de uma colinearidade a outra e etc.

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Consideremos três pontos colineares A, B, C incidentes na reta r (podem tomar diversas posições) e dois semicírculos: um - c - de diâmetro AB e outro - d - de diâmetro AC ambos num dos dois semiplanos determinados por r.
Seja D o ponto médio do segmento BC: BD=DC; e, tiradas por D,

• a perpendicular a r - p - que intersecta d em E,
• e a tangente a c - t - sendo F o ponto de tangência.

Finalmente, considerámos a reta i determinada por A e F. A nossa figura leva-nos a conjecturar que

1. os segmentos DF da tangente t e DE da perpendicular a r são geometricamente iguais
2. o ponto E incide na recta i=AF, ou seja, A, E e F são colineares.

Pode demonstrar.

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Cluzel, R. et Robert, J-P.   La Géométrie et ses applications  Lib. Delagrave, Paris.1964 - p. 136, ...

um ângulo e um lugar geométrico

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O problema de procurar um certo lugar geométrico :
Dado foi um ângulo xOy. Disseram-nos para deixarmos à solta no lado Ox um ponto P e que um outro ponto devia ser tal que PO+ON fosse Konstante:-). Assim fizemos.
Mais tarde perguntaram-nos por onde andaria o ponto M médio entre P e N quando P passeasse por onde pudesse (pelo lado Ox).

Para a nossa construção, que apresentamos a seguir, considerámos a constante 10 (= NO + OP, sendo NO = 10- OP e N na intersecção da circunferência de centro O e raio 10-OP).

Pode deslocar o ponto P em Ox e acompanhar o comportamento dos restantes pontos que dependem da posição de P: N e M. Confirmará (ou poderá conjecturar) que o ponto M tomará posições em linha recta e deixando um rasto. O lugar geométrico reduz-se a um segmento de recta que talvez lhe interesse algebricamente...(pode também clicar no botão de animação de M na janela de visualização que se encontra ao fundo esquerdo. Como quiser.

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Cluzel, R. et Robert, J-P.   La Géométrie et ses applications  Lib. Delagrave, Paris.1964 - p. 132, ...

Com a intersecçao de dois lugares geométricos, resolve-se.....

... com N(orte)

Problema de construção:
Consideremos um ângulo xOy de lados Ox e Oy e um ponto A de Oy. E determinemos um ponto M do segmento OA tal que o pé P da perpendicular a Ox tirada por M esteja a uma distância de O igual à distância de M a A, isto é AM = PO.

Os passos da construção feita podem ser vistas seguindo a ordem da sucessão de valores no cursor

n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (na figura dinâmica que se segue).

n=0:    Dado ângulo xOy
n=1:     O ponto A de Oy dado.


n=2:     Apresenta-se uma perpendicular a Ox tirada por A
n=3:     e, de seguida, a bissectriz do ângulo xOy que, intersectada com a perpendicular a Ox, nos dá um ponto N e, a passar por ele, uma paralela a Oy.
n=4:     que intersectada com Ox nos dá P e
n=5:     e por ele tirar a perpendicular a Ox cuja intersecção com Oy nos dá o ponto M de OA que perseguiamos e nos apareceu como vértice de um paralelogramo PNAM e nos obriga a pensar em lados paralelos entre paralelas: NA=MP e PN=MA.
n=6:    Para verificarmos a bondade desta construção, basta tirarmos por N a paralela a Ox que intersecta OY em Q que o quarto vértice de um losango OPNQ que tem como diagonal ON que confirma N como bem determinado sobre a bissectriz.

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Cluzel, R. et Robert, J-P.   La Géométrie et ses applications  Lib. Delagrave, Paris.1964 - p. 131, ...

o mesmo do mesmo

Problema de construção restaurado de 2005

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Dados um rectângulo [ABCD], definido por dois segmentos de recta - a e b - e uma circunferência de centro O, pede-se a construção de um rectângulo inscrito na circunferência que seja semelhante ao dado.

[M.S.]&[A.A.F.]
Notas de resolução:
1- Com centro em O desenhei circunferências de raios a e b que me permitiu desenhar o rectângulo [GPQR] que é semelhante ao dado de razão 2
2- Desenhei as suas diagonais (todos os rectângulos com vértices nas diagonais são semelhantes ao dado, ou não? não estou a fazer homotetias?)
3- Os pontos de intersecção das diagonais com a circunferência são os vértices do rectângulo inscrito e semelhante ao dado.

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Ver: 28.9.05: Básico - Pequeno desafio.

de alguns dados até um triângulo isósceles ....

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Problema:
Construir um triângulo [ABC], isósceles - |AB|=|AC| - de que se conhece o ângulo BÂC e a soma dos comprimentos da base |BC| e da altura relativa a [BC] (tirada por A).

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São dados:

• - o segmento s cujo comprimento é a soma da base com a altura (pode fazer variar o comprimento de s)
• - o ângulo de vértice A com lados c₁ e c₂.

[A.A.F]
• Tracemos a bissetriz do ângulo de vértice em A e, sobre ela, o segmento AE de comprimento igual ao de s.
• Por E tracemos uma paralela a c₂ e por A uma perpendicular a AE. O segmento AF tem comprimento igual ao da base BC do triângulo. Logo a interseção de AF com c₁ é o vértice B. (Note que AFBC é um paralelogramo).

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Este problema foi abordado numa entrada de 10/10/2005 e agora reencontrado e restaurado.