A construção do pentágono regular inscrito

Com base na propriedade que liga l₅, l₁₀ e r , é imediata a justificação da construção habitual para inscrever um pentágono regular numa circunferência.



Com centro no ponto médio C do raio OB traçamos a circunferência de raio CD e obtemos o ponto M sobre o segmento AO. No triângulo rectângulo OCD, é OC²+OD² =CD², ou seja, (r/2)² + r²=5r²/4 = CD², e podemos escrever que CD= CM= √(5)r/2. E, em consequência, OM= MC - OC = (√5-1)r/2 = l₁₀. Do triângulo DMO rectângulo em O, como vimos na entrada anterior, se os catetos são OD=r e OM=l₁₀ então a hipotenusa DM=l₅

Determinação do lado do pentágono regular inscrito

Tomemos uma circunferência de raio r=OA; designemos por l₅ o lado do pentágono regular inscrito e por l₁₀ o lado do decágono regular inscrito. Vamos ver como, conhecido l₁₀, podemos obter geometricamente l₅.


Na circunferência de centro O e raio OA, tomemos o ângulo ao centro AOB de 36°, a corda AB corresponde a l₁₀ (lado do decágono regular inscrito).
Sobre a semi-recta AB, tomemos C tal que AO=AC. Por C traçamos uma tangente à circunferência; seja D o ponto de tangência.
Tendo AC um comprimento igual ao raio e sendo AB o lado do decágono regular, então B divide AC em média e extrema razão: AC/AB=AB/BC ou AB²= AC.BC
Pela definição de potência de um ponto em relação à circunferência, CD² =AC.BC. Logo CD=AB=l₁₀ (lado do decágono).
No triângulo isósceles OAC, temos ∠OÂC=72°, então a corda OC da da circunferência de centro A e raio AO=AC corresponde a l₅ (lado do pentágono regular inscrito). Em conclusão, dada uma circunferência de raio r, construindo um triângulo rectângulo com r e l₁₀ como catetos, a hipotenusa é l₅ (lado do pentágono).

O lado do decágono, o raio e a razão áurea

Teve oportunidade de verificar, com uma construção dinâmica, a afirmação seguinte:
O ponto M (para o qual AM é igual ao lado do decágono inscrito numa circunferência) divide o raio desta, OA, em média e extrema razão.
Vamos agora demonstrar esse resultado.



Sendo AB o lado do decágono regular inscrito na circunferência de centro O e raio AO, ∠ AÔB=36°. Como AO=OB, o triângulo Δ[AOB] é isósceles e assim ∠OBA= ∠BAO = 72°.
Tomando a bissectriz de ∠OBA que intersecta AO em K,é ∠OBK =∠ABK=36°. E, por ∠BKO ser ângulo externo do triângulo &Delta[BKO], ∠AKB=∠OBK + ∠KOB = 72°= ∠BAO e, em consequência, também Δ[OBK] é isósceles sendo AB=BK=KO.
Já sabemos que a bissectriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados, podemos escrever que KA/AB=KO/OB. E como vimos antes que AB=BK=KO e OB=OA, concluímos que AK/KO = OK/OA, ou seja , o ponto K divide o raio da circunferên cia (O, OA) em média e extrema razão e a medida do segmento OK dá a medida do lado do decágono regular inscrito e AO/OK = Φ (aproximadamente 1,62)

Média e extrema razão e lado do decágono regular inscrito

Dado o raio de um círculo, r = OA, se dividirmos o raio em média e extrema razão, a extrema razão AM é o lado do decágono regular inscrito.
Na construção abaixo, é possível mover quer A, quer O. Como verificará:
- o ponto M divide o raio OA em média e extrema razão;
- é AM = AB.

Divisão de um triângulo de ouro em dois triângulos de ouro

No triângulo de ouro ABC, determinemos o ponto D tal que divide o lado BC em média e extrema razão. Os triângulos ABD e BCD são triângulos de ouro; o primeiro obtusângulo, o segundo acutângulo.
Claro que, em relação a cada um deles, se pode aplicar nova divisão.

Outro triângulo de ouro

Um triângulo isósceles cujo ângulo oposto à base mede 108° e os da base medem 36° é também triângulo de ouro.

Triângulo de ouro

Todo o triângulo isósceles cujos ângulos da base medem 72º são “triângulos de ouro”. Como pode verificar na construção, ao mover o ponto A ou o ponto B, mantém-se constante a relação entre um dos lados maiores e o lado menor e essa razão é o número de ouro.



A relação de um rectângulo de ouro com um triângulo de ouro é imediata: se ambos tiverem a mesma base AB, o vértice V oposto à base no triângulo é a intersecção da mediatriz de AB com a circunferência de centro A e raio AD: obtém-se AV = AD.




De um triângulo isósceles ABC em que AC=BC com ângulo ACB a medir 36º, a base AB é o lado de um decágono regular inscrito na circunferência de centro C e raio AC. É áurea a razão entre o raio AC da circunferência de centro C e o lado AB do decágono nela inscrito.

Resolução II

Resolução do exercício:
Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado menor AB.





Traçámos o quadrado ABC’D’. Com centro no ponto K médio de BC’ tracámos o arco KD’ que determina C sobre a recta BC’. O rectângulo ABCD é rectângulo de ouro.

Resolução

Resolução do exercício:
Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado maior AB.

Determinamos o ponto M que divide o segmento AB em média e extrema razão. Sobre a perpendicular a AB em A tomamos D tal que AD = AM. O rectângulo ABCD é rectângulo de ouro.

Determinar um rectângulo de ouro (II)

Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado menor AB.

Determinar um rectângulo de ouro

Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado maior AB.

Média e extrema razão e número de ouro - comentário à margem

“É impossível explicar honestamente as belezas contidas nas leis da natureza, de uma forma que as pessoas possam senti-las, sem que elas tenham uma boa compreensão da Matemática”.
(RICHARD FEYNMAN)

A expressão que está ligada à divisão em extrema e média razão, (1 + √5)/2, tem como valor o “número de ouro”, 1,618034…
"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo." (Zeizing, matemático alemão, 1855)
Desde a escola pitagórica (possivelmente até mesmo antes) que a razão áurea tem sido largamente usada na criação artística, sobretudo em pintura, escultura, arquitectura.
A psicologia ainda não conseguiu explicar os processos mentais que nos levam a encontrar especial beleza e harmonia em certas formas bi ou tridimensional , mas … “Onde houver “harmonia” lá encontraremos o Número de Ouro” (“O Número de Ouro e a Secção Áurea”, Maria Salett Biembengut, 1996). Têm feito estudos em que, a um grupo de pessoas, é proposta a seguinte tarefa – escolher dentro de um conjunto de rectângulos aqueles que lhes parecem mais harmoniosos; verifica-se que são escolhidos, de forma significativa, os “rectângulos de ouro” ou com dimensões muito próximas.

São inúmeros os exemplos (que não referiremos por não estar no âmbito deste blogue) da presença do número de ouro na natureza: várias relações na anatomia humana, nas conchas de vários animais, em pétalas de flores, etc. Um exemplo: nas pessoas que são consideradas “esculturais”, verifica-se que a razão entre a altura e a altura do umbigo é … o número de ouro.

Mais um exemplo para quem ainda tenha dúvidas quanto à actualidade do número de ouro. Transcrevemos um trecho de um boletim de um banco português, referente a correções a efectuar em valores de acções:

“Na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ,89, ...), em que um algarismo é dado pela soma dos dois anteriores, a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de 61,8%. Este nível, juntamente com o 38,2% (100% - 61,8% = 38,2%), e o 50%, são chamados de níveis de correcção de Fibonacci. O de 61,8% é tido em conta nas correcções fortes de mercado, enquanto o de 38,2% para correcções mais fracas. Consequentemente, o rácio da divisão de um número na sequência de Fibonacci pelo seu antecessor é 161,8%, logo os níveis 138,2%, 150% e 161,8% são os mais usados em tendências positivas para as projecções de price target de Fibonacci. Considerando a primeira subida do índice no ano corrente, de Março a Maio, seguida de uma consolidação de dois meses, a projecção de Fibonacci de 161,8% coincide com o nível dos 250 pontos, acentuando a probabilidade de correcção no curto prazo.”

(Ramiro Loureiro, analista de acções; 
Sónia Martins, analista de acções
Market Analysis)

Como deve ter notado, 161,8 % ou 1,618 é Φ e 61,8 % ou 0,618 é 1/Φ.

Outra construção para obter a média e extrema razão.

Dado o segmento AB, pretendemos obter o ponto M que o divide em média e extrema razão.

1. Mostramos um segmento [AB]
   
2. Construímos um quadrado de lado AB: seja ABCD.


3. E determinamos o ponto E médio de AD.


4. Com centro em E e raio EB, traçamos o arco que determina F na semi-recta DA, tal que EF=EB
   A diagonal DG do rectângulo CDFG intersecta o segmento AB no ponto M pretendido no sentido de ser |AM|/|MB|=|BA|/|AM|, ou tal que |AM|²=|MB|.|BA|
   
   
   
   
   Este rectângulo é tal que a razão entre os seus lados é Φ ≈ 1,618. A este número Φ chamamos número de ouro e ao rectângulo chamamos rectângulo de ouro.
   
   O ponto M que satisfaz simultaneamente as condições |AM|+|MB|=|AB| e |AM|^2= |AB|.|BM| é único. se tomássemos a diagonal CF do mesmo retângulo, obtínhamos como interseção de CF com AB um ponto N de [AB] tal que |AN|+|NB|= |AB| e para o qual |BN|² =|NA|.|AB|.


5. O bloco 5 da nossa construção dinâmica é para chamar a atenção para outros dois pontos sobre a reta AB (colineares com A e B)interessantes do mesmo ponto de vista e obtidos de modo análogo: considerando o ponto F₁ da semi-reta AD: |EB|=|EF₁| e retângulo [DCG₁F₁] de dimensões |CD|e |DF₁|. As retas diagonais deste retângulo intersectam a reta AB em pontos interessantes. Mostramos a intersecção H da diagonal G₁D com BA que satisfaz as condições BH=BA+AH e |HA|^2 =|AB|.|BH|

Média e extrema razão – inversão – conjugado harmónico

Em 2010 apresentávamos 3 construções em CaR ou ZuL (Compasso e Régua ou Zirkel und Lineal, R. Grothmann):

• a primeira para lembrar que, para um dado segmento de reta AB, um dos seus pontos M (e um só) o divide em média e extrema razão, a saber, tal que AB/AM=AM/MB, (....Φ) ;
• a segunda a lembrar que, sendo M' o inverso de M relativamente à circunferência de centro em A e raio AB, as razões AB/AM e AM'/AB são iguais já que tomando AB para unidade, AM é o inverso de AM';
• e finalmente que se tomarmos B' como extremo oposto a B do diâmetro de (A, AB) - a meia volta de B em torno de A - temos um quaterno harmónico de pontos (sobre a reta AB), a saber (B', B; M, M').

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Restauração:
Limitámo-nos a substituir essas três construções por uma só que se divide 5 passos para evidenciar os aspectos essenciais acima referidos.

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