GEOMETRIA : Áreas. Problemas de Optimização (4)

Problemas Sangaku de Optimização

Nesta entrada, embora todas as construções sejam feitas com régua e compasso, recorremos a operações algébricas, conceitos de função, derivada, etc.

Enunciado adaptado, construção e demonstração de Mariana Sacchetti
Dado um segmento de reta $\;AB\;$ de comprimento $\;a\;$ fixo, constrói-se com centro na perpendicular a $\;AB\;$ tirada por $\;B\;$ um círculo de raio variável $\;x\;$ tangente ao segmento de reta $\;AB\;$ no ponto $\;B\;$ . Unindo o centro $\;C\;$ da circunferência com o ponto $\;A\;$ , obtém-se o triângulo retângulo $\;ABC.\;$ Construa-se-se um quadrado com com dois vértices em $\;AB\;$ , outro na hipotenusa AC e o quarto na circunferência de centro $\;C\;$ e a passar por $\;B\;$
Determinar

o raio do círculo para o qual o quadrado tem área máxima;

o lado do quadrado de área máxima

As etapas da construção que ilustram as diversas relações podem ser seguidas na figura dinâmica abaixo.

Apresenta-se a figura base: o segmento $\;AB\;$ , a semi-reta $\;\dot{B}C\;$ perpendicular a $\;AB\;$ , sendo $\;C\;$ de posição variável, a circunferência ou um seu arco de centro em $\;C\;$ e raio $\;BC\;$ e o triângulo $\;CAB\;$ com um lado $\;AB \;$ fixo e os outros variáveis com $\;C$ .
Apresenta-se o quadrado construído para respeitar as condições do enunciado, a saber: um vértice $\;P\;$ sobre a parte do arco da circunferência $\;(C, \;CB)\;$ no interior do triângulo $\;CAB,\;$ dois vértices $\;Q, \;R\;$ sobre o cateto $\;AB\;$ e um quarto ponto $\;S\;$ sobre a hipotenusa $\;CA\;$
Apresenta-se o segmento CD da reta CP que intersecta AB em D. Também se apresenta o segmento SE da reta SP perpendicular a BC e paralela a AB que intersecta BC no ponto E. Ficamos assim com pares de triângulos semelhantes CAD∼CSP∗,CDB∼CPS,CPE∼PDQ∗∗ e CDB∼PDQ
Por isso, podemos escrever ADSP=CDCP=CACS=CBCE∗,DBPE=BCPQ=CDCP,CPPD=PEDQ=CEPQ∗∗,CDPD=CBPQ=DBDQ que nos permitem estabelecer uma relação de dependência do lado y=PQ do quadrado PQRS do raio x=CB=CP da circunferência (C,CB).
Como a razão das alturas de dois triângulos semelhantes é igual à razão entre qualquer par de lados homólogos, concretizando:
- $\displaystyle \frac{AD}{SP}= \frac{CB}{CE}\; *\;$ pode escrever-se $\displaystyle \frac{AD}{y}= \frac{x}{x-y}$ para concluir que $\;AD= \displaystyle \frac{xy}{x-y}.$
- $\displaystyle \frac{CP}{PD}=\frac{CE}{PQ}\;**\;$ pode escrever-se $\displaystyle \frac{x}{PD}=\frac{x-y}{y}\;$ para concluir que $\;PD= \displaystyle \frac{xy}{x-y}\;$
  Concluímos também que para qualquer círculo $\;(C, x), \;\;\; AD=DP\;$
Designemos por a o valor correspondente ao comprimento de AB e estudemos o triângulo CDB, retângulo em B: CB2+BD2=CD2→ que se pode escrever →CB2+(AB−AD)2=(DP+PC)2→ e nos permite escrever uma relação entre os variáveis raio da circunferência e lado do quadrado x,y e o invariável a comprimento do segmento AB considerado fixo no enunciado. Para PQ≠CB↔x≠y: →x2+(a−xyx−y)2=(xyx−y+x)2⇔x2+a2−2axyx−y+(xyx−y)2=(xyx−y)2+2xxyx−y+x2⇔ a2−2axyx−y=2xxyx−y⇔a2(x−y)−2axy=2x2y⇔a2x−a2y−2axy−2x2y=0⇔ y=a2xa2+2ax+2x2 a forma como o lado do quadrado é dependente do raio da circunferência quando este varia com a deslocação de C
Nesta última etapa dos passos da nossa construção acrescentamos um ponto $\;O\;$ e a partir dele, o ponto variável $\;X\;$ tal que $\; OX = O+(x, 0)\;$ e os pontos $\;PQ =O+(x,y)\;$ e $\;PQRS = O+(x, y^2)\;$ - pontos dos gráficos de “lado do quadrado e área do quadrado $\;PQRS\;$ em função do raio da circunferência $\;(C, x)\;$ .
Claro que o quadrado de área máxima é o quadrado de máximo lado e por isso bastará determinar o valor do raio $\;x\;$ para o qual o lado $\;y;$ do quadrado é máximo.
Podemos determinar esse valor recorrendo aos zeros da derivada da função $y=\frac{a^2x}{a^2+2ax+2x^2}$ $\frac{dy}{dx} = \frac{a^2(a~2+2ax+2x^2)-(2a+4x)a^2x}{(a^2+2ax+2x^2)^2}= \frac{a^4+2a^3x+2a^2x^2-2a^3x-4a^2x^2}{(a^2+2ax+2x^2)^2 }= \frac{-2a^2x^2+a^4}{(a^2+2ax+2x^2)^2}$ Para $\;a>0\;$ e $\;x>0\;$ que é o que se adequa às condições do problema $y’(x) =\frac{-2a^2x^2+a^4}{(a^2+2ax+2x^2)^2} = 0 \Leftrightarrow -2a^2x^2+a^4=0 \Leftrightarrow x^2= \frac{a^4}{2a^2} \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ E convém verificar que
$x<\frac{\sqrt{2}}{2}a \Rightarrow -2a^2x^2 >-2a^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 \Rightarrow -2a^2x^2+a^4 >-2a^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2+a^4 >0$ que, por ser $\;(a^2+2ax+2x^2)^2>0, \forall x\,$ nos permite afirmar que $\;y’(x)>0, \forall x \in ] \;0, \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}a \; [ \;$ e os valores de $\;y(x)\;$ crescem com $\;x\;$ a crescer até atingir o valor de $\;\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}a.\;$
E, de igual modo, se verifica que $\;y’(x) <0, \forall x> \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}a\;$ e os valores de $\;y(x)\;$ decrescem com $\;x\;$ a crescer a partir de $\;\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}a.\;$

Concluíndo, para um raio

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ da circunferência

$\;\;(C, \;BC)\;$ , o lado do quadrado

$\;PQRS\;$ correspondente atinge o seu valor máximo que é

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a^3}{a^2 + \sqrt{2}a^2 + a^2 } = \frac{\sqrt{2} a^3}{2a^2(2+\sqrt{2})} =\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}a = \frac{\sqrt{2}-1}{2} a$ e a sua área (máxima) corresponde ao quadrado desse valor do lado.

Sangaku Optimization Problems:
(All animations written by David Schultz in MAPLE (TM). Source code available upon request: davvu41111@mesacc.edu)
Japanese Optimizations Problema found in Shiokawa Kokaido Building
Problem Statement: A circle of varying radius is constructed from the far-right endpoint of a segment of fixed length. A right triangle is formed using the circle's center and the two endpoints of the segment. A square is constructed using the circle, the hypotenuse, and the segment. Find the side length of the square that maximizes the square's area.
Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. Fukagawa, H. & Rothman, T. 2008.

GEOMETRIA

28.10.17

Áreas. Problemas de Optimização (4)

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