Circuncentros O, OA,OB e OC de um triângulo ABC e seus flancos

Numa entrada Os flancos de um triângulo... de 18/10/2019

1. a partir de um triângulo [ABC] de lados a=BC, b=CA e c=AB,
2. construiram-se quadrados - a², b² e c² - sobre os seus lados, a saber: a -> [BA_bA_cC], b -> [CB_cB_aA] e c -> [AC_aC_bB] e finalmente
3. os triângulos [AB_aC_b], [BC_bA_b], [CA_cB_c] a que chamamos flancos de [ABC]

Então, usando rotações, Lamoen provava que os três triângulos flancos de [ABC] eram equivalentes entre si (têm a mesma área)

Nesta entrada, consideramos o triângulo [O_AO_BO_C] cujos vértices são os circuncentros dos triângulos flancos de [ABC].

• Como o circuncentro O de [ABC] é a intersecção das mediatrizes dos lados a=BC, b=CA e c=BA, o triângulo [O_AO_BO_C] é homotético a [ABC] sendo BC paralela a O_BO_C, CA paralela a O_CO_A e AB paralela a O_AO_B e as mediatrizes cortam a meio dos lados dos quadrados correspondentes: a² -> [BA_bA_cC], b² -> [CB_cB_aA] e c² -> [AC_aC_bB]. Assim, as distâncias de cada um dos lados a, b, c de [ABC] a cada um dos correspondentes lados de [O_AO_BO_C] é a/2 , b/2 e c/2.

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Floor van Lamoen, Friendship Among Triangle Centers. Forum Geometricorum (Volume 1 (2001) 1-6), Editor: Paul Yiu.

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