Inversão

Com os alunos do 8º ano, experimentei a compreensão de alguns procedimentos para efectuar, com régua e compasso, construções geométricas sobre segmentos correspondentes a operações sobre números. Escolhido um segmento para unidade, e dados segmentos de comprimentos a e b, quaisquer, não aparecia como fácil a determinação de um segmento correspondente ao comprimento ab e menos ainda os correspondentes aos comprimentos a/b, 1/a, a_2>, etc. Na altura, tal era pedido depois de termos cuidado das semelhanças de triângulos e os raciocínios usavam só a proporcionalidade entre segmentos determinados por feixes de rectas concorrentes cortadas por paralelas. Parece que não há qualquer problema em determinar 2a em linha nem em compreender o que significa ab, a₂ ou a(b+c) em termos de áreas, mas já tudo se complica quando se pede um segmento igual a 2a/3, ab, etc. Parece que não é assumida a sistemática comparação entre segmentos quando se fala em medida de um comprimento relativamente a outro.
No 9º ano, vamos poder voltar às operações sobre segmentos, agora com recurso sistemático a circunferência e tangentes tiradas por um ponto, sem acrescentar muito ao que se sabe sobre triângulos. Será que a compreensão aumenta? Estas dificuldades devem estar todas resolvidas quando entramos na geometria analítica como tal. Por exemplo, sobre a construção que se apresenta a seguir, está desenhada uma circunferência de raio 3 e as tangentes tiradas por um ponto P (que pode deslocar), um ponto P' (da polar de P relativamente à circunferência e colinear com O e P), define o segmento [OP'] cujo comprimento é o inverso do comprimento de [OP] se tomarmos como unidade o raio da circunferência.

[A.A.F.]
A transformação associada à circunferência dada que a cada P faz corresponder P' (e reciprocamente) nas condições da construção dada, toma naturalmente o nome de inversão relativamente à circunferência. Este é outro exemplo, para aprofundar e melhorar o conceito de medida, permitindo realizar exercícios geométricos muito atractivos geometricamente. Valerá a pena?

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No mundo do ATRACTOR há uma máquina muito potente que efectua inversões. Pode usar livremente.

Borel, 119

No livro Algèbre, programme de 1925. Borel,É; Montel; P. , Lib. Armand Colin. Paris:1926 , como um caso em que as propriedades do trinómio intervêm na discussão, é apresentado o Problema V: Um triângulo e um quadrado têm as suas bases sobre uma recta r e estão num mesmo semiplano dos definidos por ela. Determinar a recta r' paralela a r que corte os dois polígonos e de tal modo que a soma das partes dos polígonos fora da faixa entre r e r' seja equivalente ao triângulo [ABC]. (adaptado)



Determinar     x     tal que         área_[AB'C'] + área_[DE'F'G] = área_[ABC].

Aqui estamos mais à espera de uma resolução geométrica que seja simples.

Mas será possível esperar que algum estudante português dos ensinos básico ou secundário reuna condições e interesse para realizar este trabalho proposto; desde encontrar os binómios interessantes até discutir a existência das soluções?