28.12.15
20.12.15
Problema que precisa da invariância de ângulos por inversão para ser resolvido.
Construir uma circunferência que passe por dois pontos \;A, \; B\; dados e corte uma reta - \;r\; - dada segundo um dado ângulo \; \alpha .
O ângulo de uma reta \;r\; com uma circunferência que a corte num ponto \;P\; é um ângulo de vértice P cujos lados são r e a tangente à circunferência em \;P.\; Há uma infinidade de circunferências que passsam por \;A\; e \;B\;. Precisamos de determinar alguma dessas que cortem \;r\; segundo o ângulo \;\alpha \;.
© 20 dezembro 2015, Criado com GeoGebra
\;\fbox{n=1}\;\;\;\; A inversão relativa à circunferência de centro \;A\; e raio \;AB\;
\;\fbox{n=2}\;\;\;\; transforma a reta \;r\; numa circunferência \;r'\;
\;\fbox{n=3}\;\;\;\; que passa por \;A,\; centro da inversão aplicada a \;r\;.
Como a inversão preserva os ângulos, o problema reduz-se a determinar uma recta que passe por \;B\; e faça um ângulo \;\alpha\; com a circunferência \,r'\;.
As retas que fazem ângulos \;\alpha\; determinam-se facilmente: Toma-se um ponto \;I\; genérico de \;r'\; e a sua tangente nesse ponto
\;\fbox{n=4}\;\;\;\;; A reta que faz um ângulo \; \alpha \; com cada tangente é uma das retas que procuramos e que no seu conjunto determinam (envolvem) uma circunferência concêntrica com \;r'\;
\;\fbox{n=5}\;\;\;\; lugar geométrico dos pontos médios das cordas determinadas pelas retas que que fazem ângulos \; \alpha\; com as tangentes em qualquer dos seus extremos.
De entre todas essas retas, interessam-nos aquelas que passam por \;B\; que são duas delas: as tangentes \;t_1, \; t_2\; à circunferência de centro \;O \; e raio \;OM\; tiradas por \;B\;
\;\fbox{n=6}\;\;\;\; Se aplicarmos a estas retas \;t_1, \; t_2\; a inversão de centro \;A\; e raio \;AB\; as suas transformadas são, respetivamente, as circunferências \;c_1, \; c_2\; que passam por \;A\;, centro da inversão, e também por \;B\; por este ser um ponto da circunferência de inversão (invariante por essa inversão)
\;\fbox{n=7}\;\;\;\;\; A figura final
\;\fbox{n=8}\;\;\;\; só serve para mostrar os dados e as soluções do problema sem mais.
* Caronnet, Th. Éxércices de Géométrie Vuibert. Paris:1946.
200. Construire un cercle passant par deux points donnés et coupant une droite donnée sous un angle donné \;\alpha.
15.12.15
Dobras de um canto com uma dada área são um problema?
Imagine que o primeiro quadrante do plano \;Oxy\; é um folha de papel gigante.Fixe uma constante \;k\; e imagine que o canto em \;(0,0)\; é dobrado para um ponto \;P \; da folha de tal modo que o triângulo da dobragem tem área \;k.\; Descreva o conjunto dos pontos que podem ocorrer como \;P.\;
Clique no botão a que chamámos "auxiliares"
Chamamos \;Q\; e \;R\; aos dois outros vértices do triângulo da dobragem que leva \;O\; para \;P\;. E designamos por \;S\; o ponto de interseção de \;OP\; com \;RQ\;. Como os ângulos em \;O\; e em \;P\; são iguais e retos, \;RQ\; é o diâmetro da circunferência que passa por \;Q,\;P,\;R,\;O.\; P obtém-se como imagem de O por uma meia volta em torno de \,QR,\; ou dito de outro modo, para cada \;Q\; e cada \;R\;, há um \;P\; imagem \;O\; por simetria de eixo \;QR.\; \;OQ=QP, \;OS =SP, \; OR=RP.\;
© geometrias, 8 dezembro 2015, Criado com GeoGebra
A área do triângulo PQR é dada por \; \displaystyle QR \times \frac{OP}{2}\; ou por \; \displaystyle \frac{QP\times PR}{2}.
Designemos por \;(x, y)\; as coordenadas cartesianas de \;P:\;\; x=OQ, \; y=OR\; e por \;(\rho, \; \theta\;)\; as coordenadas polares de \;P:\; \; \rho= OP =2\times SP, \; \theta=\angle Q\hat{O}P.\;
No caso da nossa construção, atribuímos o valor \;3\; a \;k\; e a condição do problema que \;P\; deve satisfazer é, pelo que vimos, \;x\times y = 6.\;
Como \;OS \perp QR \;, do triângulo \;OSQ\; retângulo em \;S\;, tiramos \;\displaystyle \frac{OS}{OQ} = {\rm cos}\; \theta \; ou \; \displaystyle \frac{\rho}{2}=x.{\rm cos}\; \theta. \;
Também o triângulo \;RSO\; é retângulo em \;S\; e \;R\hat{O}S = \displaystyle {\pi \over 2} - \theta\; e \; \displaystyle \frac{\rho}{2}=y.{\rm cos}\; ({\pi \over 2}-\theta)\; ou \displaystyle\frac{\rho}{2}=y.{\rm sen}\; \theta . \;
De \;\rho = 2x. {\rm cos} \theta\; e \;\rho=2.{\rm sen} \theta\; podemos concluir que \;\rho ^2 = 4xy.{\rm sen}(\theta).{\rm cos}\; \theta\; ou, por ser \; 2{\rm sen}(\theta).{\rm cos}(\theta) ={\rm sen}(2\theta),\; e \;xy=2k\; (no nosso caso \;6\;), podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos \;P (\rho, \; \theta)\; tais que os triângulos \;QPR\; de dobragem têm área \;k\; constante satisfazem a seguinte equação \rho ^2 = 4k. {\rm sen}(2\theta) que é a equação de uma curva chamada lemniscata (meia lemniscata no nosso caso por serem \;x\geq 0 \wedge y\geq 0 \; restrições consideradas no enunciado do problema.)
Pode ver o lugar geométrico -- meia lemniscata -- clicando no botão "lugar geométrico dos P" ao fundo direito na figura. E pode deslocar \;Q\; para ver o ponto \;P\; descrever a curva desenhada a vermelho. É claro que\, considerado que \;P(x, y):\; xy=2k\; e deixando livre \;Q(x, 0)\; o ponto \;R (0, y)\; é dele dependente: \;y=\displaystyle \frac{2k}{x}\;
Clique no botão a que chamámos "auxiliares"
Chamamos \;Q\; e \;R\; aos dois outros vértices do triângulo da dobragem que leva \;O\; para \;P\;. E designamos por \;S\; o ponto de interseção de \;OP\; com \;RQ\;. Como os ângulos em \;O\; e em \;P\; são iguais e retos, \;RQ\; é o diâmetro da circunferência que passa por \;Q,\;P,\;R,\;O.\; P obtém-se como imagem de O por uma meia volta em torno de \,QR,\; ou dito de outro modo, para cada \;Q\; e cada \;R\;, há um \;P\; imagem \;O\; por simetria de eixo \;QR.\; \;OQ=QP, \;OS =SP, \; OR=RP.\;
© geometrias, 8 dezembro 2015, Criado com GeoGebra
A área do triângulo PQR é dada por \; \displaystyle QR \times \frac{OP}{2}\; ou por \; \displaystyle \frac{QP\times PR}{2}.
Designemos por \;(x, y)\; as coordenadas cartesianas de \;P:\;\; x=OQ, \; y=OR\; e por \;(\rho, \; \theta\;)\; as coordenadas polares de \;P:\; \; \rho= OP =2\times SP, \; \theta=\angle Q\hat{O}P.\;
No caso da nossa construção, atribuímos o valor \;3\; a \;k\; e a condição do problema que \;P\; deve satisfazer é, pelo que vimos, \;x\times y = 6.\;
Como \;OS \perp QR \;, do triângulo \;OSQ\; retângulo em \;S\;, tiramos \;\displaystyle \frac{OS}{OQ} = {\rm cos}\; \theta \; ou \; \displaystyle \frac{\rho}{2}=x.{\rm cos}\; \theta. \;
Também o triângulo \;RSO\; é retângulo em \;S\; e \;R\hat{O}S = \displaystyle {\pi \over 2} - \theta\; e \; \displaystyle \frac{\rho}{2}=y.{\rm cos}\; ({\pi \over 2}-\theta)\; ou \displaystyle\frac{\rho}{2}=y.{\rm sen}\; \theta . \;
De \;\rho = 2x. {\rm cos} \theta\; e \;\rho=2.{\rm sen} \theta\; podemos concluir que \;\rho ^2 = 4xy.{\rm sen}(\theta).{\rm cos}\; \theta\; ou, por ser \; 2{\rm sen}(\theta).{\rm cos}(\theta) ={\rm sen}(2\theta),\; e \;xy=2k\; (no nosso caso \;6\;), podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos \;P (\rho, \; \theta)\; tais que os triângulos \;QPR\; de dobragem têm área \;k\; constante satisfazem a seguinte equação \rho ^2 = 4k. {\rm sen}(2\theta) que é a equação de uma curva chamada lemniscata (meia lemniscata no nosso caso por serem \;x\geq 0 \wedge y\geq 0 \; restrições consideradas no enunciado do problema.)
Pode ver o lugar geométrico -- meia lemniscata -- clicando no botão "lugar geométrico dos P" ao fundo direito na figura. E pode deslocar \;Q\; para ver o ponto \;P\; descrever a curva desenhada a vermelho. É claro que\, considerado que \;P(x, y):\; xy=2k\; e deixando livre \;Q(x, 0)\; o ponto \;R (0, y)\; é dele dependente: \;y=\displaystyle \frac{2k}{x}\;
^1\;7. Don't Cut Corners — Fold them
Suppose the first quadrant of the x-y plane is a giant sheet of paper. Fix a constant K and imagne that the corner at (0;0) is folded over onto a point P on the sheet in such a way that the triangle folded over has area k. Describe the set of ponts that can occur as P.
Konhauser, J.D.E; Velleman, Dan; Wagon, Stan. Which way did the bicycle go? . and other intriguing mathematical mysteries. Dolciani mathemetical Expositions - o 18, Mathematical Association of America: 1996.
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