Um grupo de simetria gerado por uma só translação associada a um vetor

Do mesmo modo que apresentámos uma rosácea com repetições segundo direções diferentes em torno de um ponto e igualmente espaçadas de uma amplitude angular, na construção seguinte apresentamos uma figura onde podemos observar um padrão de repetições segundo uma determinada direção. Um determinado vetor dá-nos a direção das repetições e o espaçamento (em comprimento) entre as repetições.
Clique sobre o botão 'vector' para ver o vetor u associado à translação t geradora do grupo de simetrias da figura. Pode clicar sobre o botão 'deslocar para ver' que lhe permite verificar que o grupo de simetrias é constituído por um número infinito de isometrias (no caso, translações) todas diferentes, a saber t, t.t=t², t³, .... e a inversa de t, associada ao vector -u com comprimento e direção de u no sentido contrário, t^-1 bem como produtos t^-2, t^-3, t^-4... Observe-se que t².t² =t⁴, t^-1.t^-2=t^-3 ou t⁵.t^-1= t⁴,




Nas classificações de frisos, usamos p para indicar a periódica repetição segundo uma só direção.
O conjunto de simetrias deste friso é {tⁿ|n∈Ζ}, que frequentemente aparece classificado como p111

Grupos de simetria: dos finitos aos infinitos

Abordámos antes as rosáceas ou grupos de simetria de Leonardo: com um número finito de elementos ou isometrias: reflexões, rotações e suas compostas (ou produtos). Temos claro que duas isometrias do plano são a mesma quando cada ponto do plano tem a mesma imagem para as duas isometrias. Por exemplo, a imagem de um ponto A do plano por uma rotação de centro O e amplitude 45 graus é a mesma que se obtém aplicando uma rotação de centro O e amplitude -315 graus ou a mesma para uma rotação de 360+45, 720+45, ... graus.

Podemos imaginar que as rosáceas têm motivos repetidos indefinidamente, embora sejam finitas as realizações naturais que conhecemos. As isometrias que transformam uma figura (ilustrativa de uma rosácea) nela mesma são em número infinito? São claro. Eu posso aplicar uma rotação de um número indeterminado de voltas (um número infinito de vezes?) a uma figura, obtendo sempre como imagem a figura de que parto. Mas o grupo de simetrias de qualquer rosácea é finito. Por exemplo o grupo cíclico de ordem 3 (da primeira rosácea apresentada) é gerado por uma rotação g de amplitude 120 graus. O produto ou composição g.g ou g² da rotação de 120 graus de centro dado é uma isometria diferente de g já que a imagem A' de um ponto A qualquer do plano por uma rotação de 120 graus não é a mesma que se obtém por uma rotação g.g ( que roda a imagem A' de A por g de 120 graus, obtendo A''≠A'): aplicar g.g a A corresponde a uma rotação de 240 graus. Do mesmo modo, g³≠g²≠g. Mas sabemos que g³ é a identidade que a qualquer ponto A faz corresponder A e sabemos que g⁴=g, etc. Como sabemos que g³ é a identidade e que g² neutraliza a acção de g, já que g.g²=g².g=g³= Id., o grupo cíclico C₃ é constituído por {Id, g, g²}. Os grupos cíclicos C_n têm n elementos (isometrias diferentes) e os grupos diedrais D_n que jogam com uma reflexão s e uma rotação têm 2n elementos (isometrias diferentes).

No caso das rosáceas, há um ponto invariante. Mas as direcções em que se dispõem os motivos que se repetem varia. Vamos abordar, em seguida, os casos dos grupos de simetria dos frisos que nos dão a ver repetições (periódicas - igualmente espaçadas) de algum motivo segundo uma dada direcção. Estes grupos de simetria têm uma infinidade de repetições do motivo, têm uma infinidade de isometrias diferentes, obrigatoriamente têm translações associadas a vectores com a direção em que as repetições acontecem. Estas translações (vetor não nulo) transformam cada ponto de uma reta com a tal direção do friso, num outro ponto da mesma reta. A imagem de tal figura reta é ela mesma, portanto, sem que qualquer ponto se mantenha invariante pela translação.

Novo exemplo de rosácea

A figura da construção seguinte ilustra um grupo de simetrias do tipo D₄, composta por um octógono e um dodecágono estrelado concêntricos e com alguns eixos alinhados. Vistos separadamente, teríamos um
D₈ e um D₁₂. O número de simetrias da figura é 4=MDC(8,12), como pode confirmar, clicando em "rodar para ver" e deslocando o ponto verde no sentido positivo. Gerado por uma reflexão axial s e uma rotação g de 90 graus de amplitude, D₄={Id, g, g², g³, s, s.g, s.g², s.g³}

Outro exemplo de rosácea

Na construção seguinte, a rosácea é constituída por quatro braços vermelhos (sobre as diagonais de um quadrado) e três braços azuis (a partir do centro de um triângulo equilátero para os seus vértices) a partir de um mesmo centro. Poderá clicar no "rodar para ver" e confirmar que há um só eixo de simetria da figura e só uma rotação de volta inteira fará corresponder a figura a si mesma. Tal como se esperava, já que o máximo divisor comum a 4 e 3 é 1. Trata-se, pois, de uma rosácea D₁.

Exemplo de rosácea

A construção seguinte ilustra o caso de uma rosácea de tipo D₄. A figura é constituída por um octógono com 8 eixos de simetria e 8 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 45 graus e por um quadrado interior com 4 eixos de simetria e 4 simetrias rotacionais geradas por uma rotação de 90 graus. Por terem 4 eixos coincidentes e as 4 rotações do quadrado serem quatro das rotações que transformam o octógono em si mesmo, o grupo de simetrias da figura completa é D₄.

Para verificar as simetrias rotacionais, clique no botão rodar para ver e, por deslocação no sentido contrário dos pontos do relógio do ponto verde, pode acompanhar o que acontece com a figura completa.



No caso da construção, repare-se que o máximo divisor comum a 8 e 4 é 4.
Há figuras com octógonos e quadrados concêntricos sem quaisquer eixos de simetria coincidentes?

Grupos de Simetria de Leonardo.

Consideremos um conjunto de isometrias do plano, munido da operação produto (ou composição) assim definida: Para cada ponto A, f.g(A)= g(f(A)). Este conjunto constitui-se em grupo se se verificar que (a) o produto de duas quaisquer das isometrias do conjunto é uma iosmetria do conjunto; (b) o produto é associativo; (c) a identidade ou elemento neutro para o produto é isometria do conjunto; e (d) para cada isometria do conjunto, nele há uma outra isometria (sua inversa) que a neutraliza pelo produto.

A qualquer grupo finito de isometrias do plano, para o qual há um ponto que permanece invariante por aplicação de qualquer das isometrias do grupo, há quem dê o nome de grupo de simetrias de Leonardo, de rosácea, de roseta, .... Estes grupos de isometrias em número finito (grupo de simetrias de Leonardo) são constituídos apenas por rotações e reflexões e podem ser de dois tipos. A saber:

1. Um primeiro constituído pelos grupos cíclicos, designados por C_n, gerados por uma rotação cuja amplitude é resultado da divisão de 360 graus por n.
   
   A construção seguinte ilustra o grupo C₃ gerado por uma rotação g de amplitude 120 graus, assim constituído: C₃={Id, g, g²}, em que Id é a identidade (igual a g³). Pode clicar no botão "rodar para ver" para, deslocando o ponto verde, verificar que as rotações de 120, 240 e 360 graus transformam a figura em si mesma.
   
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   Nota: Verifica-se facilmente que para um mesmo centro, a rotação de +120 graus (sentido directo) é igual à rotação de -240 graus (no sentido dos ponteiros do relógio), que a rotação de 240 graus é igual ao produto por si mesma de uma rotação de 120 graus, etc.
   
2. Um segundo constituído pelos grupos diédricos, que se representam por D_n, gerados por uma rotação e uma reflexão cujo eixo passa pelo centro da rotação.

A construção seguinte ilustra o grupo D₃ que é gerado por uma rotação g, de 120 graus, e por uma reflexão s. Os seus elementos são D₃={Id, g, g², s, s.g, s.g²}

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Nota: O grupo D₁ é gerado por uma única reflexão.


Ver: Casalderrey, F.M.; A burla dos sentidos - a arte vista com olhos matemáticos. RBA. 2010

Grupos de Simetria - nota de abertura.

O conjunto das isometrias (translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes) do plano, munido da composição de funções, é um grupo. Vimos que a composta de duas isometrias é ainda uma isometria, que a composição é comutativa, associativa, tem elemento neutro (identidade) e que para cada isometria há uma outra que, por composição, a neutraliza. Na abordagem que fizemos antes (de 30/10/2009 a 29/11/2009 ), também verificámos que o conjunto das translações é um subgrupo do grupo das isometrias, bem como é subgrupo o conjunto das rotações munido da composição. Já não acontece o mesmo com o conjunto das reflexões.

Dizemos que uma figura geométrica, F, do plano é simétrica (ou tem simetria) quando há uma isometria do plano que a faz corresponder a si mesma. Por exemplo, a reflexão de eixo AC aplicada a um quadrado ABCD faz corresponder A a A, C a C, B a D e D a B e obviamente, mantém invariantes os pontos do segmento AC (no quadrado) e faz corresponder a cada um dos outros pontos do quadrado, um outro ponto do quadrado. À recta AC chamamos por isso eixo de simetria do quadrado ABCD. Para além de várias reflexões, há várias rotações que transformam cada ponto de um quadrado noutro ponto do mesmo quadrado, no caso mantendo um só ponto invariante - centro da rotação. Já por uma translação associada a um vector não nulo, uma figura geométrica nunca é transformada em si mesma.

Na construção que se segue, clique no botão "reflexão" para seguir um ponto P e a sua reflexão no espelho e=AC e verificar que cada ponto do quadrado tem imagem no quadrado e se sair do quadrado a imagem de P cai fora dele. Clicando sobre o botão da reflexão para a ocultar, ao clicar no no botão "rotação" (de centro O e amplitude +90) pode fazer verificação do mesmo tipo. Um ponto P do quadrado tem imagem no quadrado e do exterior do quadrado tem imagem no exterior.