GEOMETRIA : novembro 2018

26.11.18

Epiciclóide(5/1)

Nesta entrada, consideramos duas circunferências de raios

$\;r\;$ e

$\;s\;$ com centros, respetivamente, em

$\;A\;$ e

$\;C,\;$ e tangentes em

$\;B:\; \;\; (A,\;r), \;(C,\;s)\;$ - sendo

$\;r=5 \times s\;$ ou

$\;s= \displaystyle \frac{r}{5}\;$ .
Um ponto que faça uma volta completa em torno de

$\;A\;$ pela circunferência

$\;(A, \;r)\;$ faz um percurso de comprimento

$\;2\times \pi\times r.\;$
Se considerarmos que é a circunferência

$\;(C, \;s)\;$ que rola, sem arrastamento, tangencialmente a

$\;(A, \;r)\;$ uma volta inteira, de pontos de tangência, ocupará um arco

$\;2\pi r.\;$ E, sendo

$\;B\;$ a posição de tangência na partida para a aventura de tal volta, ele tomará posições

$\;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B)\;$ enquanto, nas condições do problema de rolamento sem arrastamento, o ponto

$\;B,\;$ como ponto fixo de

$\;(C, \;s)\;$ terá de tomar posições reais

$\;T'\;$ em posições

$\;(C',\;T)\;$ obtidas por

$\; \mbox{Rot}_A^\alpha(B')\;$ sobre esta, só voltando a ser ponto de tangência a cada volta completa, isto é, quando

$\;T'= \mbox{Rot}_{C'}^{2n\pi s}(B) \;\;\; n=1,2,3, ...\;$ coincidir com uma das posições

$\;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B) .\;$ Este ponto

$\;T'\;$ do qual procuramos saber o seu lugar geométrico quando

$\; \alpha\;$ toma valores de

$\; [0, n\pi ]\;$ em radianos (com

$\;n\;$ natural ), também pode ser obtido por uma rotação do ponto

$\;B\;$ de ângulo

$\; \alpha\;$ em torno de

$\;A\;$ seguida de uma rotação de ângulo

$\;r\alpha / s \;$ em torno de

$\; C' = \mbox{Rot}_A^\alpha (C)\;$
Para cada

$\; \alpha , \;$ o arco de

$\;(A,\;r),\; \;\; \widehat{BAT}=r \times \angle B\hat{A}T\;$ ou seja tem comprimento

$\; r\times \alpha.\;$ Ao fim da primeira volta de

$\;(C, \;s) \;$ , a posição

$\;B'\;$ é tal que o comprimento do arco

$\;\widehat{BCB'} =2 \times \pi \times s = \displaystyle\frac{2 \pi r}{5}\;$ coincidirá com uma posição

$\;T_\alpha\;$ em que

$\;\alpha =\displaystyle \frac{2\pi}{5}.\;$
São precisas cinco voltas completas de

$\;(C,\;s)\;$ para que a posição

$\;T\;$ coincida com a posição inicial

$\;B.\;$

Por ser

$\;s = \displaystyle\frac{r}{5},\;$ ao dar uma volta completa de

$\;(C,\;s),\;\;\; T'\;$ percorre um comprimento

$\;2\pi s = \displaystyle 2\pi \frac{r}{5}.\;$ É claro que

$\;T',\;$ ao tomar todas as posições pontos de

$\;(C, s]\;$ no seu rolamento a partir de

$\;B,\;$ os pontos

$\;T\;$ de tangência passam pela quinta parte da circunferência

$\;(A,\;r).\;$ E, só ao fim de cinco voltas, é que

$\;T'\;$ que, depois de partir da posição

$\;B\;$ , a ela volta:
Cinco pétalas, cada uma partilhando um ponto em comum com a contígua, com a roda que rola e com a roda carril.

20.11.18

E se for a roda maior a rolar tangente à menor…

A entrada anterior sugeriu-nos esta com naturalidade.
Não é preciso fazer qualquer raciocínio novo. A roda de centro

$\;A\;$ tem raio

$\;1,5\;$ é tangente (em

$\;B\;$ ) à roda de centro

$\;C\;$ que tem raio

$\;3.\;$ Mostramos ainda o ponto

$\;D,\;$ extemidade do diâmetro de

$\;(C, 3)\;$ oposta a

$\;B.\;$ Já sabemos que a uma rotação de

$\;B\;$ em torno de

$\;A\;$ de um ângulo de amplitude

$\;\alpha\;$ radianos corresponde um arco de

$\;(A)\;$ de comprimento

$\;1,5 \times \alpha\;$ em que incidem os pontos de tangência das duas rodas dadas quando

$\;(C)\;$ vai rolando (assumindo as posições

$\;(C')\;$ imagens de

$\;(C)\;$ pelas rotações de ângulos entre

$\;B\;$ - ângulo

$\;0\;$ - e

$\;T\;$ - amplitude de

$\;alpha\;$ -) que no rolamento sem arrastamento é igual em comprimento a um arco de

$\;(C)\;$ -

$\; 1,5 \times \alpha= \frac{1}{2}(3 \times \alpha)\;$ Por ser

$\widehat{BCB'}=\widehat{BAT}=\widehat{TC'T'}\;$ em que

$T'$ é um representante das posições do ponto

$\;B\;$ considerado fixo em

$\;(C)\;$ tomado inicialmente cuja trajectória nos interessa.

Quando

$\;(C)\;$ roda em torno de

$\;A\;$ tangente a

$\;(A)\;$ de uma volta completa

$\; 0 \leq \alpha \leq 2\pi \;$ os pontos

$\;T'\;$ são posições assumidas numa semicircunferência de

$\;(C)\;$ ou seja começando em

$\;B\;$ chegam a

$\;D\;$ após a volta completa de rolamento em torno de

$\;(A).\;$ Seria precisa mais uma volta completa para voltar à posição

$\;B\;$ inicial. No intervalo

$\;[0, \; 2\pi]\;$ as posições

$\;T\;$ percorrem

$\;(A)\;$ e as posições

$\;T'\;$ em

$\;(C')\;$ que correspondem a posições

$\;B'\;$ em

$\;(C)\;$ percorrem uma curva espiralcom início em

$\;B\;$ e interrompida em

$\;D\;$ extremidade oposta no diâmetro de

$\;(C)\;$ . De

$\;[2\pi, \; 4\pi]\;$ as posições de

$\;T'\;$ vão em espiral de

$\;D\;$ a

$\;B\;$ imagem do anterior ramo de espiral por reflexão relativamente à meta

$\;CA \;$ - partida e chegada do circuito.

15.11.18

Nesta entrada, ilustraremos o caso da trajectória de um ponto fixo relativamente a uma circunferência exteriormente tangente a outra sobre a qual a primeira rola sem arrastamento, tal como na entrada anterior. Neste caso, a circunferência carril terá raio duplo do raio da circunferência ou roda que rola sempre à tangente. Já foi referido antes que rolamento sem arrastamento de uma circunferência

$\;(C,\;s)\;$ tangente a uma circunferência

$\;(A,\;r)\;$ exige que, para um dado valor de ângulo

$\;\alpha \;$ de rotação de

$\;(C, \;s)\;$ em torno de

$\;A,\;$ o comprimento do arco de

$\;(A,\; r)\;$ -

$\;r\times \alpha -\;$ correspondente ao ângulo ao seu centro de amplitude

$\;\alpha, \;$ entre dois dos seus pontos (de tangência) terá de ser igual em comprimento ao arco de

$\;(C,\;s)\;$ -

$\;s\times \beta -\;$ correspondente ao seu ângulo ao centro de amplitude

$\;\beta \;$ entre o primeiro ponto de tangência de partida e o correspondente à sua rotação em torno de

$\;C\;$ da outra em torno de

$\;A.\;$ Resumindo:
Rolamento sem deslizamento de uma circunferência de raio s tangencial exteriormente a uma circunferência de raio r exige que

$\;s\beta = r\alpha, \;$ ou seja,

$\; \beta = \frac{r}{s} \alpha .\;$

No caso de

$\;r=2s\;$ o comprimento percorrido por um ponto

$\;B\;$ quando roda em torno de

$\;C\;$ tem de ser feito duas vezes para percorrer o correspondente comprimento quando roda em torno de

$\;A\;$ de um ângulo

$\;\alpha\;$ que tem comprimento duplo do comprimento percorrido entre os dois pontos de tangência em

$\;(A,\;r).\;$ Na figura que se segue, os raios têm comprimentos

$\;r=3, \; s=1,5\;$

Como esperávamos,

$\; T' = Rot(T,2\alpha, C) \;$ parte de B e volta a B ao fim de uma volta completa de

$\;T \in [0, \;2\pi]\;$ em torno de

$\;A\;$ que corresponde a rotação de duas voltas

$\;T'\;$ em torno de

$\;C'\;$ (ou duas voltas de

$\;B'\;$ em torno de

$\;C.\;$ ) Também fica claro que

$\;T'\;$ toca

$\;(A, \;3)\;$ noutra posição para além de

$\;B\;$ correspondente a

$\; \alpha = \pi = \displaystyle \frac{1,5}{3}\times 2\pi \;$ - o que nos esclarece porque temos duas pétalas completas.....

9.11.18

Roda a rolar tangencialmente e pelo exterior de outra roda

O problema que sugeriu a abordagem do estudo das trajectórias de pontos de uma roda quando ela roda, sem deslizar, tangencialmente a outra roda foi sugerido pelo enunciado

Suppose a círcle of radíus r uníts Is rolled around the outsíde of a clrc1e of radius R uníts, R> r. If a marking instrument is attached to the smaller círcle at a particular poínt P, then the pattern created by this markíng instrument and the statíonary large circle will be that of a stylízed, petaled flower, provided r and R are related ln a special way. What is this specíal way in which r and R must be related in arder that there will be no "partial petals"?

lido da pagina 17 de Geometry / Axiomatic Developments with Problem Solving de Earl Perry, (publicado pela Marcel Dekker, Inc. NewYork:1992)

Tomemos uma circunferência de centro

$\;A\;$ raio

$\;2\;$ e, sobre ela, um ponto

$\;B.\;$ Tomemos outra circunferência tangente à primeira em

$\;B.\;$ Nesta entrada, consideremos esta circunferência de centro

$\;C\;$ e de raio

$\;2.\;\; C,\; B,\; A\;$ são colineares e

$\;CB=BA=2,\;$ que constituem os elementos de uma partida e chegada da experiência para estudo da trajectória de um ponto

$\;B\;$ fixo de

$\;(C,\;2)\;$ quando acompanha esta na sua deslocação tangencial a

$\;(A,\;2)\;$

Quando a circunferência

$\;(C, \;2)\;$ rodar em torno de

$\;A\;$ de um ângulo

$\; \alpha, \;$ tangencialmente percorre um arco de comprimento

$\;2\alpha\;$ enquanto o seu centro

$\;C\;$ percorre um arco de

$\;\;(A, \;4)\;$ de comprimento

$\;4.\alpha.\;$ Considerada

$\;(C, \;B)\;$ a posição inicial, após rodar

$\;\alpha\;$ em torno de

$\;A\;$ ocupa uma posição

$\;(C',\;T)\;$ em que

$\;T\;$ é o novo ponto de tangência das duas rodas

$\;(A, \;2),\;$ (posição fixa) e

$\;(C, \;2)\;$ (posição variável tangente à primeira). Ao rodar sem arrastamento,

$\;B\;$ de

$\;(C,\;2)\;$ passa à posição

$\;F\;$ de

$\;(D,\;2)\;$ (correspondente à posição

$\;E\;$ de

$\;(C, \;2)\;$ caso esta rodasse em torno de

$\;C\;$ sem mudar de posição, o que é o mesmo que dizer sem rolar, já que o ponto de tangência manter-se-ia na posição do ponto

$\;B\;$ de

$\;(A, \;2).\;$ ) Dizer que

$\;(C, \;2)\;$ rola sem deslizar tangencialmente a

$\;(A, \;2)\;$ é dizer que as posições dos pontos de tangência

$\;T\;$ ocupam um arco

$\; \widehat{BOT}\;$ da circunferência

$\;(A, \;2]\;$ de comprimento igual ao dos arcos

$\; \widehat{BCE}\;$ de

$\;(C,\;B)\;$ e

$\; \widehat{TC'F}\;$ de

$\;(C',\;2)\;$ que, para cada valor de

$\;\alpha, \;$ é, no caso da nossa construção,

$\; 2\alpha .\;$

Na nossa construção dinâmica, abaixo apresentada, pode deslocar o cursor (esquerda alta) para variar o ângulo

$\;\alpha \;$ de rotação e ver a evolução do rolamento e do comportamento de

$\;(C')\;$ e dos seus pontos. E pode sempre limpar o desenho, clicando no botão de reiniciar na direita alta

O que nos interessa será ver a trajectória do ponto

$\;F\;$ (variável com as posições

$\;(C',\;T),\;$ cada uma delas correspondente a um dos valores de

$\;\alpha\;$ em

$\;[0, \; 2\pi],\;$ no caso da nosssa construção).

Na esquerda baixa

Os botões $\;\fbox{ > }\; \mbox{e} \;\fbox{ || } \;$ permitem animar o rolamento e fazê-lo parar em qualquer momento.
Clicando sobre a caixa $\;\fbox{ \\ }\;$ obtém o lugar geométrico dos pontos $\;F\;$ (em função de $\; \alpha\;$ ) e
verificar que, no caso deste rolamento em que ambas as circunferências têm o mesmo raio, ao fim de uma volta completa - $\; 0 ≤\alpha ≤ 2\pi \;$ - $\;F\;$ parte de $\;B\;$ e chega a $\;B\;$ sem tocar noutro ponto de $\;(A, \;2)\;$ o que significa que se obtém uma flor em volta de $\;(A)\;$ de uma só pétala……… inteira e cordial
em forma de coração ou cardióide.