16.5.15

Método comum para inscrever um pentágono regular numa circunferência


PROVA EM SUPORTE DA CONSTRUÇÃO COMUM

Em um círculo dado inscrever um pentágono equilátero e equiângulo.

. Entre nós, a construção mais comum de um pentágono regular inscrito numa circunferência $\;(O)\;$ dada consiste no seguinte:
  • tomar dois diâmetros $\;PQ\;$ e $\;AG\;$ perpendiculares
  • determinar o ponto médio $\;H\;$ de um raio $\;OP\;$, no caso, e considerar a circunferência centro em $\;H\;$ e raio $\;HA\;$ que interseta $\;OQ\;$ em $\;I\;$
  • $\;AI\;$ será o comprimento do lado de um pentágono regular inscrito na circunferência $\;(O)\;$. A circunferência de centro em $\;A\;$ e raio $\;AI\;$ corta a circunferência dada em $\;B,\; E\;$ vértices do pentágono inscrito, para além de $\;A.\;$ Os outros vértices estão sobre as circunferências $\;(B, \;BA), \; (E, \;EA\;)$
Vamos procurar seguir passos da construção já feita com recursos mínimos à régua e compasso (post.1 e post.3). Depois veremos como esta construção se liga à construção que foi feita nas entradas anteriores.

Fazendo variar os valores de n no cursor ao fundo da janela da construção que se segue, pode seguir os passos da construção e dos elementos que apoiam a construção para além de outras aspetos que ajudam a compreender as construções mais comuns.

© geometrias. 15 de Maio de 2015, Criado com GeoGebra




$\fbox{n=0}$     Vê-se a circunferência azul $\;(O)\;$ dada
$\fbox{n=1}$     Determinemos dois diâmetros perpendiculares. Para isso, toma-se o ponto $\;P\;$ da circunferência $\;(O)\;$ e
                (post 1) $\;\longrightarrow \;PO\;\longrightarrow \;Q \; \mbox {de } PO. (O)$
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(P,\;PQ)\; \mbox{e} \; (Q, \;QP)\; \longrightarrow \;F \; \mbox {de } (P,\;PQ).(Q, \;QP)$
                (post 1) $\;\longrightarrow \;FO\;\longrightarrow \;A, \;G\; \mbox {de } FO. (O)\;$ (11.1) $\;\longrightarrow FO \perp POQ\;$

$\fbox{n=2}$     Determinemos o ponto médio de $\;OP\;$. Para isso,
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(P,\;PO)\; \longrightarrow (P,\;PO).(O)$ (pontos de interseção)
                (post 1) $\;\longrightarrow $ a reta definida por esses pontos $\;(P,\;PO).(O);$ interseta $\;PO\;$ em $\;H\;$ que
                por (10.1) é o ponto médio de $\;PO\;$
$\fbox{n=3}$     Para determinar o lado pentágono regular inscrito, bastará
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(H,\;HA)\; \longrightarrow \;$ e tomar $\;I\;$ da interseção $\;(H,\;AH).OQ\;$
               Lembramos que o ponto $\;I\;$ assim determinado é tal que $\;OI^2 = OQ \times QI\; \longleftarrow$ (11.2)
               O método mais comum entre nós toma $\;AI\;$ para comprimento do lado do pentágono regular inscrito e,
                considerando $\;A\,$ um vértice será
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(A,\;AI)\;$ e $\;B, \;E\;$ obtêm-se como pontos da interseção $\;(A,\;AI).(O)\;$
               Do mesmo modo
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(B,\;BA),\; (E, \;EA)\; $ e $\;C, \;D\;$ obtêm-se respetivamente,
                como pontos das interseções $ \;(B,\;BA).(O), \; (E, \;EA).(O)\;$
$\fbox{n=4}$     Usando qualquer destes pontos $\;I,\; K, \; J\;$ que dividem em média e extrema razão, respetivamente,
               os raios $\;OQ, \;OG, \;OL,\;$ ligamos essa nossa comum construção à (10.4) construção de um triângulo isósceles
                em que cada ângulo da base é duplo do ângulo formado pelos dois lados iguais.
               Como então vimos, basta transportar esse comprimento $\;OI=OJ=OK\;$ para $\;G.\;$ Assim:
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(G, \;GO) \;\longrightarrow \;L\; \mbox{de} \;(G, \;GO). (O) \; \mbox{e tal que} \; OG=GL=LO\;$
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(O, \;OI) \; \mbox{e}\; M \; \mbox{de} \;(O, \;OI). OL\; \mbox{ e tal que} MO=JO $
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(L, \;LM)\; \mbox{e} \;N\; \mbox{de} \; (L, LM).GL\; \mbox{e tal que } \; LN =LM\;$
                (ax. 3) $\;\longrightarrow \;GN=OM\;$ restos de duas coisas iguais a que retirámos partes iguais.
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(L, \;LM)\; \mbox{e} \;N\; \mbox{de} \; (L, LM).GL\; \mbox{e tal que } \; LN =LM\;$
                (post 3) $\;\longrightarrow \;(G, \;GN)\; \mbox{e} \;C, \;D\; \mbox{de} \; (G, \;GN).(O)\; \mbox{e tal que } \; GD=GN \; \longleftarrow (1.4)$.
                 E é claro que
                (ax. 1) $\;\longrightarrow \;GC=GD=GN=OM=OI\;$
$\fbox{n=5}$     Considerando os resultados anteriores,
                (10.4)$\;\longrightarrow \;\mbox{ do triângulo}\; OGD, OG =OD \wedge \angle \hat{G} = \angle \hat{D} =2\times \angle\hat{O}\;$
                Considerado o triângulo $\;ACD\;$ inscrito na circunferência $\;(O)\;$ fácil é concluir que o seu ângulo $\; \angle \hat{C}\;$ é igual
                ao ângulo $\;\angle \hat{G}\;$ do triângulo $\;OGD\;$ por estarem inscritos no mesmo arco $\;DPA\;$ de $\;(O)\; \longleftarrow\;$ (21.3)

                Também se pode concluir que
                (20.3) $\; \longrightarrow \; \angle G\hat{O}D = 2 \times G\hat{A}D \wedge \angle G\hat{O}C=\angle G\hat{A}C\; \mbox{de onde se tira que} \; G\hat{O}C= C\hat{A}D \;$
                Finalmente: Como os triângulos $\;OGD, \; CAD\;$ têm dois ângulos iguais, cada a um a cada um, por (32.1),

               também os terceiros são iguais e $$ \angle A\hat{D}C =\angle O\hat{D}G = \angle O\hat{G}D = 2\times \angle G\hat{O}D = 2 \times \angle C\hat{A}D \; \mbox{e}\; \;AC=AD\; \longleftarrow \;\mbox{(6.1)} $$

                Temos então um triângulo $\;ACD\;$ inscrito em $\;(O), \;$ isósceles e para o qual $\;\angle \hat{C} = \angle \hat{D} = 2\times \hat {A}\;$ e
               assim como provámos em (11.4) , da entrada anterior, $\;CD\;$ é um lado de pentágono regular inscrito em $\;(O)\;$.

Deste modo, não só fica provado que a construção comum entre nós conduz a um pentágono equilátero e equiângulo inscrito numa circunferência dada, como fica sugerido outro método de construção (com mais passos?)
Retirando os passos necessários à demonstração, fica também assegurado que o método comum entre nós é o mais económico ( de entre os que conhecemos) □

$\fbox{n=6}$     Finalmente deixamos traçados
               os segmentos de reta $\;AB, \;BC, \;CD,\;DE,\;EA,\;$ que provámos serem iguais,
                         como iguais são os ângulos $\;\angle A\hat{B}C, \; \angle B\hat{C}D, \;\angle C\hat{D}E, \;\angle D\hat{E}A, \;\angle E\hat{A}B. \;$
                os segmentos $\;AC,\;AD\; \;BD, \;BE, \;CA,\;CE \;$ iguais, bissetrizes dos ângulos das bases dos
                triângulos isósceles $\;ACD, \; BDE, CEA\;$ iguais,
                         sendo iguais, por isso, os ângulos $\;C\hat{A}D, E\hat{B}D. A\hat{C}E. B\hat{D}A, \; C\hat{E}D.$

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
AXIOMA II.
Se a coisas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais
AXIOMA III.
E se de cousas iguais se retirarem outras iguais, os restos serão igauis
PROP. I. PROB.
Sobre uma linha reta determinar um triângulo equilátero
PROP. II. PROB.
De um ponto dado tirar uma linha reta igual a outra linha reta dada.
PROP. V. TEOR.
Em qualquer triângulo isósceles, os ângulos que estão sobre a base são iguais e produzidos os lados iguais os ângulos que se formam debaixo da base são também iguais
PROP. VI. TEOR.
Se dois ângulos de um triângulo forem iguais, os lados opostos a estes ângulos serão também iguais
PROP. XI. PROB.
De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sobre a mesma reta dada
PROP. XXXII. TEOR.
Em todo o triângulo, produzido um lado qualquer, o ângulo externo é igual aos dois internos e opostos e os três ângulos internos de um triângulo qualquer são iguais a dois retos.
.......................................
Livro II
PROP. I. PROB.
Achar o centro de um círculo dado
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
.......................................
LIVRO III
DEFINIÇÂO VI.
Segmento de círculo é uma figura compreendida por uma linha reta e por uma porção da circunferência do círculo
DEFINIÇÂO VII.
O ângulo do segmento é aquele que é formado pela reta e pela porção de circunferência
DEFINIÇÂO VIII.
Um ângulo se diz estar ou existir no segmento quando é formado pelas retas que, de um ponto qualquer, tomado na circunferência do segmento, se tiram para os extremos da reta que é a base do segmento.
PROP. XX. TEOR:
Em todo o círculo o ângulo que é feito no centro é o dobro do ângulo que está na circunferência, tendo cada um destes ângulos como por base a mesma porção da circunferência.
PROP.XX!. TEOR.
Em todos o círculo os ângulos que existem no mesmo segmento são iguais entre si
PROP. XXVI. TEOR.
Em círculos iguais os ângulos, que são iguais, e existem ou nos centros ou nas circunferências, assentam sobre arcos também iguais.
PROP. XXIX TEOR.
Em círculos iguais, a arcos iguais correspondem cordas iguais.
PROP. XXXII. TEOR.
Se uma linha reta for tangente de um círculo e se do ponto do contacto se tirar outra reta que divida o círculo em dois segmentos, os ângulos que esta reta fizerem com a tangente serão iguais aos ângulo que existem nos segmentos alternos
PROP. XXXVII. TEOR.
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo
Livro IV
DEFINIÇÃO III.
Uma figura retilínea se diz inscrita em um círculo quando cada um dos ângulos dela toca a circunferência do circulo
DEFINIÇÃO VII
Uma linha reta se diz inscrita em um círculo quando as extremidades dela estão na circunferência
PROP. I. TEOR.
Em um círculo dado inscrever uma linha reta igual a outra dada, e não maior que o diâmetro do círculo dado.
PROP. II. PROB.
Em um círculo dado inscrever um triângulo equiângulo a outro triângulo dado.
PROP. V. PROB.
Circunscrever um círculo a um triângulo dado.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000
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