das estrelas de cinco bicos diremos um radiano para todas elas ?

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Na nossa contrução dinâmica que se segue, os pontos $\;A,\;B, \;C, \;D, \;E\;$ podem ser deslocados de tal modo que os ângulos agudos $$\;\alpha\;= \angle C\hat{A}D,\;\beta\;= \angle D\hat{B}E, \;\gamma\;=\; \angle E\hat{C}A, \; \delta \;=\; \angle A\hat{D}B; \;\epsilon\;=\;\angle B\hat{E}C \;$$ tomem várias amplitudes.
Atente nos valores em radianos de cada uma das amplitudes dos ângulos da figura e da soma dessas amplitudes. E, basta deslocar um ponto ou vários para obter novas amplitudes dos ângulos.
E a soma das amplitudes varia ou é invariante?
$\;\Pi\;?$ para provar.

AB D C - a olhar para o esquecido!

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Na construção que se segue:

1. $\;A, \;B\;$? - livres. Pode deslocá-los - "$\;c=[AB]\;$?"
   
Um ponto $\;D\;$ toma qualquer posição de $\;[AB]\;$ e toma-se perpendicular a [AB] por $\;D.\;$ E um ponto qualquer $\;C\;$ dessa perpendicular é tomado como o terceiro vértice de triângulo $\;\Delta [ABC]\;$ de lados $\;a=[BC],\; b=[CA]\;$.... e $\;c=[AB],\;$ como já sabemos.

2. Podia ter sido escolhido $\;a,\;$ ou $\;b\;$, mas o ponto $\;E\;$ é o que poderá tomar qualquer posição de $\;b\;$ na nossa construção.
   
3. Lembramo-nos que cada terno de pontos determinam uma circunferência e podemos falar da circunferência

E?

A circunferência $\;(FCE)\;$ terá forçosamente um centro $\;O\;$ equidistante dos pontos $\;F,\; C,\;E :\;$
$\;OF\;=\;OC\;=\;OE\;$.....
...onde estará o centro $\;O\;$?.......

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(ABC) e [ABC], [AO] e [AH], OÂC e BÂH

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A construção apresentada é dinâmica e pode escolher posiões para alguns pontos e verificar (e demonstrar) invariâncias ....

um triângulo ABC, um novo ponto por cada lado DEF e circunferências (BDF) e (FEA)...

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Considerámos os triângulos de vértices $\;[A, \;B, \; C]\;$ que podem tomar posições diversas. Claro que em cada lado destes triângulos podemos considerar um ponto como mostra a figura: $\;D\;$ no lado $\;BC\;$, $\;E\;$ em $\;CA\;$ e $\;F\;$ em $\;AB\;$ de que podemos mudar as suas posições. Cada um dos ternos de tais pontos determina uma circunferência, por exemplo $\;(BDF)\;$ e $\;(FEA)\;$ que se intersectam em $\;H\;$. A nossa construção mostra-nos que...

uma circunferência, tangência num ponto e um triângulo

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Tomamos uma circunferência e dois pontos que podem estar em qualquer posição dela: Um deles $\;,A, \;$ é tomado como ponto de tangência e dessa tangente tomamos a perpendicular em $\;A;$ que fica dependente da posição de $\;A\;$ e intersecta a circunferência em $\;B.\;$ Um terceiro ponto $\; C\;$ pode tomar várias posições. Interessam-nos as consequências das diversas variações.....

o ponto na circunferência como vértice de ângulos

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Apresenta-se na figura seguinte uma circunferência e nela um ponto $\;V\;$ que pode tomar quaisquer situações na circunferência. Considerando $\;V\;$ vértice de algum ângulo de lados $\;VC\;$ e $\;VD\;$ tomando $\;C\;$ e $\;D\;$ quaisquer posições da circunferência.
Apresentamos ainda a bissectriz de cada ângulo $\,C\hat{V}D\;$

(4 )vértices de ângulos em circunferência

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Apresentamos a seguir círcunferência que se pode manter a mesma se deslocarmos o ponto $\;A\;$ e outra diferente se deslocarmos $\;B\;$
Os pares de segmentos de recta
$\; CA, \;AD, \:DB, \;BC\;$ e os ângulos $\;B\hat{A}C\;$ e $\;C\hat{B}D\;$ dados de valores das amplitudes desses ângulos sugerem que a somas da suas amplitudes $\;C\hat{A}D\; + \;D\hat{B}C\;$ correspondem a um semicírculo,
O mesmo acontece com o outro par de ângulos de vértices $\;C\;$ e $\;D.\;$