BC.B'C') - 10 pontos
IAB, IA'B', JAC, JA'C', KBC, KB'C', OAA', OBB', OCC', IJK - 10 retas
Por cada ponto 3 retas, em cada reta 3 pontos.

Dualidade na geometria projetiva plana.

Com o Princípio da Dualidade afirmamos que, na geometria projetiva do plano, qualquer definição se mantém com significado e cada teorema continua a ser verdadeiro, quando trocamos as palavras ponto por reta e reta por ponto (e consequentemente também certos pares de palavras tais como intersetam-se em e passam por, colinear e concorrente, vértice e lado, etc. Por exemplo, o dual do ponto AB.CD é a reta (a.b)(c.d) que explicita que simbolicamente não só trocamos maiúsculas por minúsculas como temos de remover pontos (com o significado de interseção) onde estão presentes ou de os inserir onde estão ausentes.

Já várias vezes referimos e utilizámos o princípio da dualidade quando, por exemplo, definimos

1. triângulo como conjunto de 3 pontos A,B,C e de 3 retas AB, AC,BC e, dualmente, como conjunto de 3 retas a, b, c e dos 3 pontos a.b, a.c, b.c (figura autodual)



2. quadrilátero completo como conjunto de 4 pontos A,B,C,D e de 6 retas AB,AC,AD,BC,BD,CD (com três pontos diagonais) e, dualmente, como conjunto de 4 retas a,b,c,d e 6 pontos a.b, a.c, a.d, b.c, b.d, c.d (com 3 retas diagonais).
   
   
3. teorema de Desargues e seu recíproco (ou dual?)

Claro que todos os axiomas para o plano projetivo implicam os seus duais. Depois de usar os axiomas e as suas consequências para provar um determinado teorema, podemos imediatamente afirmar o teorema dual.
Uma demonstração do teorema dual pode ser escrita automaticamente dualizando cada passo da demonstração do teorema original. No plano. (Há teoremas cuja demonstração não pode ser feita assim. A demonstração do recíproco do teorema de Desargues é um caso desses por ser tridimensional. Para evitar isso é que tomámos o Teorema de Desargues como axioma e deduzimos o seu recíproco no plano e sem apelar ao princípio da dualidade).
Este princípio da dualidade torna muito atrativa a Geometria Projetiva, pela simetria e, principalmente, pela economia. Ter demonstrado 10 teoremas significa afinal ter demonstrado 20