Epiciclóide(5/1)

---

Nesta entrada, consideramos duas circunferências de raios $\;r\;$ e $\;s\;$ com centros, respetivamente, em $\;A\;$ e $\;C,\;$ e tangentes em $\;B:\; \;\; (A,\;r), \;(C,\;s)\;$ - sendo $\;r=5 \times s\;$ ou $\;s= \displaystyle \frac{r}{5}\;$.
Um ponto que faça uma volta completa em torno de $\;A\;$ pela circunferência $\;(A, \;r)\;$ faz um percurso de comprimento $\;2\times \pi\times r.\;$
Se considerarmos que é a circunferência $\;(C, \;s)\;$ que rola, sem arrastamento, tangencialmente a $\;(A, \;r)\;$ uma volta inteira, de pontos de tangência, ocupará um arco $\;2\pi r.\;$ E, sendo $\;B\;$ a posição de tangência na partida para a aventura de tal volta, ele tomará posições $\;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B)\;$ enquanto, nas condições do problema de rolamento sem arrastamento, o ponto $\;B,\;$ como ponto fixo de $\;(C, \;s)\;$ terá de tomar posições reais $\;T'\;$ em posições $\;(C',\;T)\;$ obtidas por $\; \mbox{Rot}_A^\alpha(B')\;$ sobre esta, só voltando a ser ponto de tangência a cada volta completa, isto é, quando $\;T'= \mbox{Rot}_{C'}^{2n\pi s}(B) \;\;\; n=1,2,3, ...\;$ coincidir com uma das posições $\;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B) .\;$ Este ponto $\;T'\;$ do qual procuramos saber o seu lugar geométrico quando $\; \alpha\;$ toma valores de $\; [0, n\pi ]\;$ em radianos (com $\;n\;$ natural ), também pode ser obtido por uma rotação do ponto $\;B\;$ de ângulo $\; \alpha\;$ em torno de $\;A\;$ seguida de uma rotação de ângulo $\;r\alpha / s \;$ em torno de $\; C' = \mbox{Rot}_A^\alpha (C)\;$
Para cada $\; \alpha , \;$ o arco de $\;(A,\;r),\; \;\; \widehat{BAT}=r \times \angle B\hat{A}T\;$ ou seja tem comprimento $\; r\times \alpha.\;$ Ao fim da primeira volta de $\;(C, \;s) \;$, a posição $\;B'\;$ é tal que o comprimento do arco $\;\widehat{BCB'} =2 \times \pi \times s = \displaystyle\frac{2 \pi r}{5}\;$ coincidirá com uma posição $\;T_\alpha\;$ em que $\;\alpha =\displaystyle \frac{2\pi}{5}.\;$
São precisas cinco voltas completas de $\;(C,\;s)\;$ para que a posição $\;T\;$ coincida com a posição inicial $\;B.\;$




Por ser $\;s = \displaystyle\frac{r}{5},\;$ ao dar uma volta completa de $\;(C,\;s),\;\;\; T'\;$ percorre um comprimento $\;2\pi s = \displaystyle 2\pi \frac{r}{5}.\;$ É claro que $\;T',\;$ ao tomar todas as posições pontos de $\;(C, s]\;$ no seu rolamento a partir de $\;B,\;$ os pontos $\;T\;$ de tangência passam pela quinta parte da circunferência $\;(A,\;r).\;$ E, só ao fim de cinco voltas, é que $\;T'\;$ que, depois de partir da posição $\;B\;$, a ela volta:
Cinco pétalas, cada uma partilhando um ponto em comum com a contígua, com a roda que rola e com a roda carril.

E se for a roda maior a rolar tangente à menor…

---

A entrada anterior sugeriu-nos esta com naturalidade.
Não é preciso fazer qualquer raciocínio novo. A roda de centro $\;A\;$ tem raio $\;1,5\;$ é tangente (em $\;B\;$) à roda de centro $\;C\;$ que tem raio $\;3.\;$ Mostramos ainda o ponto $\;D,\;$ extemidade do diâmetro de $\;(C, 3)\;$ oposta a $\;B.\;$ Já sabemos que a uma rotação de $\;B\;$ em torno de $\;A\;$ de um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$ radianos corresponde um arco de $\;(A)\;$ de comprimento $\;1,5 \times \alpha\;$ em que incidem os pontos de tangência das duas rodas dadas quando $\;(C)\;$ vai rolando (assumindo as posições $\;(C')\;$ imagens de $\;(C)\;$ pelas rotações de ângulos entre $\;B\;$ - ângulo $\;0\;$ - e $\;T\;$ - amplitude de $\;alpha\;$ -) que no rolamento sem arrastamento é igual em comprimento a um arco de $\;(C)\;$ - $$\; 1,5 \times \alpha= \frac{1}{2}(3 \times \alpha)\;$$ Por ser $$\widehat{BCB'}=\widehat{BAT}=\widehat{TC'T'}\;$$ em que $T'$ é um representante das posições do ponto $\;B\;$ considerado fixo em $\;(C)\;$ tomado inicialmente cuja trajectória nos interessa.



Quando $\;(C)\;$ roda em torno de $\;A\;$ tangente a $\;(A)\;$ de uma volta completa $\; 0 \leq \alpha \leq 2\pi \;$ os pontos $\;T'\;$ são posições assumidas numa semicircunferência de $\;(C)\;$ ou seja começando em $\;B\; $ chegam a $\;D\;$ após a volta completa de rolamento em torno de $\;(A).\;$ Seria precisa mais uma volta completa para voltar à posição $\;B\;$ inicial. No intervalo $\;[0, \; 2\pi]\;$ as posições $\;T\;$ percorrem $\;(A)\;$ e as posições $\;T'\;$ em $\;(C')\;$ que correspondem a posições $\;B'\;$ em $\;(C)\;$ percorrem uma curva espiralcom início em $\;B\;$ e interrompida em $\;D\;$ extremidade oposta no diâmetro de $\;(C)\;$. De $\;[2\pi, \; 4\pi]\;$ as posições de $\;T'\;$ vão em espiral de $\;D\;$ a $\;B\;$ imagem do anterior ramo de espiral por reflexão relativamente à meta $\;CA \;$ - partida e chegada do circuito.

Epicicloide

---

Nesta entrada, ilustraremos o caso da trajectória de um ponto fixo relativamente a uma circunferência exteriormente tangente a outra sobre a qual a primeira rola sem arrastamento, tal como na entrada anterior. Neste caso, a circunferência carril terá raio duplo do raio da circunferência ou roda que rola sempre à tangente. Já foi referido antes que rolamento sem arrastamento de uma circunferência $\;(C,\;s)\;$ tangente a uma circunferência $\;(A,\;r)\;$ exige que, para um dado valor de ângulo $\;\alpha \;$ de rotação de $\;(C, \;s)\;$ em torno de $\;A,\;$ o comprimento do arco de $\;(A,\; r)\; $ - $\;r\times \alpha -\;$ correspondente ao ângulo ao seu centro de amplitude $\;\alpha, \;$ entre dois dos seus pontos (de tangência) terá de ser igual em comprimento ao arco de $\;(C,\;s)\;$ - $\;s\times \beta -\;$ correspondente ao seu ângulo ao centro de amplitude $\;\beta \;$ entre o primeiro ponto de tangência de partida e o correspondente à sua rotação em torno de $\;C\;$ da outra em torno de $\;A.\;$ Resumindo:
Rolamento sem deslizamento de uma circunferência de raio s tangencial exteriormente a uma circunferência de raio r exige que $\;s\beta = r\alpha, \;$ ou seja, $\; \beta = \frac{r}{s} \alpha .\;$

No caso de $\;r=2s\;$ o comprimento percorrido por um ponto $\;B\;$ quando roda em torno de $\;C\;$ tem de ser feito duas vezes para percorrer o correspondente comprimento quando roda em torno de $\;A\;$ de um ângulo $\;\alpha\;$ que tem comprimento duplo do comprimento percorrido entre os dois pontos de tangência em $\;(A,\;r).\;$ Na figura que se segue, os raios têm comprimentos $\;r=3, \; s=1,5\;$



Como esperávamos, $\; T' = Rot(T,2\alpha, C) \;$ parte de B e volta a B ao fim de uma volta completa de $\;T \in [0, \;2\pi]\;$ em torno de $\;A\;$ que corresponde a rotação de duas voltas $\;T'\;$ em torno de $\;C'\;$ (ou duas voltas de $\;B'\;$ em torno de $\;C.\;$) Também fica claro que $\;T'\;$ toca $\;(A, \;3)\;$ noutra posição para além de $\;B\;$ correspondente a $\; \alpha = \pi = \displaystyle \frac{1,5}{3}\times 2\pi \; $ - o que nos esclarece porque temos duas pétalas completas.....

Roda a rolar tangencialmente e pelo exterior de outra roda

---

O problema que sugeriu a abordagem do estudo das trajectórias de pontos de uma roda quando ela roda, sem deslizar, tangencialmente a outra roda foi sugerido pelo enunciado

Suppose a círcle of radíus r uníts Is rolled around the outsíde of a clrc1e of radius R uníts, R> r. If a marking instrument is attached to the smaller círcle at a particular poínt P, then the pattern created by this markíng instrument and the statíonary large circle will be that of a stylízed, petaled flower, provided r and R are related ln a special way. What is this specíal way in which r and R must be related in arder that there will be no "partial petals"?

lido da pagina 17 de Geometry / Axiomatic Developments with Problem Solving de Earl Perry, (publicado pela Marcel Dekker, Inc. NewYork:1992)

---

Tomemos uma circunferência de centro $\;A\;$ raio $\;2\;$ e, sobre ela, um ponto $\;B.\;$ Tomemos outra circunferência tangente à primeira em $\;B.\;$ Nesta entrada, consideremos esta circunferência de centro $\;C\;$ e de raio $\;2.\;\; C,\; B,\; A\;$ são colineares e $\;CB=BA=2,\;$ que constituem os elementos de uma partida e chegada da experiência para estudo da trajectória de um ponto $\;B\;$ fixo de $\;(C,\;2)\;$ quando acompanha esta na sua deslocação tangencial a $\;(A,\;2)\;$

Quando a circunferência $\;(C, \;2)\;$ rodar em torno de $\;A\;$ de um ângulo $\; \alpha, \;$ tangencialmente percorre um arco de comprimento $\;2\alpha\;$ enquanto o seu centro $\;C\;$ percorre um arco de $\;\;(A, \;4)\;$ de comprimento $\;4.\alpha.\;$ Considerada $\;(C, \;B)\;$ a posição inicial, após rodar $\;\alpha\;$ em torno de $\;A\;$ ocupa uma posição $\;(C',\;T)\;$ em que $\;T\;$ é o novo ponto de tangência das duas rodas $\;(A, \;2),\;$(posição fixa) e $\;(C, \;2)\;$ (posição variável tangente à primeira). Ao rodar sem arrastamento, $\;B\;$ de $\;(C,\;2)\;$ passa à posição $\;F\;$ de $\;(D,\;2)\;$ (correspondente à posição $\;E\;$ de $\;(C, \;2)\;$ caso esta rodasse em torno de $\;C\;$ sem mudar de posição, o que é o mesmo que dizer sem rolar, já que o ponto de tangência manter-se-ia na posição do ponto $\;B\;$ de $\;(A, \;2).\;$) Dizer que $\;(C, \;2)\;$ rola sem deslizar tangencialmente a $\;(A, \;2)\;$ é dizer que as posições dos pontos de tangência $\;T\;$ ocupam um arco $\; \widehat{BOT}\;$ da circunferência $\;(A, \;2]\;$ de comprimento igual ao dos arcos $\; \widehat{BCE}\;$ de $\;(C,\;B)\;$ e $\; \widehat{TC'F}\;$ de $\;(C',\;2)\;$ que, para cada valor de $\;\alpha, \;$ é, no caso da nossa construção, $\; 2\alpha .\;$

Na nossa construção dinâmica, abaixo apresentada, pode deslocar o cursor (esquerda alta) para variar o ângulo $\;\alpha \;$ de rotação e ver a evolução do rolamento e do comportamento de $\;(C')\;$ e dos seus pontos. E pode sempre limpar o desenho, clicando no botão de reiniciar na direita alta





O que nos interessa será ver a trajectória do ponto $\;F\;$ (variável com as posições $\;(C',\;T),\;$ cada uma delas correspondente a um dos valores de $\;\alpha\;$ em $\;[0, \; 2\pi],\;$ no caso da nosssa construção).

Na esquerda baixa

• Os botões $\;\fbox{  >  }\; \mbox{e} \;\fbox{  ||  } \;$ permitem animar o rolamento e fazê-lo parar em qualquer momento.
• Clicando sobre a caixa $\;\fbox{   \\   }\;$ obtém o lugar geométrico dos pontos $\;F\;$ (em função de $\; \alpha\;$) e
• verificar que, no caso deste rolamento em que ambas as circunferências têm o mesmo raio, ao fim de uma volta completa - $\; 0 ≤\alpha ≤ 2\pi \;$ - $\;F\;$ parte de $\;B\;$ e chega a $\;B\;$ sem tocar noutro ponto de $\;(A, \;2)\;$ o que significa que se obtém uma flor em volta de $\;(A)\;$ de uma só pétala……… inteira e cordial
  em forma de coração ou cardióide.