Áreas. Problemas de Optimização(7)

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Enunciado do problema:
As diagonais de um trapézio retângulo têm comprimentos $\;a\;$ e $\;b\;$ sendo $\;b < a.\;$
Para que comprimento $\;x\;$ do lado perpendicular aos dois lados paralelos do trapézio terá este área máxima?

Para a construção da figura abaixo precisámos dos segmentos $\;a, \;b\;$ cujos comprimentos de medidas fixa correspondem às diagonais $\;a=BD\;$ e $\;b=AC\;$ do trapézio, para além de um ponto $\;A\;$ de partida.

1. Tomados os comprimentos $\;a, \;b\;$ das diagonais e um ponto $\;A, \;$ sobre uma reta horizontal a passar por $\;A,\;$ tomámos um ponto $\;B\;$ variável em $\;\dot{A}B.\;$ Veremos depois que outras restrições tolherão os passos deste ponto.
2. Determinamos os pontos $\;C, \;D\;$ nas intersecções de $\;(A,\; b)\;$ e $\;(B,\; a)\;$ com as perpendiculares a $\;AB\;$ tiradas por $\;B\;$ e por $\;A,\;$ respetivamente, ambos num mesmo dos semi-planos determinados por $\;AB.\;$


3. Dos triângulos retângulos $\;ABD\;$ e $\;ABC\;$ que, em comum, têm o lado $\;AB\;$ de comprimento $\;x\;$ (cateto de um e de outro) $\;a= BD\;$ hipotenusa do primeiro deles e $\;b=AC\;$ hipotenusa do segundo.
   Sabemos
   • $\;a > b > x\;$ nova restrição para os valores de $\;x\;$ que interssama oa problema do trapézio.
   • $\;AD^2 =a^2-x^2 \Rightarrow AD= \sqrt{a^2-x^2}$
     $\;BC^2= b^2-x^2 \Rightarrow AD= \sqrt{b^2-x^2}$
     
     e a área $\;y\;$ do trapézio $\;ABCD\;$ que é igual ao produto da semi-soma dos lados paralelos pela altura relativa a esses lados $$ \displaystyle \frac{AD + BC}{2} \times AB $$ e pode ser expressa em função de $\;x :\;$ $$y= \frac{\sqrt{a^2-x^2}+ \sqrt{b^2-x^2}}{2} \times x$$
4. No canto superior direito da construção apresentamos o conjunto dos pontos $\;(x, \;y)\;$ do gráfico da função $\;y = f(x)\;$ que esclarece o modo como varia a área $\;y\;$ do trapézio em estudo com a variação da altura do trapézio $\;x\;$ relativa aos seus lados paralelos.

27 novembro 2017, Criado com GeoGebra

No canto superior direito da construção apresentamos o conjunto dos pontos $\;(x, \;y)\;$ do gráfico da função $\;y = f(x)\;$ que esclarece o modo como varia a área $\;y\;$ do trapézio em estudo com a variação da altura do trapézio $\;x\;$ relativa aos seus lados paralelos.

Sem perdermos de vista que $\;0 < x < b < a,\;$ olhemos para a derivada de $\;y=fx):\;$ $$\displaystyle \frac{dy}{dx} =\frac{\sqrt{a^2-x^2}+ \sqrt{b^2-x^2}}{2} - \frac{x^2} {2} \left(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} +\frac{1}{\sqrt{b^2-x^2}}\right)= \frac{\sqrt{a^2-x^2}+ \sqrt{b^2-x^2}}{2} - \frac{x^2}{2}.\frac{\sqrt{b^2-x^2}+\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a^2-x^2} . \sqrt{b^2-x^2}}= $$
$$= \displaystyle \frac{\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{b^2-x^2}(\sqrt{a^2-x^2}+\sqrt{b2-x^2})-x^2(\sqrt{a^2-x^2} +2x^2\sqrt{b^2-x^2})}{2\sqrt{a^2-x^2} .\sqrt{b^2-x^2}}= \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\; \;\;\;$$
$$=\frac{(\sqrt{a^2-x^2} +\sqrt{b^2-x^2}) (\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{b^2-x^2} -x^2)}{2\sqrt{a^2-x^2} .\sqrt{b^2-x^2}}\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;$$ que só se anula quando $$\sqrt{a^2-x^2}= -\sqrt{b^2-x^2} \;\;\;\;\;\vee \;\;\;\;\; x^2 = \sqrt{a^2-x^2} \;\;\sqrt{b^2 - x^2}$$ Como a primeira condição de anulamento nunca se verifica para as condições do problema, resta-nos $$y’_x = 0 \Leftarrow x^2 = \sqrt{(a^2-x^2)(b^2 - x^2)} \Leftarrow x^4 =(a^2-x^2)(b^2-x^2) \Leftarrow x^4 = x^4-(a^2+b^2)x^2 + a^2b^2 \Leftarrow x^2= \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$$ Concluindo $$ x=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \Rightarrow y’_x=0$$ De outro modo $$y’_x = 0 \Leftrightarrow x^2= \overline{AD} \times \overline{BC} \Leftrightarrow x= \sqrt{\;\overline{AD} \times \overline{BC} \;}$$

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No caso da nossa figura ou construção, em que tomamos $\;a=4\;$ e $\;b=2\;$, o máximo dos valores $$y= \frac{\sqrt{16-x^2}+ \sqrt{4-x^2}}{2} \times x$$ das áreas dos trapézios é 4 atingido para $\;\overline{AB}=x=\displaystyle \frac{4}{\sqrt{5}}\;$ □

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Sangaku Optimization Problems:
(All animations written by David Schultz in MAPLE (TM). Source code available upon request: davvu41111@mesacc.edu)
Kazen Yamamoto, Hiromu Hasegawa. (1809)
Problem Statement: The diagonals of a trapezoid are fixed with lengths a and b with b < a. What is the horizontal length, x, which produces the trapezoid of maximal area?
Sanpõ-Jojutsu, pg. 151.