Circunferência dos 9 pontos como lugar geométrico

Do trabalho de Paul Yu, citado na entrada anterior, retivemos ainda uma outra pergunta:

Quando um ponto P percorre a circunferência circunscrita de um triângulo ABC de ortocentro H, onde está o ponto médio de PH?



A resposta é: quando P percorre a circunferência circunscrita, M percorre a circunferência de 9 pontos (dito, de outro modo, a circunferência de 9 pontos é o lugar geométrico dos pontos médios de PH).
Porquê?

Triângulos com circuncentro na circunferência inscrita?

Uma das perguntas de Paul Yu, em "Introduction to the Geometryof the Triangle" (Florida Atlantic University: 2001) que fizémos a nós mesmos (AAF, AM & MIS), numa destas quintas geométricas era qualquer coisa como: Quais são os triângulos que têm o circuncentro na circunferência inscrita?. Na altura, respondemos com os cálculos mais óbvios, uma construção (em geogebra) e os espantos do costume. E deixámos para mais tarde essa e mais duas outras respostas (as construções já foram feitas ou meio desfeitas-AF (ou meias-desfeitas?:-))
Hoje, passados uns dias, recebemos de manhã o estudo de MS (construções em CaRmetal*.zir) que não resistimos a publicar como prenda de domingo. Muito cuidadosamente, ela escreve muito mais que uma resposta à pergunta. Assim:

1. Porisma - difícil de definir- mas que contem de certa forma o conceito de corolário
2. Porisma - de uma maneira simples mas perceptível - é uma situação que ou não tem soluções ou tem uma infinidade de soluções
3. Porisma de Poncelet - Sejam dois círculos C₁ e C₂, C₂ interior a C₁. Por um ponto P de C₁ tire-se uma tangente a C₂ que intersecta C₁ noutro ponto a partir do qual se tira nova tangente a C₁ e assim sucessivamente. Forma-se assim uma linha poligonal.
   
   Se essa linha poligonal fechar, fechará (com a mesma dimensão) qualquer que seja o ponto P de partida de C₁. Se não fechar, não fechará para nenhum ponto de C₁
4. Polígonos que se formam nestas condições chamam -se polígonos bicentricos(têm incentro e circuncentro)
5. Todo o triângulo é bicentrico
6. Voltemos ao porisma de Poncelet para o caso em que a linha poligonal fecha e tem dimensão 3 - triângulos. Existe assim uma infinidade de triângulos com o mesmo circuncentro e incentro e que se chamam triângulos poristicos - Entrada no blogue em 7.05.09 (ex. interactivo)
7. Que condições se têm que verificar para haver uma infinidade de soluções - a relação de Euler - OI²= R(R-2r) ou OI é a média geométrica entre R e R-2r
8. Caso o circuncentro (O) esteja sobre o incírculo:
   
   1. R=r(1+√t2)
   2. O lugar geométrico dos ortocentros (H) dos triângulos poristas (nesta condição) é uma circumferência com centro sobre OI , tangente ao circuncírculo e de raio R-2r