2.5.15

Elementos: Inscrever um pentágono regular numa dada circunferência


Livro IV - PROP.XI. PROB.

Em um círculo dado inscrever um pentágono equilátero e equiângulo.

. Este problema de construção (inscrição de um pentágono regular num círculo dado) usa o problema anterior (10.4) da construção de um triângulo isósceles em que cada ângulo da base é duplo do terceiro ângulo e um outro (2.4) que resolve o problema de inscrever num círculo dado um triângulo de ângulos iguais ao de um outro. Claro que, para estas inscrições é preciso ter presente os passos a dar para transferir comprimentos usando régua e compasso euclidianos.
Para além de um círculo dado, temos um triângulo já construído $\;FGH\;$ tal que $\; \angle \hat{G} =\angle \hat{H} = \angle \hat{F} + \angle\hat{F}\;$. O fundamental do problema de construção é inscrever no círculo dado um triângulo $\;ACD\; $ tal que $\; \angle \hat{A} = \angle \hat{F}, \; \angle \hat{B}=\angle \hat{G} , \; \angle \hat{C}=\angle \hat{H}.\; $


© geometrias. 2 de Maio de 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar os valores de n no cursor ao fundo, pode seguir os passos da construção. Para n=8 pode ver a figura construída e os elementos que apoiam a demonstração.


$\fbox{n=0}$     Vê-se a circunferência dada
$\fbox{n=1}$     Mais se vê um triângulo $\;FGH\;$ previamente construído (10.4) em que $\angle \hat{G}=\angle \hat{H}= 2\times \angle \hat{F}\;$
$\fbox{n=2}$     Acrescenta-se o centro $\;O\;$ da circunferência dada (1.2) e um qualquer ponto $\;A\;$ dela, a reta $\;AO\;$ (post.1), e a perpendicular a $\;AO\;$ (11.1) em $\;A\;$ que é a tangente à circunferência em $\;A\;$
$\fbox{n=3}$     Seguindo (2.4), apresentam-se as circunferências
  • $\;(G, \;GH)\;$ que interseta $\;GF\;$ em $\;I\;$
  • $\;(A,\;GH)\;$ que interseta a tangente por $\;A\;$ em $\;J,\;K\;$
  • $\;(J, \;HI)\;$ que interseta $\;(A,\;GH)\;$ em $\;L\;$
  • $\;(K, \;HI)\;$ que corta $\;(A,\;GH)\;$ em $\;M\;$

$\fbox{n=4}$     Traçam-se as retas
  • $\;AL\;$ que interseta a circunferência $\;(O, \; OA)\;$ em $\;C\;$
  • $\;AM\;$ que interseta $\;(O, \; OA)\;$ em $\;D\;$
Assim, por construção os ângulos de um segmento $\angle J\hat{A}L, \; \angle k\hat{A}D\;$ são iguais aos ângulos $\; \angle \hat{G}, \; \angle \hat{H}\;$ do triângulo $\;FGH\;$
$\fbox{n=5}$     Traça-se o segmento $\;CD\;$.
Por (32.3) $\;\angle J\hat{A}C= \angle A\hat{D}C \;$ e $\;\angle K\hat{A}D = \angle A\hat{C}D\;$.
Podemos concluir que $\angle \hat{A} = \angle \hat{F}, \; \angle \hat{B} = \angle \hat{G}, \; \angle \hat{C} = \angle \hat{H}\;$ ou que o triângulo $\;ABC\;$ é equiângulo de $\;FGH\;$
$\fbox{n=6}$     Seguindo (9.1) dividimos em partes iguais os ângulos $\angle A\hat{C}D, \; \angle A\hat{D}C.\;$ e chamamos $\;E\;$ e $\;B\;$ aos segundos pontos das bissetrizes de $\;\angle \hat{C}, \; \angle\hat{D}\;$ comuns à circunferência dada.
$\fbox{n=7}$     Finalmente traçamos os seguintes segmentos de reta $\;AB, \;BC,\;DE,\;EA,\;$ que provamos serem iguais a $\;CD,\;$ como iguais são os ângulos $\;\angle A\hat{B}C, \; \angle B\hat{C}D, \;\angle C\hat{D}E, \;\angle D\hat{E}A, \;\angle E\hat{A}B, \;$
$\fbox{n=8}$     Mostram-se, para além da circunferência $\;(O)\;$ dada, tão somente os pontos $\;A, \;B, \;C,\;D,\;E,\;$vértices do pentágono inscrito; os segmentos $\;AB,\;BC,\;CD,\;DE,\;EA,\;$ lados do pentágono inscrito; e, $\;AC, \;AD, \;BD, \;BE,\; CE,\;$ diagonais do pentágono inscrito, determinados por construção por condições determinadas.
Resta-nos demonstrar que, de acordo com essas condições de construção,
  1. $$\;AB=BC=CD=DE=EA:\;$$
    Por construção, $\;\angle A\hat{C}D = \angle A\hat{D}C = 2\times \angle C\hat{C}D\;$ e, cada um dos $\;\angle A\hat{C}D\;$ e $\;\angle A\hat{D}C\;$ está dividido em dois ângulos iguais por $\;CE\;$ e $\;DB\;$, isto é, $\;\angle C\hat{D}B= \angle D\hat{B}A\;$ e $\;\angle D\hat{C}E=\angle E\hat{C}A.\;$ E, sendo metades dos ângulos iguais $\;\angle A\hat{C}D\;$ e $\;\angle A\hat{D}C,\;$ sendo cada um destes, por sua vez, duplos de $\; \angle D\hat{A}C,\;$ podemos concluir que $\;D\hat{A}C =\angle B\hat{E}C= \angle A\hat{D}B = \angle E\hat{B}D =\angle A \hat{C}E.\;$
    Por (26.3), Sendo estes ângulos inscritos iguais também são iguais os arcos $\;(CD) =(BC) = (AB) = (ED) = (AE)\;$ e, por isto e por (29.3), são também iguais as cordas correspondentes $\;CD =BC = AB = ED = AE.\;$, ou seja, o pentágono $\;[ABCDE]\;$ é equilátero. □

  2. $$\;\angle A\hat{B}C = \angle B\hat{C}D = \angle C\hat{D}CE = \angle D\hat{E}A = \angle E\hat{A}B :\;$$
    Como $\;(AB)= (DE)\;$ , se juntarmos a ambos $\;(AB)\;$ e $\; (DE)\;$ o mesmo arco $\;(BCD)\;$, por (ax. 2) obtemos arcos iguais: $\;(ABCD) =(BCDE)\;$ e, por isso e por (27.3), são iguais os correspondentes ângulos $\;\angle A\hat{E}D\;$ e $\;B\hat{A}E\;$ inscritos. De modo inteiramente análogo, se prova que cada um dos ângulos $\; \angle A\hat{B}C,\;\angle B\hat{C}D,\;\angle C\hat{D}E\; $ é igual a cada um dos ângulos
    $\; \angle B\hat{A}E,\;\angle A\hat{E}D.\; $ Fica assim provado que $$\;\angle A\hat{E}D\;=\;B\hat{A}E\; =\angle A\hat{B}C\;=\;\angle B\hat{C}D\;=\;\angle C\hat{D}E\;$$ ou que o pentágono $\;[ABCDE]\;$ é equiângulo. □


Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
AXIOMA II.
Se a coisas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais
AXIOMA III.
E se de cousas iguais se retirarem outras iguais, os restos serão igauis
PROP. I. PROB.
Sobre uma linha reta determinar um triângulo equilátero
PROP. II. PROB.
De um ponto dado tirar uma linha reta igual a outra linha reta dada.
PROP. V. TEOR.
Em qualquer triângulo isósceles, os ângulos que estão sobre a base são iguais e produzidos os lados iguais os ângulos que se formam debaixo da base são também iguais
PROP. VI. TEOR.
Se dois ângulos de um triângulo forem iguais, os lados opostos a estes ângulos serão também iguais
PROP. XI. PROB.
De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sobre a mesma reta dada
PROP. XXXII. TEOR.
Em todo o triângulo, produzido um lado qualquer, o ângulo externo é igual aos dois internos e opostos e os três ângulos internos de um triângulo qualquer são iguais a dois retos.
.......................................
Livro II
PROP. I. PROB.
Achar o centro de um círculo dado
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
.......................................
LIVRO III
DEFINIÇÂO VI.
Segmento de círculo é uma figura compreendida por uma linha reta e por uma porção da circunferência do círculo
DEFINIÇÂO VII.
O ângulo do segmento é aquele que é formado pela reta e pela porção de circunferência
DEFINIÇÂO VIII.
Um ângulo se diz estar ou existir no segmento quando é formado pelas retas que, de um ponto qualquer, tomado na circunferência do segmento, se tiram para os extremos da reta que é a base do segmento.
PROP. XXVI. TEOR.
Em círculos iguais os ângulos, que são iguais, e existem ou nos centros ou nas circunferências, assentam sobre arcos também iguais.
PROP. XXIX TEOR.
Em círculos iguais, a arcos iguais correspondem cordas iguais.
PROP. XXXII. TEOR.
Se uma linha reta for tangente de um círculo e se do ponto do contacto se tirar outra reta que divida o círculo em dois segmentos, os ângulos que esta reta fizerem com a tangente serão iguais aos ângulo que existem nos segmentos alternos
PROP. XXXVII. TEOR.
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo
Livro IV
DEFINIÇÃO III.
Uma figura retilínea se diz inscrita em um círculo quando cada um dos ângulos dela toca a circunferência do circulo
DEFINIÇÃO VII
Uma linha reta se diz inscrita em um círculo quando as extremidades dela estão na circunferência
PROP. I. TEOR.
Em um círculo dado inscrever uma linha reta igual a outra dada, e não maior que o diâmetro do círculo dado.
PROP. II. PROB.
Em um círculo dado inscrever um triângulo equiângulo a outro triângulo dado.
PROP. V. PROB.
Circunscrever um círculo a um triângulo dado.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000
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